Сборник Лекций по матану
§12. Определенный интеграл
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x).
Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на
промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, ¼, xn-1, удовлетворяющие
условию:
a< x1,< x2<¼<
xn-1,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b]
на n более мелких промежутков: [a;x1], [x1;x2], ¼, [xn-1;b].
На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1Î[a;x1], c2Î[x1;x2], ¼, cnÎ[xn-1;b].
Введем обозначения: Dx1 = x1 – a;
Dx2 = x2 – x1; ¼, Dxn = b – xn-1.
Составим сумму:
.
Она называется интегральной суммой функции f(x)
по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от
способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой
площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.
Введем обозначение: l = max(Dxi),
i = 1, 2, ¼, n..
Величину l иногда называют параметром
разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения
неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом
от функции по промежутку [a;b]
называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе,
если предел существует:
.
Если такой предел существует, то он не зависит от
первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.
Число a называется нижним пределом интегрирования,
а число b ¾ верхним
пределом интегрирования.
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной,
неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x),
отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a;
x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой
трапеции определяется формулой
.
Если f(x) < 0 во всех точках
промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми
x = a; x = b и графиком функции y = f(x),
определяется формулой
.
Перечислим свойства определенного интеграла:
1) (здесь
k ‑ произвольное число);
2) ;
3) ;
4)
Если cÎ[a;b],
то .
Из этих
свойств следует, например, что .
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из
определения определенного интеграла.
Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда,
когда cÏ[a;b].
Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае
верны равенства
.
§13. Определенный интеграл как функция верхнего предела
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на
некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x
из этого промежутка можно поставить в соответствие число
,
определив тем самым на промежутке функцию I(x),
которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим
производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx:
DI(x) = I(x + Dx) – I(x) =
.
Как показано на рисунке 1,
величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции,
отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx
(здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений
аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как
сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь
оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на
рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения
тем выше, чем меньше величина Dx.
Из сказанного следует формула для производной функции I(x):
.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу
в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x.
Отсюда следует, что функция является
первообразной для функции f(x), причем такой первообразной,
которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот
факт дает возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F(x) тоже
является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об
общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C,
где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после
замены x на b следует формула для вычисления определенного
интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница.
Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x)
по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x)
функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в
точках b и a. Разность этих значений первообразной принято
обозначать символом .
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с
помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры. 1. .
2. .
Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex.
Используя метод интегрирования по частям, получаем: . В
качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x – 1)
и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I = ex(x – 1) = 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу
замены переменной в определенном интеграле:
.
Здесь a и b определяются, соответственно, из
уравнений j(a) = a; j(b) = b,
а функции f, j, j¢
должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:.
Сделаем замену: ln x = t или x = et,
тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e,
то t = 1. В результате получим:
.
При замене переменной в
определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной
интегрирования.
§14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то
приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n®¥; l®0
для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное
определение.
Пусть функция y = f(x) определена
и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;¥), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом
называется ,
если предел существует. Если этот предел не существует, то не существует и
несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный
интеграл расходится. При существовании предела говорят, что
несобственный интеграл сходится.
Аналогично
и .
Примеры: 1. . Очевидно: , откуда следует
.
2. ;
этот предел не существует, следовательно, не существует или расходится интеграл
I.
3. ;
здесь предел также не существует, и интеграл расходится.
1)
|
;
|
2)
|
;
|
3)
|
;
|
3)
|
;
|
5)
|
;
|
6)
|
;
|
7)
|
;
|
8)
|
;
|
9)
|
;
|
10)
|
;
|
11)
|
где
x = 1;
|
12)
|
;
|
13)
|
где
t = p / 6;
|
14)
|
|
15)
|
;
|
16)
|
.
|