Расчетно-графическая работа по высшей математике
Расчетно-графическая работа по
высшей математике
1. Описание изделия
На
рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из
одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).
Дополнительные сведения:
раствор
конуса b = 300
радиус
цилиндра R = 5 см
расстояние
от оси конуса до оси цилиндра l =2 см
расстояние
между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см
2.
Выбор системы координат
В
качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс
пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось
аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была
правой.
Расстояние
d от вершин конусов до начала координат находим с
помощью Теоремы Пифагора:2
+ l = + 2
= 7.7 (см)
таким
образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:
Вершина
первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго
конуса - (0; -7.7; 0).
3.
Аналитическое описание несущих
поверхностей
Уравнение
цилиндрической поверхности:
(х+2)2+(y+2)2 = R2 ( I
)
Параметризация
цилиндрической поверхности:
(II)
потребуем,
чтобы параметр uÎ. При этих значениях u шов наиболее
удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -.
Уравнение
первой конической поверхности:
(x + 7.7)2 tg2b = y 2+ z2 (III)
Параметризация
первой конической поверхности:
(IV)
Определение
положения шва на первой конической детали:
потребуем,
чтобы jÎ[-psinb;psinb]
Тогда
шов будет наиболее удален от второго конуса.
Уравнение
второй конической поверхности:
(y+7.7)2 tg2b=x2+z2 (V)
Параметризация
второй конической поверхности аналогично первой (IV):
(VI)
(Также можно обойтись и без нее
за счет использования симметрии).
4. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса
на выкройке цилиндра
Подставим
параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III), получаем уравнение:
(-2+Rcos+7.7)2tg2b=(-2+Rsin)2+v2,
которое в дальнейшем преобразуется к
виду:
v = v(u) = ± (VII)
Знак
“+” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z ³
0 , знак “-” - “нижней” половине
этой линии. При некоторых значениях параметра u
подкоренное выражение отрицательно, что
соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.
5. Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса
на выкройке цилиндра
Линию
пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым
конусом.
Подставляя
параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I),
получаем уравнение:
(-7.7+rcosb+2)2 + (rsinbcos+2)2
= R2
преобразуем:
(rcosb-5.7)2 + (rsinbcos+2)2 = R2
r2cos2b-2*5.7*rcosb+32.49+r2sin2bcos2+4rsinbcos+4-R2 = 0
r2(cos2b+sin2bcos2)+2r(-5.7cosb+2 sinbcos)+36.49-R2 = 0
Отсюда
r=r(j)= (IX)
a(j)=1- sin2bsin2 ;
b(j)=2(2sinbcos-5.7cosb);
c=36.49-R2 .
Линия
пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь,
соответствующая знаку “-” в формуле (IX),
посторонняя.
7. Описание линии пересечения конусов на выкройке первого
конуса
Подставляя
параметризацию первого конуса (IX), в уравнение второго
конуса(V), получаем уравнение:
(rsinbcos+7.7)2tg2b=(-7.7+rcosb)2+r2sin2bsin2
квадратное уравнение относительно
переменной r.
После
упрощения получим:
r2(sin2bcos2tg2b- cos2b-sin2bsin2)+r(2d(sinbcos tg2b+cosb))+d2 (tg2b-1)=0
r=, (X)
где
а = sin2bcos2tg2b- cos2b- sin2bsin2;
b = d(sinbcos tg2b+cosb);
8. Выкройка второго конуса
Она
идентична выкройке первого конуса.
9. Расчет выкройки цилиндрической детали
Подставляем
в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколько
точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.
Строим
выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с
первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£; отражая
эту линию пересечения относительно прямой u=, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.
Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.
10. Расчет выкройки конических деталей
Произведем
расчет по формулам (j; r) по формулам (IX, X). Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3.
Возьмем
сектор радиуса r0=26см., и, учитывая симметричность относительно луча j=0, построим выкройку конической детали.
11. Изготовление выкроек деталей, сборка изделия
Изготовим
выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее
описание. Вырежем и склеим.