Остроградский
Жизнь М. В. Остроградского.
Математическая
жизнь в академии наук в середине десятых годов почти замерла и возродилась в
конце двадцатых с приходом в Академию Остроградского и Буняковского, особенно
первого из них.
Михаил Васильевич Остроградский родился 26 сентября
1801г. на Украине, в деревне Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии в
семье помещика. В 1816 г. он поступил в Харьковский университет. Остроградский
успешно сдал кандидатские экзамены, и перед ним, казалось, открывалась прямая
дорога к университетской профессуре. Однако острая идейная борьба, которая в те
годы велась в Харьковском университете, помешала спокойному течению научной
карьеры Остроградского.
Осиповский подверг критике идеалистическую немецкую
философию, сторонники которой имелись и среди работавших в Харьковском
университете иностранцев. В устных выступлениях Осиповский разоблачал и
высмеивал мистиков, стоявших во главе министерства просвещения и учебных
округов. Свое враждебное отношение к Осиповскому реакционная часть харьковской
профессуры перенесла и на его лучшего ученика, также не любившего ни
метафизики, ни мистики и бывшего, надо полагать, уже тогда “полным
материалистом и атеистом”.
Когда ректор университета Осиповский предложил присвоить
Остроградскому заслуженную им степень кандидата, в Совете университета
произошли резкие столкновения. Один из реакционных профессоров, А. И. Дудрович,
письменно донес попечителю округа З. Я. Корнееву, что по вине Осиповского
студенты-математики не занимаются богословием, а Остроградского обвинил в том,
что он, несмотря на предписание начальства, не слушал богопознания и
христианского учения. Дело дошло до министра “духовных дел и
народного просвещения” А. Н.
Голицына, по указанию которого Осиповский
был уволен из университета, Остроградскаму отказали в присуждении степени
кандидата, издевательски предложив заново сдать экзамены, якобы сданные им
раньше в неправильном порядке.
Остроградский мужественно перенес эти испытания и
решил, несмотря ни на что, посвятить свою жизнь науке. Еще в Харьковском
университете его особенно увлекали вопросы прикладной математики и в 1922 г. он
отправился в Париж, где работали Лаплас и Фурье, Лежандр и Пуассон, Бине и Коши
и другие первоклассные ученые, пролагавшие новые пути в математике,
математической физике и механике. Курсы, читавшиеся в Политехнической школе,
Сорбонне, Коллеж де Франс были образцовыми и привлекали молодежь из многих
стран.
Быстрые успехи Остроградского завоевали ему дружбу и
уважение многих французских математиков, как старших поколений, так и
сверстников. Время парижской жизни явилось для Остроградского не только “годами странствий
и учения”, но и интенсивного творчества. В 1824-1827 гг. он
представил Академии наук в Париже несколько замечательных мемуаров на
французском языке. В “Замечаниях
об определенных интегралах” (1824)
он дал вывод незадолго перед тем опубликованной Коши формулы для вычета функции
относительно полюса п-го порядка, вывод, по сути дела совпадающий с принятым
ныне. В “Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления” (1826) он разработал весьма важную составную часть общего метода разделения
переменных для интегрирования уравнений математической физики. В том же году
Остроградский подготовил “Мемуар о распространении волн в цилиндрическом
бассейне”, где развил исследования Коши и Пуассона, изучивших движение малых
волн в бассейне бесконечной глубины и не ограниченном стенками, а год спустя “Мемуар о распространении тепла внутри твердых тел”, содержавший новое сжатое изложение метода разделения и решения новой задачи о
распространении тепла в некоторой треугольной призме. Из них только работа по
гидродинамике увидела свет в издании Парижской Академии, другие же остались в
ее архиве. Но и не опубликованные тогда его открытия по математической физике
оказали существенное влияние на развитие математики. Основные результаты вошли
в последующие печатные труды самого Остроградского; кроме того, в
рукописи или в устном изложении самого Остроградского с ними ознакомились тогда
же или вскоре Коши, Пуассон и другие.
Перечисленные работы показывают, что Остроградский в
первые же годы парижской жизни не только полностью овладел новейшим аппаратом
анализа и механики, но существенно развил его и мастерски применил к решению
как весьма общих актуальных проблем, так и частных трудных задач. Коши с
высокой похвалой отзывался о работах своего молодого ученика и сотрудника.
Например, в основоположном мемуаре по теории интегралов в комплексной области
1825 г., Коши, рассказывая о своих предыдущих результатах писал:”Наконец,
один молодой русский, одаренный большой проницательностью и весьма искусный в
анализе бесконечно малых, г. Остроградский, также прибегнув к употреблению этих
интегралов и их преобразованию в обыкновенные, дал новое доказательство формул,
мною выше упомянутых, и обобщил другие формулы, которые я представил в 19-й
тетради “Журнала Политехнической школы”. Г. Остроградский любезно сообщил нам главные
результаты своей работы”. Столь же уважительны отзывы Коши об Остроградском в статьях по теории вычетов. Много
позднее, в работе, в которой установлен ряд общих свойств интегралов линейных
уравнений с частными производными, Коши вспоминал о парижских открытиях
Остроградского:”Я хотел бы иметь возможность сравнить полученные мною
здесь результаты с результатами, полученными г. Остроградским в мемуаре, в
котором он установил несколько общих предложений относительно интегрирования
линейных уравнений в частных производных.
Но я только смутно помню этот мемуар и,
так как не знаю, был ли он где-либо опубликован, я лишен возможности произвести
это сравнение”.
Весной 1828 г. Остроградский приехал в Петербург и
здесь на протяжении нескольких месяцев представил Академии наук три работы.
Первая содержала оригинальный, основанный на новой концепции интеграла (Коши),
вывод уравнения Пуассона, которому удовлетворяет объемный потенциал поля
тяготения в точке, лежащей внутри притягиваемой массы или на ее границе.
Следующая посвящена вопросу о перестановке порядка интегрирования в двойном
интеграле в случае бесконечного разрыва подынтегральной функции и примыкает к
аналогичным исследованиям Коши. Третьей был уже упомянутый мемуар “Доказательство
одной теоремы интегрального исчисления”, который автор вскоре взял обратно
для переработки и затем опубликовал для переработки и затем опубликовал под
названием “Заметки по теории теплоты”. Коллинс представил
о трудах Остроградского блестящий отзыв и 29 декабря 1828 г. молодой ученый был
избран адъюнктом по прикладной математике. Два года спустя он был выбран экстраординарным
академиком и в 1831 г. – ординарным.
Деятельность Остроградского в Академии была весьма разносторонней.
Он сделал более 85 научных сообщений, частью неопубликованных;
читал публичные лекции; писал подробные отзывы на поступавшие в Академию
работы, участвовал в комиссиях по введению григорианского календаря и
десятичных мер (что было сделано лишь после великой Октябрьской
социалистической революции), по водоснабжению Петербурга и т. д., занимался по
поручению правительства изысканиями по внешней баллистике, и т. д. Вместе с тем
Остроградский много времени уделял преподаванию. С 1828 г. он начал читать
лекции в Морском корпусе (впоследствии Морской академии), где преемниками его последовательно
были В.Я. Буняковский, А.Н. Коркин, А.Н. Крылов. С годами педагогическая
деятельность Остроградского становилась все более интенсивной. Он вел занятия
по математике и механике в Институте инженеров путей сообщения, Главном
инженерном и Главном артиллерийском училищах, Главном педагогическом институте.
С 1847 г. и до своей смерти он работал на посту главного наблюдателя по преподаванию
математических наук во всех военных заведениях страны. Ему принадлежат
несколько руководств по элементарной и высшей математике.
Педагогические взгляды Остроградского были весьма прогрессивными.
Он считал, что в гимназиях и кадетских корпусах нужны лаборатории и мастерские,
где учащиеся приобретали бы трудовые навыки, производили опыты и наблюдения. Он
выступал за наглядность обучения математике, особенно в раннем возрасте, и
критиковал сухое и формальное изложение этого предмета в современной ему школе.
Он был сторонником введения в специальных старших классах средних военных
учебных заведений идеи функции и начал анализа; курс
математики, с его точки зрения, должен быть связан с другими предметами, как
физика, в которых применяются математические методы. Как видно, в ряде пунктов
Остроградский предвосхитил идеи так называемого движения за реформу преподавания,
возникшего в начале XX века. Кое-чего Остроградский достиг в этом направлении в
кадетских корпусах. Однако более широкая реализация педагогических установок
Остроградского стала возможной лишь много позднее. Свое общее педагогическое credo Остроградский изложил в написанной совместно с парижским математиком
и инженером И.-О. Блюмом (1812-1877) брошюре “Размышления о
преподавании”, вышедшей на
французском языке. Чтение этого
блестящего по изложению и глубокого по содержанию сочинения интересно и в наши
дни. Школьное преподавание арифметики, алгебры и геометрии, - писали авторы, -
ничем “не напоминает о насущной необходимости изучения этих
предметов для насущной жизни”
и на деле дает “только тот результат, что
их усваивает очень небольшое число учеников”. Этому в
брошюре ярко противопоставлены принципы обучения, воспитывающего наблюдательность
и любознательность, техническую сноровку и научное мышление. Для повышения
интереса и привлечения внимания учеников Блюм и Остроградский рекомендовали
использовать историю наук и биографии выдающихся людей, “принесших пользу наукам и искусству”:”Это в одно и то же время отличная разрядка и средство
с помощью живого рассказа запечатлеть то или иное основное положение, либо
удачное приложение теоретических принципов”.
Школьная математика должна учитывать особенности детского
восприятия, но следует избегать общепринятой недооценки возможностей детей уже
с семилетнего возраста. В брошюре разобран вопрос об обучении ребят до 12 лет,
причем только в гимназиях или специальных учебных заведениях;
более массовые школы, где учат началам чтения, письма и счета оставлены были в
стороне.
Остроградский оказал значительное влияние на развитие
математики и механики. Он, в частности, подготовлял условия для создания
математической школы, организованной Чебышевым, и сам основал русскую школу
механики. К его исследованиям примыкают многие последующие работы по
математической физике, по теории интегрирования иррациональных функций, по
теории кратных интегралов и даже по теории вероятностей, которыми он сам
занимался немного. Прямыми учениками Остроградского были создатель теории автоматического
регулирования И. А. Вышнеградский (1831-1895), автор классических исследований
по теории трения и влияния на него смазки и по теории механизмов Н. П. Петров
(1822-1889) и другие. Все перечисленные математики вышли из Главного педагогического
института, где Остроградский преподавал с 1832 по 1859 г..
Научные заслуги Остроградского были высоко оценены и
за рубежом. Он был избран членом-корреспондентом французской Академии наук в
1856 г., а еще ранее членом Американской академии наук и академий в Турине и в
Риме. Скончался он 1 января 1862 г.
Кратные интегралы.
Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского
по кратным интегралам.
Формула Остроградского для преобразования тройного интеграла
в двойной, которую мы пишем обычно в виде
(1)
или
,
(2)
Конечно,
можно вывести формулу (1) и из (2), полагая
и точно так же можно получить формулу (2) из
формулы (1), но Грин этого и не думал делать.
Все же вопрос об авторе интегральной формулы (1)
оставался не вполне ясным. Дело в том, что, как было недавно замечено, в мемуаре
Пуассона по теории упругости, выводится формула
где слева стоит интеграл по объему, а справа интеграл
по граничной поверхности, причем суть направляющие
косинусы внешней нормали.
Парижские рукописи Остроградского свидетельствуют, с
полной несомненностью, что ему принадлежит и открытие, и первое сообщение
интегральной теоремы (1). Впервые она была высказана и доказана, точно так, как
это делают теперь в “Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления”, представленном Парижской Академии наук 13 февраля 1826 г., после
чего еще раз была сформулирована в той части “Мемуара о
распространении тепла внутри твердых тел ”, которую
Остроградский представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был
дан на отзыв Фурье и Пуассону, причем последний его, безусловно читал, как
свидетельствует запись на первых страницах обеих частей рукописи. Разумеется,
Пуассону и не приходила мысль приписывать себе теорему, с которой он познакомился
в сочинении Остроградского за два года до представления своей работы на теории
упругости.
Что касается взаимоотношения работ по кратным
интегралам Остроградского и Грина, напомним, что в “Заметке по
теории теплоты” выведена формула, обнимающая собственную формулу
Грина, как весьма частный случай. Непривычная теперь символика Коши,
употребленная Остроградским в “Заметке”,
до недавнего времени скрывала от исследователей
это важное открытие. Разумеется, за Грином остается честь открытия и первой
публикации в 1828 г. носящей его имя формулы для операторов Лапласа.
Открытие формулы преобразования тройного интеграла в
двойной помогло Остроградскому решить проблему варьирования п-кратного
интеграла, именно, вывести понадобившуюся там общую формулу преобразования
интеграла от выражения типа дивергенции по п- мерной области и интеграл
по ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,…)=0. Если придерживаться прежних обозначений, то формула
имеет вид
(3)
Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов
и терминов, которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств
в то время еще не существовала.
В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов” рассмотрены
еще два важных вопроса теории таких интегралов. Во-первых, Остроградский
выводит формулу замены переменных в многомерном интеграле;
во-вторых, впервые дает полное и точное описание приема вычисления п- кратного
интеграла с помощью п последовательных интеграций по каждой из
переменных в соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в этом
мемуаре, легко выводится общее правило дифференцирования по параметру
многомерного интеграла, когда от этого параметра зависит не только подынтегральная
функция, но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает из
наличных в мемуаре формул настолько естественным образом, что позднейшие математики
даже отождествляли его с одною из формул этого мемуара.
Замене переменных в кратных интегралах Остроградский посвятил
специальную работу. Для двойного интеграла соответствующее правило вывел с
помощью формальных преобразований Эйлер, для тройного – Лагранж. Однако, хотя
результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными: он
как бы исходил из того, что элементы объемов в старых и новых переменных –
координатах – между собою равны. Аналогичную ошибку допустил вначале в только
что упомянутом выводе правила замены переменных Остроградский. В статье “О
преобразовании переменных в кратных интегралах” Остроградский
раскрыл ошибку Лагранжа, а также впервые изложил тот наглядный геометрический
метод преобразования переменных в двойном интеграле, который, в несколько более
строгом оформлении, излагается и в наших руководствах. Именно, при замене переменных
в интеграле по формулам , , область интегрирования разбивается
координатными линиями двух систем u=const, v=const на бесконечно малые криволинейные четырехугольники.
Тогда интеграл можно получить, складывая сначала те его элементы, которые
отвечают бесконечно узкой криволинейной полосе, а затем, продолжая суммировать
элементы полосами, пока они все не будут исчерпаны. Несложный подсчет дает для
площади, которая с точностью до малых высшего порядка может рассматриваться как
параллелограмм, выражение , где , выбирается так, чтобы площадь была
положительной. В итоге получается известная формула
.
Так дифференциальное выражение ,
которое Эйлер формально подставлял вместо dydx, а
следуя рассуждениям Лагранжа для трехмерного случая, нужно было бы считать
равным dydx, приобрело у Остроградского простой и ясный геометрический
смысл.
Дифференциальные уравнения.
В теории
обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживают внимания два результата
Остроградского. В «Заметке о методе последовательных приближений», предложен
метод решения нелинейных уравнений с помощью разложения в ряд по малому
параметру, позволяющей избегать так называемых вековых членов, содержащих
аргумент вне тригонометрических функций. Такие члены нередко появляются при
употреблении обыкновенных приемов интегрирования с помощью степенных рядов;
неограниченно возрастая вместе с аргументом, они порождают ошибочные
приближения, а содержащее их решение оказывается неподходящим. С этим явлением встречались еще астрономы
XVIII в. и задачей уничтожения вековых членов занимались Лаплас, Лагранж и
другие. Свой метод, основанный на одновременном разложении по параметру как
самого решения, так и периода входящих в него периодических функций,
Остроградский кратко пояснил на примере:
, ,
который записал в несколько иной форме:
совпадающей с данным уравнением при . Решение с точностью до величин первого
порядка относительно , найденное обычным способом,
содержит вековой член:
;
решение по способу Остроградского от него свободно:
, .
Найденное приближение Остроградский сопоставил с точным
решением уравнения в эллиптических функциях Якоби. Остроградский ограничился
получением первого приближения; в конце статьи он высказал намерение приложить этот
метод к движению планет вокруг Солнца. Намерение это, видимо, не осуществилось,
но как раз в работах по определению орбит небесных тел идея Остроградского
получила дальнейшее развитие. Одним из первых таких трудов явилось исследование
по теории возмущений шведского ученого А. Линдстедта, работавшего в 1879 – 1886
гг. в Дерптском университете. За этим последовали глубокие исследования А.
Пуанкаре и А. М. Ляпунова и, уже в советский период, Н. М. Крылова, который
применил к нему и другим, более общим классам линейных неоднородных уравнений
второго порядка, содержащих малый параметр, несколько модифицированный им метод
Ляпунова. В настоящее время метод малого параметра широко применяется к исследованию
нелинейных задач механики, физики и техники.
Небольшая “Заметка о линейных
дифференциальных уравнениях” Остроградского (1839) содержит классическую теорему,
которая излагается теперь в любом курсе дифференциальных уравнений. Дано
уравнение
.
и п его решений , которые
предполагаются линейно независимыми. Согласно теореме Остроградского
определитель
выражается через коэффициент при (п-1)-й
производной:
,
где а – постоянная. Мы называем определитель по имени впервые рассмотревшего его (в
другой связи и более общей форме) польского математика Г. Вронского (1812). Та
же теорема была одновременно получена из несколько иных соображений Ж. Лиувиллем
(1838).
Некоторые работы Остроградского были связаны с конкретными
задачами современной ему военной техники. Так, например, в 1839-1842 гг. он по
поручению артиллерийского ведомства занимался изучением стрельбы
эксцентрическими сферическими снарядами, у которых центр фигуры отличен от
центра инерции. Этому вопросу Остроградский посвятил три небольшие статьи, из
которых одна содержала таблицы интегралов, нужных для решения задачи о движении
снаряда в воздухе при квадратичном законе сопротивления. К работам по
баллистике в свою очередь примыкали исследования Остроградского по приближенным
вычислениям, в том числе и упоминавшаяся работа 1839 г., содержащая вывод
остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена.
План:
1.
Жизненный путь М. В.
Остроградского.
2.
Кратные интегралы.
3.
Дифференциальные уравнения.
4.
Заключение.
МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. А. А. КУЛЕШОВА
Реферат
на тему:
М. В. Остроградский
Выполнила
студентка
физико-математического
факультета
V курса, группы “B”
Семерикова
Юлия
МОГИЛЕВ
2002.