Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве
Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков
в аффинном пространстве
Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет,
кафедра математическогомоделирования,
644077
Омск, пр. Мира,55-A
Изучение
упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде
всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы
не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и
поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки".
Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире
ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.
Рассмотрим
в n-мерном аффинном пространстве An, n>2, несвязный порядок , заданный семейством подмножеств An, для которого выполнены
условия: (1) ; (2) если , то ; (3) если , то . Несвязность порядка означает, что . Предполагаем далее, что верно следующее: (i) ; (ii) для любой .
Замечание
1. Для любого множества A, будем через , int A, и обозначать соответственно замыкание,
внутренность и границу множества A.
Назовем
внешним конусом множества Px следующее множество:
где
lxy - луч, идущий из точки x и проходящий через точку . Считаем далее, что Cx - конус "с острой
вершиной", то есть не содержит прямой. Известным является факт [1], что
семейство внешних
конусов задает порядок в An.
Гомеоморфизм
, для которого
f(Px)=Pf(x) для любой точки , назовем порядковым -автоморфизмом. Множество всех порядковых -автоморфизмов будет группой,
которую обычно обозначают .
Подгруппа группы ,
сохраняющая фиксированную точку , обозначается .
Порядок
называется - однородным или гранично
однородным, если для любых найдется такой, что f(x)=y.
Имеет
место следующая
Теорема.
Пусть , n>2,
инвариантной относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в
n-мерном аффинном пространстве An, для которого выполнены условия:
(1)
существует семейство равных
и параллельных телесных одинарных замкнутых выпуклых конусов с острой вершиной
такое, что для любых и ;
(2)
порядок - гранично
однородный.
Тогда
любой порядковый -автоморфизм
будет аффинным преобразованием.
Доказательство
.
Для
любой точки рассмотрим
следующее множество
где
объединение берется по всем -автоморфизмам f из стабилизатора таких, что f(v) = uo .
По
условию (1) и, кроме
того, если , то
то
есть семейство сохраняется
-автоморфизмами из .
Замечание
2. Не следует думать, что в определении множества , , f(v) = x точка v- фиксированная. Точка , то есть v- точка из орбиты
точки x, для которой определяется множество Dx.
Рассмотрим
далее множества
Легко
видеть, что (здесь C-v,
K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v).
В самом деле, для любой точки , имеем (семейство задает порядок в An). Поэтому для , f(v) = u0 имеем и . Если же то и . Это противоречит тому, что . Значит для любой точки .
Отметим
теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x-
содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой
вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что , , где , - полупространства, на которые Tx разбивает An.
Утверждается, что в качестве Tx можно выбрать такую гиперплоскость, которая
пересекает конус Cy, по
компактному множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному
выпуклому телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с непустое пересечение, можно
разделить на три непересекающихся класса. К первому классу A1 отнесем все
гиперплоскости, пересекающие по компактному множеству. Во второй класс A2
попадут гиперплоскости, имеющие с некомпактное пересечение и параллельные при этом
какой-либо прямолинейной образующей конуса Ce, принадлежащей его границе . Все остальные
гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно видеть, что
вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна какой-либо
гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что , а и также , , что противоречит выбору Tx.
Если
же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то и , что также противоречит выбору Tx. Значит Tx
параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть - эта та самая гиперплоскость, о
которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и
разбивает An на два полупространства и такие, что , . Очевидно, что в этом случае найдется
гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что и множество - компактно. Если теперь точка , то . Поскольку и порядок - гранично однородный, то для любой точки будет верно следующее:
Действительно,
вследствие граничной однородности порядка для любых точек найдется такой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 =
D-f(p0) = D-q0. Но ,
поэтому и,
следовательно, .
Покажем
теперь, что наш порядок будет
максимально линейчатым, то есть для любой точки имеем . Предположим, что это не так и найдется точка такая, что луч не лежит полностью в Qe, то есть .
Если
, то есть луч l+x0, за
исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть , точка, которая вместе с некоторым шаром с центром в точке v0
положительного радиуса лежит
в . Точка , значит найдется такое, что шар имеет непустое пересечение с
int Q. Выберем точку .
Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу
l+x0 число точек пересечения с уже наверняка больше двух: первая точка лежит на
отрезке [m1, m), где ,
вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где , так как , , . В этом случае в качестве точки x0 возьмем
любую точку из множества .
Пусть
точка . Тогда по
доказанному выше (см. ()), но, поскольку , множество содержат, кроме точки w0 еще и точку
x0, что, очевидно, противоречит (). Значит порядок - максимально линейчатый и в соответствии с
результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый -автоморфизм будет аффинным преобразованием.
Теорема
доказана.
Следствие.
Пусть , n>2, -
несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство внешних конусов порядка является семейством равных и
параллельных эллиптических конусов.
Тогда
любой порядковый -автоморфизм
будет преобразованием
Лоренца.
Список литературы
Гуц
А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N
2. C. 39-79.
Винберг
Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО.
1965. Т.13. С.56-83.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/