Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский
Государственный технический университет
Приближенное
вычисление определенных интегралов.
Формула парабол (формула симпсона)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко
М.В.
Магнитогорск –1999
е для всякой непрерывной функции
ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях
вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно,
и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из
них приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b]
на четное число равных частей n = 2m. Площадь
криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1]
и [x1,x2] и ограниченной
заданной кривой y = f(x), заменим площадью
криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей
через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1),
M2(x2,y2) и имеющей ось, параллельную
оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью,
параллельной оси Оу, имеет вид
y = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С
однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные
точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей
параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь
одной параболической трапеции.
Если
криволинейная трапеция ограничена параболой
y = Ax2 + Bx + C,
осью
Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
S = h/3 (y0 + 4y1 + y2),
(☺)
где
у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината
кривой в середине отрезка
Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие приближенные
равенства (h=Δx):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его
приближенное значение:
Примеры
Было дано задания
вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:
И
Для вычисления данных
интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual
Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).
Программы
осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить
заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления
любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы
определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в
строке (***).
Были получены следующие
ответы:
При n = 20.
Приложение
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 0 '(*)
b = 1
'(**)
t = True
n = InputBox("Введите четное число n",
"Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 *
nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = Sqr(1 + (x ^ 4))
'(***)
End Function
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a =
2 '(*)
b = 5
'(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n",
"Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 *
nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = 1 / (Log(x))
'(***)
End Function