Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
|
на тему:
"Об интегральных формулах Вилля-Шварца
для трехсвязных областей и ее применение
к краевым задачам Дирихле".
|
Оглавление.
Введение.
§1. О задачах Дирихле.
а)
Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона (классическая формулировка).
б) Обобщенная задача Дирихле
в) Видоизмененная задача Дирихле.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей.
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
е) Задача Неймана.
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга.
б) Интегральная формула Пуассона.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
§3. Интегральная формула
Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца (1912).
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля.
б) Функции Вейерштрасса (I(u), 
(u),
(u)).
§4. О некоторых
изменениях теории конформного отображения к краевым задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
б) О решении задачи
Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей.
в) Интегральная формула
Чизотти для заданных областей – решение задачи Дирихле для соответствующих
областей.
§5. Об интегральных
представлениях Пуассона-Дирихле для заданных областей.
§6. Интегральная формула
Чизотти-Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
Литература.
Введение.
В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы (классические
представления) аналитических и гармонических функций в заданных многосвязных
областях.
Даны новые методы решения классических краевых задач методом интегральных
представлений аналитических функций, используя метод конформного отображения канонической
области 
(z) на
соответствующие области G
(w).
Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля-Шварца
и Чизотти для многосвязных областей.
В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического кругового
кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к решению классических
краевых задач типа Дирихле-Неймана.
Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1.
Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах
типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2.
Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих задач
для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень работ
по данному исследованию (1 – 24).
Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые для
понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной
классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая,
видоизмененная) для любой связности заданной области G= G
(w)
и задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для
полуплоскости).
В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового кольца
в форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная, контурная, структурная
формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же, ввиду важности трех функций I(u), (u) и (u) для
практического приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все
варианты представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19] –
[22] специальных функций (а), б)).
Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора: рассмотрены
применение теории комфорного отображения к краевым задачам – решение задачи
Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга, кругового
кольца и, наконец, §6 – интегральная формула Чизотти-Шварца-Пуассона-Дирихле
для конечных трехсвязных областей.
Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и о
содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде и
параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и однозначно.
Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями курсовых
работ и самостоятельной работы автора.
§1. О задачах Дирихле.
а)
Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
(классическая
формулировка).
1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была
названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача формулируется
следующим образом.
Пусть на границе области D+
задана непрерывная функция f(
). Найти непрерывную в 
и гармоническую внутри области D+ функцию U(z), принимающую на границе значения f(). Таким образом, требуется, чтобы U(z) стремилась к f(), когда z 
D+ стремится к , u(z) → f(), при z → .
Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал установившегося
движения несжимаемой жидкости, температура, электромагнитные и магнитные потенциалы
– все являются гармоничными функциями.
Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит определение
температуры внутри пластинки при известных ее значениях на контуре.
Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти гармоническую
в области D+ функцию U(z) по заданным значениям
ее нормальной производной 
на , а также смешанной задачи
Дирихле-Неймана.
Найти гармоническую в D+
функцию по известным ее значениям на некоторых дугах границы и значениям нормальной производной на
остальной части .
Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике. Различные
приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев И.А. и Шабат
Б.В. [1].
Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится
основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и изгиба в
теории упругости. С нею же тесно связаны основные задачи статистической теории
упругости. Мы будем заниматься плоской задачей, которая представляет для нас
особый интерес как по обилию приложений, так и по большей разработанности и
эффективности методов решения.
2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений
уравнения Лапласа
, (1)
которое является
одним из простейших дифференциальных уравнений с частными производными второго
порядка.
Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для выделения
одного определенного решения задают дополнительные условия, так и для полного
определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные условия. Для
уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых краевых условий, т.е.
заданных соотношений, которым должно удовлетворять искомое решение на границе области.
Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой гармонической
функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы приходим к первой краевой
задаче или задаче Дирихле:
Найти гармоническую в области D и
непрерывную в 
функцию u(z), которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u().
К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание
температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в некоторой
области при заданной температуре или потенциале на границе области. К ней
сводятся и краевые задачи других типов.
б)
Обобщенная задача Дирихле.
В приложениях условие непрерывности граничных значений 
, является слишком стеснительным и
приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле [1]:
На границе области D
задана функция 
, непрерывная всюду, кроме
конечного числа точек 
, где она имеет точки разрыва
первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D
функцию u(z),
принимающую значения u(z)
= во всех точках непрерывности этой
функции.
Если заданная функция непрерывна, то
обобщенная задача Дирихле совпадет с обычной, ибо условие ограниченности
функции u(z)
следует из условия ее непрерывности в .
Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
В данной области при заданной граничной функции существует не более одного решения
обобщенной задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи
Дирихле.
Можно доказать, что:
1.
для любой односвязной области D и любой
кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции решение обобщенной задачи Дирихле
существует.
2.
решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом
Пуассона
, 
, 
)
(2)
3.
для произвольной области D, мы получим
искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой
Дж.Грина [12, 18]:
,
(3)
где 
- производная в направлении внутренней
нормали к С,
ds - элемент длины , соответствующей 
,
- элемент внутренней
нормали к , 
-
фиксированная произвольная точка области D, а
функция 
; 
,
реализующая отображение D на единичный круг 
и 
-
функция Грина для области D, гармоническую всюду
в D кроме точки , где
имеет плюс.
Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле
для некоторой области D через логарифм
конформного отображения D на единичный круг,
т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное
верно.
Итак, задача конформного отображения области на
единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся
друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.
в) Видоизмененная задача Дирихле.
Пусть S+ -
связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими
контурами 
, из которых первый охватывает все
остальные. Под L мы будем подразумевать
совокупность этих контуров 
, (
). Через 
- мы
обозначим совокупность конечных областей 
заключенных,
соответственно, внутри контуров 
и бесконечной области
, состоящей из точек расположенных вне 
. На контуры 
мы наложим
еще следующее условие: угол, составляемый касательной к 
с
постоянным направлением, удовлетворяет условию H;
иными словами, мы будем считать, что L
удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].
Функция 
удовлетворяет условию
H на этом множестве,
если для любых двух 
переменной на этом множестве
, (4)
где A и 
- положительные
постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а - показатель условия Н и при =1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие
условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное
определение непрерывности.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].
Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в 
, по граничному условию
u=f(t)
на L,
(5)
где f(t) – заданная на L
(действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u(x,y)
требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и
стремится к вполне определенному пределу, когда z
уходит в бесконечность.
Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга 
в
ряд.
, 
)
абсолютно и равномерно
сходящийся вне круга любого радиуса 
поэтому u→
при r→
.
Для некоторых применений не меньший интерес
представляет и следующая задача, которая называется "видоизмененной
задачей Дирихле". Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и
Д.З.Авазошвили [17].
Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле
для многосвязных областей.
Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в , по
следующим условиям:
1. u(x,y)=
Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;
2. она удовлетворяет граничному условию
u=f(t)+
(t)
на L,
(6)
где f(t) – заданная на непрерывная
функция 
, 
, (7)
где 
постоянные
не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+ на
заменяются требованием ограниченности u(x,y)
на бесконечности.
Можно показать, что постоянные вполне определяются условиями самой
задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.
Если L состоит из
единственного замкнутого контура, то различают два случая:
а) р=0. Тогда S+
представляет собой конечную часть плоскости, ограниченную контуром ;
б) р=1, а контур отсутствует.
Тогда область S+ представляет собой
бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром 
.
Легко видеть, что в случае а) задачи А и В
совпадают (если считать =0) в случае б) эти
задачи непосредственно сводятся одна к другой.
Каждая из задач А и В не может иметь
более одного решения (если =0).
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области
D гармонической функции и которая на границе Г
области D совпадает с наперед заданной функцией 
. Задачу отыскания регулярного в области
решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные
значения на границе области, также называется задачей Дирихле, или первой
краевой задачей.
Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались
еще К.Гауссом, а затем Дирихле. Для областей D с
достаточно гладкой границей Г решение задачи Дирихле можно представить
интегральной формулой
, (8)
где 
-
производная по направлению внутренней нормали в точке 
функции
Грина 
, характеризуемой следующими свойствами:
1. 
, при 
3 или
, при 
2,
где 
-
расстояние между точками 
и 
, 
-
площадь единичной сферы в 
, 
- регулярная в 
гармоническая
функция как относительно координат , так и относительно
координат ;
2. 
, когда 
, 
.
Для шара, полупространства и некоторых других
простейших областей функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное
решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы
носят название формул Пуассона.
Задача Дирихле является одной из основных проблем
теории потенциала – теории гармонических функций.
Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле
справедливо интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона
, (9)
являющейся обобщением
формулы (8). Здесь 
- гармоническая мера множества
в точке .
Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для
произвольных граничных функций , при этом можно
требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме.
Например, если -
область 
с достаточно гладкой границей Г,
а граничащая функция имеет только точки разрыва
1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках
непрерывности , для обеспечения
единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения.
е) Задача Неймана.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений
важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
Найти гармоническую в области функцию 
, зная
значения ее нормальной производной на границе С:
(10)
и значение 
в какой-либо точке в области .
Для определенности мы будем предполагать, что в (10)
рассматривается внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью
с осью х. Функция 
может иметь на конечное число точек разрыва 1-го рода,
функция и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными.
Следующая теорема выражает от нормальной производной
гармонической функции:
Если функция гармонична
в односвязной области и непрерывна вместе со своими
частными производными в , то
, (11)
где -
граница области обозначает производную в
направлении нормали к , а 
-
дифференциал дуги.
Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи
Неймана необходимо выполнения соотношения
.
(12)
Доказывается единственность решения задачи Неймана и
при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться
случаем, когда область представляет собой
полуплоскость (
z,
> 0).
В дополнительном предположении непрерывности частных
производных в решение задачи Неймана
сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.
Две гармонические в области функции
и 
,
связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.
Как мы знаем, для всякой функции гармонической в односвязной области , можно найти сопряженную с ней
гармоническую функцию . Так как функция определяется
своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то
совокупность всех гармонических функций 
сопряженных
с дает формула:
, (13)
где С – произвольная
действительная постоянная.
Заметим, что в многосвязной области интеграл (13) по контуру 
, определяет, вообще говоря, многозначную
функцию:
, (14)
где 
-
произвольные целые числа, а 
- интегралы вдоль
замкнутых контуров 
, каждый из которых содержит
внутри себя одну связную часть границы :
.
(15)
Постоянные называются
периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.
Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится
к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции 
, где , носят название соответственно силовой
функции и потенциала поля.
Функции и , представляющие собой регулярные решения
системы Коши-Римана [6]:
, 
(16)
имеют частные производные
всех порядков, т.е. аналитические функции 
являются
решением уравнения 
. (17)
Условие (17) – условие комплексной
дифференцируемости функции 
.
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а)
Интеграл Шварца для круга
Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции
находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат,
дающий выражение функции
, регулярной в
области, через значения
на контуре, в том
случае, когда область есть круг радиуса
,
известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:
, (, 
) (18)
Полагая здесь 
, мы найдем для 
чисто вещественное значение , для которого мнимая часть обращается в
нуль в начале координат.
Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к
правой части произвольное мнимое число 
:
, .
(19)
Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так
как вещественная
часть даст нам
интеграл Пуассона для и мнимая же часть доставляет выражение
через 
.
Для единичного круга 
,
имеет вид:
, (20)
где 
, 
-
представляет значение вещественной части искомой функции в точке 
.
б)
Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений
гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе,
решается, как известно, интегралом Пуассона:
, (21)
где 
- полярные координаты точки, где ищется
значение решения; - радиус окружности и 
- функция полярного угла 
, дающая граничные значения 
[9].
Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что
,
(
, 
)
Поэтому 
представима рядом:
(22)
где 
и 
- коэффициенты Фурье :
; 
; 
В центре окружности при 
мы
получаем:
(23)
Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции
в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой
окружности.
в)
Интеграл Пуассона для внешности круга.
Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности 
и принимающую на самой окружности
заданные значения [9]:
, ().
Покажем, что искомую функцию 
может быть
представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть получен из (1).
Пусть 
, а 
,
Функция 
, гармоническая вне окружности , перейдет в функцию 
, гармоническую внутри круга радиуса 
, принимающую на его границе значения
.
По формуле (1) она при 
представима
интегралом Пуассона:
.
Если в этом равенстве подставить вместо 
и их выражения через 
и и заменить
переменную интегрирования, положив 
, то мы получим
формулу Пуассона для внешности окружности:
,
(24)
решающую
поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней и переменились
местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра интеграла Пуассона (1)
только знаком.
Разложение искомой функции в тригонометрический ряд,
подобный ряду (22), представляющей ее вне окружности:
.
(25)
Если в (25) ®, то получим теорему Гаусса для внешности
окружности:
,
(26)
т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть
среднее арифметическое значений на граничной окружности.
г)
Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри верхней
полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси, можно
получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга плоскости 
на
верхнюю полуплоскость 
при помощи функции
Граничные значения на окружности перейдут в граничные значения на
вещественной оси и мы получим искомую формулу в виде [1]:
, (
)
(27)
При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее употреблять в
ином виде, взяв за переменную интегрирования не
, а
угол
, который образует прямая
с перпендикуляром
к оси
,
опущенным из точки
, имеем:
, 
и окончательно имеем:
. (28)
д)
Задача Дирихле для кругового кольца.
Граничные значения гармонической функции на
окружности кольца 
мы будем предполагать
заданными в форме функций от полярного угла и
обозначим их соответственно через 
и 
.
Сопряженная с гармоническая функция 
будет вообще говоря, не однозначной, и фкп
будет состоять из двух слагаемых:
однозначной составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и
логарифм с вещественным коэффициентом:
, 
. (29)
Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим
решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не
так просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула
Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля –
проблема Дирихле
для кругового кольца (1912).
Пусть в плоскости комплексного переменного дано
круговое кольцо 
, ограниченное окружностями
, 
,
где заданное положительное число 
<1.
Требуется найти регулярную и однозначную внутри области 
функцию 
,
если известны значения ее вещественной части на границах кольца.
Для случая круга аналогичная задача решается
известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1)
, (
, 
),
где с –
действительная переменная.
Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности
определяется аргументом этой точки, так что представляет значение вещественной части
искомой функции в точке 
.
Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы,
аналогичной формуле (1).
Обозначим через 
и 
значения
вещественной части искомой функции в точках с аргументом
на внешней, соответственно внутренней,
границе .
Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле
переход от односвязной области к двусвязной.
Величина
,
где интеграл
справа берется по окружности радиуса (
) с центром в точке , очевидно, не зависит от . Тем же свойством обладает и вещественная
часть написанного интеграла.
Отсюда, приближая вначале к
1, а замечая, что в интеграле можно
сделать требуемые предельные переходы, получим:
. (30)
Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной нами
проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.
Искомая функция может
быть разложена в ряд Лорана
. (31)
Мы найдем разложения обеих функций , в
ряды Фурье. Из этих разложений получаются коэффициенты 
в
виде некоторых интегралов и подставляя в (31) получим известную формулу Анри
Вилля для кругового кольца в форме Н.И.Ахиезера [7].
, (32)
где с –
произвольная вещественная константа, 
- произвольное
положительное число, а чисто мнимое число 
находится
с помощью равенства
, (33)
, 
и,
наконец 
- функция Вейерштрасса.
Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы
Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в монографии
Н.Ахиезера [7].
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).
Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].
, (34)
где из (33)
следует, что 
, где 
-
положительное действительное число, можно придать более компактную форму, если
несколько преобразуем (32), учитывая (33) и замечая, что можно выразить через с учетом граничных свойств:
,
, 
;
(35)
, 
.
Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет
следующий окончательный вид:
,
(36)
где с –
постоянная.
Формулу (36)
можно назвать канонической, компактной и контурной интегральной формулой Анри
Вилля для кругового кольца.
б) Функции Вейерштрасса.
В виду важности трех функций Вейерштрасса 
, 
и 
для
практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим следующие
варианты представления данных функций [19] - [22]:
1. 
(37)
или
(38)
2. 
,
:
, 
(39)
,
для действительных нулей
полинома
возможны следующие частные случаи:
:
, 
,
.
3.
,
,
где 
, 
, 
.
4. 
(41)
где 
;
; 
; 
.
5. 
, т.е.
, (44)
где (
),
, 
(45)
или
6. 
(46)
– эллиптическая функция Вейерштрасса
.
Функция Вейерштрасса 
, (48)
так что 
.
Функция Вейерштрасса определяется с
помощью равенства
.
Из этой формулы следует и
где путь
интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов, отличную от
точки 
.
§4. О некоторых применениях теории
конформного
отображения к краевым задачам.
а)
Об структурном классе интегральных представлений.
Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ давно
служит:
–
как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений
дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции Бесселя,
Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева, гипергеометрическая
функция и многие другие – являются решениями линейных дифференциальных
уравнений с аналитическими коэффициентами;
–
для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического продолжения;
–
несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории
аналитических функций и сингулярных уравнений;
–
исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций различных
классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математического
анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца, Чизотти и т.п.)
Обширный класс интегральных представлений
аналитических функций, используемых для получения и исследования аналитических
решений дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой:
(49)
где 
- ядро типа Шварца, зависящее от
связности данной области, 
- аналитическая
функция, регулярная и однозначная в (n+1) –
связной канонической круговой области 
, - заданная плотность – вещественная
функция в точках 
, 
контура
круговой области .
Вещественные 
и комплексные 
таковы, что :
, 
, (
, 
).
(50)
По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое
решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей 
плоскости ,
ограниченную замкнутыми кривыми 
типа Ляпунова.
(Существует касательная в каждой точке 
, 
, 
, 
- угол между касательными; кривая
замкнута и ограничена).
Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи
Дирихле для области 
и интегральные формулы
Пуассона для :
(51)
.
(52)
Из (52) получим:
;
.
где
, 
,
, 
, 
, 
, 
[4];
В случае круга:
,
.
Круговое кольцо:
;
,
где 
- функция Вейерштрасса, 
, 
, , 
- некоторые постоянные, определяемые из
нормировки отображений функций 
, 
, 
-
периоды функции .
Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей
, или решениями задачи Дирихле для
рассматриваемой области или интегральными формулами Пуассона для
соответствующих канонических областей .
б)
О решении задачи Дирихле методом Чизотти
для
многосвязных областей
Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных
областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема.
Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный
интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных
областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для
конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу
Чизотти для заданных соответствующих областей.
1. Построим функцию 
, дающую конформное
отображение 
на 
, где 
, 
; (
):
, (57)
где 
и -
постоянные, определяется однозначно по формуле
Шварца для соответствующих заданных областей.
Пусть 
- регулярная функция в . Так как подинтегральное выражение (57)
представимо по формуле Эйлера в следующем виде:
, то
(58)
С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:
;
.
где 
и 
-
постоянные (к=1,2).
Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных
многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти для
конечных многосвязных круговых областей.
Если найден 
и 
от
известного интегрального выражения 
):
, т.е.
; (60)
то мы получим
решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных, бесконечных)
областей .
2. Если область 
- концентрическое круговое
кольцо, то
, (61)
где - заданная функция - функция Вейерштрасса, то мы имеем
интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.
Из (61) получим:
, (62)
, (63)
где 
, 
, 
, 
.
Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона. Подставляя
(62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную формулу
Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать интегральными
формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей –
решение
задачи Дирихле для соответствующих областей.
Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей , дающие аналитической в функции через
нормальной производной ее действительной части на границе области и
интегральные представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение
функции , реализующей конформное отображение
области на ограниченную гладкой кривой (51),
(52), то поэтому интегральную формулу, дающую конформное отображение на через
нормальную (касательную) производную ее действительной (мнимой) части на границе ,
естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных
областей.
Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных областей
и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.
Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной гармонической
функции.
Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области на каноническую область 
и задача Дирихле для той же области
эквивалентны (49), используем интегральный метод Чизотти для соответствующих
областей (50), (51).
Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в , найдем решение задачи Дирихле, как
представляющее однозначную и аналитическую (гармоническую) в произвольной
многосвязной области функцию
(64)
удовлетворяющую
в уравнению
(65)
и граничному
условию
, ,
(66)
где 
.
Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей имеет следующий вид:
(67)
или после
соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):
;
, (68)
где и постоянные,
определяемые нормировкой функции , - угол наклона касательной в точке 
,
соответствующей при отображении .
Пусть теперь - каноническая область (круг,
концентрическое круговое кольцо, внешность двух кругов, …), а - соответствующая область, ограниченная
контуром .
Построим функцию , дающую конформное
отображение на .
Причем будем для простоты считать, что 
, 
.
В силу конформности отображения всюду
в функция равна
; 
на (69)
,
Следовательно, функцию можно представить
следующими интегральными формулами типа Шварца:
, 
, ();
, , (
; (70)
, 
,
где 
- ядро Шварца для круга;
- функция Вейерштрасса;
- ядро
Александра-Сорокина для неконцентрического кругового кольца;
- ядро для внешности двух окружностей;
- ядро для
симметричных и равных (неравных) окружностей.
Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для решения
задачи типа Дирихле для рассмотренных областей .
Для нахождения гармонической (или ) в произвольной односвязной области функций, достаточно знать 
или 
обычные
классические интегральные формулы Пуассона для круга :
или
.
2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной ограниченной
(конечной) области через -
решение кругового кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля,
т.е. и -
интегральные формулы Пуассона для кругового кольца ():
,
.
Таким образом, аналогичными примерами можно найти и для остальных рассмотренных
областей решения задачи Дирихле (
) через и .
§5. Об интегральных представлениях
Пуассона-Дирихле
для заданных областей.
Пусть , 
, - нормированная функция дает конформное
отображение канонической области 
плоскости на соответствующую область 
плоскости .
Простоты ради будем считать, что 
.
В силу конформности отображения 
мы имеем, что 
всюду
в и, как легко видеть реальная (действительная)
часть голоморфной в функции
равна на окружностях :
, (72)
где 
при , (
), (73)
, - угол
наклона касательной к в точках , соответствующих при
отображении . Область ограничена
гладкими кривыми типа Ляпунова , а в каждой точке 
контура области плоскости
известен угол наклона .
Здесь вещественные числа 
и
комплексные числа 
, таковы
для конечной 
- связной области, что
, 
, (, ).
(74)
При этом будем считать, что - внешняя, а 
- внутренние кривые, и будем считать,
что , [5].
Из существования отображающей функции
следует,
что функция
регулярная, однозначная и эффективная в
канонической области
согласно равенству (64),
представляется по интегральной формуле Шварца [5] в форме Александрова-Сорокина
в следующем виде:
.
(75)
Функция 
регулярна и действительные
части на граничных компонентах принимают непрерывные
значения 
, определяемые равенством (65), а 
- ядро определяется следующими формулами
[5]:
, (76)
, (77)
1, при
-1, при 
, с
– вещественное число.
Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим две интегральные
формулы Пуассона для - связных круговых областей 
; что мы и делаем, следуя вычислениям
Александрова-Сорокина [5], т.е. решаем задачу Дирихле-Пуассона: об определении
значений гармонической функции внутри канонической области , если известны ее значения на границах 
, 
-
функция полярного аргумента, дающая граничные значения 
.
, (78)
, (79)
где , , 
.
Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для .
Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить 
,
то мы получим формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [ ]:
, (
)
(80)
, (
)
(81)
Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить 
,
то мы получим две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца:
, (82)
, (83)
где (74) и (75)
– реальные и мнимые части компактной интегральной формулы Вилля-Шварца для
кругового кольца [2], 
- функция Вейерштрасса, - угол наклона касательной к 
в точке , , - периоды,
с – произвольная постоянная, 
(
).
Так как функция 
) представляется быстро
сходящимися рядами, то формулы (74) и (75) можно с успехом использовать для
приближенного решения соответствующих граничных задач.
Следствие 3. Если в формулах (70) и (71) 
-
задана нормальная (касательная) производная, то мы получим две интегральные
формулы Дини-Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное
обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для заданных
рассмотренных областей.
В случае единичного круга эта формула имеет
вид[1, 9]:
, (84)
где
действительная функция 
при , под понимается
дифференцирование по направлению внутренней нормали, а с – произвольная
постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что
.
(85)
Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости рассматриваемой
граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная аналитическая функция
определяется с точностью до произвольного комплексного постоянного слагаемого.
А из (76) следуют формулы Дини:
,
.
В случае кругового кольца , имеем
, (87)
где
,
, .
Формула (80) – формула Дини-Шварца или интегральная формула Дини-Шварца
для кругового кольца.
Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые части, то мы
получим непосредственное обобщение интегральной формулы Дини, дающее решение
граничной задачи Неймана для кругового кольца:
,
,
где 
, 
, 
.
Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца.
Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини для любых
(
) связных (конечных и бесконечных)
областей, используя формулы (70) и (71).
§6. Интегральная формула
Чизотти-Пуассона-Дирихле
для конечных трехсвязных областей.
Формула Чизотти для многосвязных круговых областей дает выражение
функции, реализующей конформное отображение области
ограниченной
окружностями
, (
,
0, 1, 2 и
) на
многосвязную область
плоскости
, ограниченную гладкими кривыми
.
Если в каждой точке 
, где , контура 
области
плоскости известен
угол наклона 
касательной к , где , - внешняя, 
-
внутренние, 
, .
Построим функцию дающую конформное отображение
области на , где 
. тогда 
голоморфна
в и действительная часть голоморфной
функции 
равна на
окружности 
, т.е.
, , (90)
где - угол наклона касательной к в точках 
соответствующих
при отображении функцией .
Из существования отображающей функции следует, что функция в области согласно
(82) можно представить по формуле Шварца для многосвязных областей. Функция регулярна и однозначна в области и ее действительная часть на 
принимает непрерывные значения 
. Тогда с помощью формулы Шварца, с
учетом (82) функция принимает вид:
, (91)
где , 
, 
, -
заданная плотность по граничному условию (81), 
-
ядро, определяемое следующими формулами:
,
где:
;
;
;
; ; 
.
; 
,
где 
ядра, зависящие от натурального
параметра.
Определив , мы сможем из (82) найти 
:
,
(93)
где А –
произвольная постоянная, - определяется
равенством (83). Отсюда интегрируя обе части (85) получим:
, (94)
(86) – есть формула Чизотти для конечных трехсвязных областей.
Итак, интегральная формула Чизотти для конечных трехсвязных областей
имеет вид:
где А и В
– постоянные, определяемые из нормировки функций: ,
,
>0.
Если 
, то и - две интегральные формулы Пуассона для
заданных трехсвязных областей.
Если 
, то
,
где , 
(Шварц,
1869),
,
(Вилля,
1921),
(96)
, 
(Александров-Сорокин,
1972),
Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для рассмотренных
областей 
, а формулы (88) – интегралами типа
Шварца, а реальные и мнимые части от функции -
интегральными формулами типа Пуассона.
Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового кольца,
и для внешности 
и 
окружностей
[4].
Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда 
- правильные многоугольники (формулы
Кристоффеля-Шварца-Дирихле для рассмотренных областей).
Замечание 1. Так как заданные функции 
-
являются быстро сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные
интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного решения
соответствующих граничных задач.
Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели
только задачу Дирихле.
Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными
случаями задачи:
Найти регулярное в области 
решения
эллиптического уравнения
, (97)
удовлетворяющие
на границе условию
,
(98)
где 
- производная по некоторому направлению,
а 
- заданные непрерывные на функции, причем 
всюду
на и
1.
при 
, 
-
задача Дирихле;
2.
при 
, 
-
задача с косой производной, которая переходит в задачу Неймана, если
направление 
совпадет с направлением по нормали.
Литература.
1.
М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. "Методы теории функции комплексного переменного".
М. 1965.
2.
Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца". Труды
ВЦАН Груз. ССР 1973. т.XII вып.I,
стр.218-222.
3.
Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для многосвязных круговых
областей". ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.
4.
Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для (n+1)
– связных бесконечных областей". Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.
5.
И.А.Александров, А.С.Сорокин. "Задача Шварца для многосвязных областей".
СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.
6.
А.В.Бицадзе. "Основы ТАФКП". М. 1984.
7.
Н.И.Ахиезер. "Элементы теории эллиптических функций". М. 1970,
стр.9-34; 179-190; 224-229.
8.
В.И.Смирнов. "Курс высшей математики". т.3 часть вторая, изд.
6. М. 1956, стр.182-184.
9.
Л.В.Канторович, Крылов. "Приближенные методы высшего анализа".
М.-Л., 1962, стр.584-645.
10.
Ф.Д.Гахов. "Краевые задачи". М. 1977. изд. 3.
11.
И.И.Привалов. "Граничные свойства аналитических функций".
М.-Л. 1950.
12.
Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.
13.
В.А.Змарович. "О структурных формулах теории специальных классов
АФ". Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.
14.
Х.Т.Тлехугов. "О применении формулы Чизотти к приближенному отображению
с особой нормировкой". Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101. 1., стр.21-24.
15.
Х.Т.Тлехугов. "О приближенном конформном отображении методом растяжения".
Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.
16.
Х.Т.Тлехугов. "Применение формулы Чизотти к приближенному отображению".
Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.
17.
Н.И.Мусхелишвили, Д.З.Авазошвили. "Сингулярные и интегральные уравнения".
М. 1956.
18.
С.Г.Михлин. "Интегральные уравнения". ОГИЗ. М.-Л. 1947.
19.
Бейтмен и Эрдейн. "Высшие трансцендентные функции". М. 1967.
стр.294.
20.
Градштейн, Рыжик. "Таблицы интегралов и произведений". М.
1962. стр.931-935.
21.
М.Абрамович, И.Стиган. "Справочник по специальным функциям".
М. "Наука", 1979. стр.442-445.
22.
Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. "Специальные функции". М. 1968.
стр.120-143.
23.
Д.А.Квеселова, Х.Т.Тлехугов. "Формула Дини-Шварца для кругового кольца".
Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.
24.
Н.И.Мусхелишвили. "Сингулярные интегральные уравнения". М.
1962. стр.245-269.