Поверхности 2-го порядка
Министерство высшего образования Российской
Федерации
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РЕФЕРАТ
На тему:
“ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА”
Факультет: ФТиКМ
Группа: РТС-99
Студент: Коцурба А.В.
Преподаватель: Лебедева Г.А.
Иркутск
1999
Поверхности второго порядка
Поверхности второго
порядка – это поверхности, которые в
прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй
степени.
1.
Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением:
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением
эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого
рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением
вида z=h, где h –
любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
(2)
Исследуем уравнения (2) при
различных значениях h.
1)
Если 
> c (c>0), то 
и уравнения (2)
определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с
данным эллипсоидом не существует.
2)
Если 
, то 
и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0;
0; - c) (плоскости 
касаются эллипсоида).
3)
Если 
, то
уравнения (2) можно представить в виде
откуда следует, что плоскость
z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При
уменьшении 
значения 
и 
увеличиваются и достигают своих
наибольших значений при 
, т. е. в сечении
эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой
эллипс с полуосями 
и 
.
Аналогичная картина
получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными
координатным плоскостям Oxz
и Oyz.
Таким образом, рассмотренные
сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис.
156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В
случае a=b=c эллипсоид является сферой.
2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением
однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим
сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем
соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в
сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида
плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся
в сечении, определяется уравнениями
или 
(4)
из которых следует, что
плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями 
и 
,
достигающими своих наименьших
значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной
осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и
b*=b. При бесконечном возрастании величины
a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные
сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной
трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости
Oxy.
Величины a, b, c
называются полуосями однополосного гиперболоида.
3.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(5)
Уравнение (5) называется
каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для
этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz.
Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в
сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида
плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy.
Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
или
(6)
из которых следует, что при 
>c (c>0) плоскость z=h
пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При увеличении 
величины
a* и b* тоже увеличиваются.
При 
уравнениям
(6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с)
(плоскости 
касаются данной поверхности).
При 
уравнения
(6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с
данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b
и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4.
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением
эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными
плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
и 
Теперь рассмотрим сечения
данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy.
Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
или
(8)
из которых следует, что при 
плоскость z=h пересекает
эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При увеличении h величины a и b
тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается
данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек
пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные
сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно
выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется
вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q
уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е.
эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную
вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
5.
Гиперболический
параболоид.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
(9) 
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется
каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение
параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
(10)
из которых следует, что в
сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с
вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными
плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
рассмотрим сечение данного
параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
из которых следует, что и в
этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз,
симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения
параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h),
получим уравнения
из которых следует, что при
любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её
лежит на параболе, определённой уравнениями (10).
Рассмотрим сечения
параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим
уравнения
или
из которых следует, что при h>0
в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0
– гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола
вырождается в пару пересекающихся прямых
и
точка (0;0;0)
называется вершиной параболоида; числа p и q –
его параметрами.
6. Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(11)
Рассмотрим геометрические
свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем
линию
распадающуюся на две
пересекающиеся прямые
и 
Аналогично, в сечении конуса
плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые
и 
Рассмотрим сечения
поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим
или 
из которых следует, что при h>0
и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями 
. При увеличении абсолютной величины h
полуоси a* и b* также увеличиваются.
При h=0 линия
пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).
Cписок использованной лит-ры:
1.Шипачёв В.С.:”Высшая мат-ка”
Если сдал РЕФЕРАТ, то
отправь свои данные в коллекцию!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!