Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
Морфологический анализ цветных
(спектрозональных) изображений.
Пытьев Ю.П.
Московский государственный университет, Москва,
Россия
1. Введение
Хорошо
известно, что изображения одной и той же сцены,
полученные при различных условиях освещения и(или) измененных[1]
оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство
порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации
изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий
регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного
объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне
при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной
и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.
Методы
морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для
решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к
черно-белым изображениям[2] и оказались достаточно
эффективными, [5-11].
Между тем, по меньшей мере два
обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов
анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения
объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона.
Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически
устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном
распределении интенсивности спектрально однородного освещения.
2. Цвет и яркость спектозонального
изображения.
Рассмотрим
некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных
(спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии
[12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными
чувствительностями j=1,2,...,n, где
l(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку
излучения со спектральной плотностью e(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют вектор , w(×)=. Определим суммарную спектральную
чувствительность детекторов , lÎ(0,¥), и
соответствующий суммарный сигнал назовем яркостью
излучения e(×). Вектор назовем цветом
излучения e(×). Если цвет e(×) и само
излучение назовем черным. Поскольку равенства и
эквивалентны, равенство имеет смысл и для черного цвета, причем
в этом случае - произвольный вектор, яркость
оторого равна единице. Излучение e(×) назовем белым и
его цвет обозначим если отвечающие ему выходные
сигналы всех детекторов одинаковы:
.
Векторы , и , , удобно считать элементами n-мерного
линейного пространства . Векторы fe,
соответствующие различным излучениям e(×), содержатся в
конусе .
Концы векторов содержатся в множестве , где Ï - гиперплоскость .
Далее предполагается, что всякое
излучение , где E - выпуклый конус излучений,
содержащий вместе с любыми излучениями все
их выпуклые комбинации (смеси) Поэтому векторы в образуют
выпуклый конус , а векторы .
Если то и их аддитивная смесь . Для нее
. (1)
Отсюда следует
Лемма
1. Яркость fe и цвет je любой аддитивной смеси e(×) излучений
e1(×),...,em(×), m=1,2,...
определяются яркостями и цветами слагаемых.
Подчеркнем,
что равенство , означающее факт
совпадения яркости и цвета излучений e(×) и , как правило, содержит сравнительно
небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e(×) на в любой аддитивной смеси излучений не
изменит ни цвета, ни яркости последней.
Далее
предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать базовые
излучения , для которых векторы , j=1,...,n, линейно
независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их
яркости будем считать единичными, , j=1,...,n.
В таком случае излучение характеризуется
лишь цветом , j=1,...,n.
Для
всякого излучения e(×) можно записать разложение
, (1*)
в котором -
координаты в базисе ,
или, в виде выходных
сигналов детекторов излучения, - , где , , -
выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению ej(×), i, j=1,...,n. Матрица - стохастическая, поскольку ее матричные
элементы как яркости базовых излучений неотрицательны
и , j=1,...,n. При этом
яркость и вектор цвета ,
, j=1,...,n, (конец
которого лежит в Ï) определяются координатами aj и цветами излучений , j=1,...,n,
и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(×).
В ряде
случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а
не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в
(1*) отвечают равные координаты: .
Заметим,
что слагаемые в (1*), у которых aj<0,[3]
физически интерпретируются как соответствующие излучениям,
"помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0: . В такой форме равенство
(1*) представляет “баланс излучений”.
Определим
в скалярное произведение и векторы ,
биортогонально сопряженные с : , i,j=1,...,n.
Лемма
2. В разложении (1*) , j=1,...,n, . Яркость , где , причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так как , i,j=1,...,n.
Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так,
чтобы выходные сигналы детекторов были
координатами fe в некотором
ортонормированном базисе . В этом базисе конус
. Заметим, что для любых векторов и, тем более, для , [4].
Пусть Х - поле зрения,
например, ограниченная область на плоскости R2, или на сетке , спектральная чувствительность j-го
детектора излучения, расположенного в точке ; -
излучение, попадающее в точку . Изображением
назовем векторнозначную функцию
(2**)
Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х,
С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра
подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображение определим равенством
, (2)
в котором почти для всех , , -
m-измеримые
функции на поле зрения X, такие, что
.
Цветные изображения образуют подкласс функций лебеговского класса функций .
Класс цветных изображений обозначим LE,n.
Впрочем,
для упрощения терминологии далее любой элемент называется
цветным изображением, а условие
(2*)
условием физичности изображений f(×).
Если f(×) - цветное изображение (2), то ,
как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , .
Изображение , назовем черно-белым
вариантом цветного изображения f(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках
множества Â={xÎX: f(x)=0} черного цвета j(x),
xÎÂ, -
произвольные векторы из , удовлетворяющие
условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f(×)
будем также называть цветное изображение b(×), имеющее
в каждой точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x),
xÎX, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b, xÎX.
3. Форма цветного изображения.
Понятие формы изображения
призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности
изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований
изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно
часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном
спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности
освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются
преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует
яркость изображения в каждой точке при неизменном распределении цвета. При
этом в каждой точке у вектора f(x)
может измениться длина, но направление останется неизменным.
Нередко изменение
распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и
его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в
пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и
цветом j нет взаимно
однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x)
в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×):,
ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество
поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .
Пусть при рассматриваемом
изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая
модель преобразования изображения состоит в том, что цвет преобразованного изображения должен быть
также постоянным на каждом множестве A(j), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j. Характекрным в данном случае
является тот факт, что равенство влечет . Если -
самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j¢) и A(j) цвет изображения может оказаться
одинаковым[5].
Как правило,
следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех
случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования
из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью
до произвольного преобразования из этого класса.
Для определения понятия
формы цветного изображения f(×) на удобно
ввести частичный порядок p , т.е.
бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1), 2) , , то , ;
отношение p должно быть
согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а
именно, , если .
Отношение p интерпретируется
аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, означает, что изображения f(×) и g(×)
сравнимы по форме, причем форма g(×) не сложнее, чем
форма f(×). Если
и , то f(×) и g(×) назовем совпадающими по
форме (изоморфными), f(×)
~ g(×). Например, если f(×) и g(×) - изображения одной и той же
сцены, то g(×),
грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее,
детальнее), чем f (×),
если .
В рассматриваемом выше
примере преобразования изображений , если между множествами A(j), и A¢(j¢), существует взаимно-однозначное
соответствие, т.е., если существует функция ,
такая, что A¢(j¢(j))= A(j),, причем, если
. В этом случае равенства и эквивалентны,
и изоморфны
и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.
Если же не взаимно однозначно, то A¢(j¢)=U
A(j) и . В этом случае равенство влечет (но
не эквивалентно) , передает,
вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .
Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX.
Если преобразование - следствие
изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f(×), g(×) -
изображения одной и той же сцены, но в g(×),
вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю,
то . Пусть F - некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования FÎF
, поскольку, если некоторые детали формы
объекта не отражены в изображении f(×), то они, тем более, не будут отражены в g(×).
Формой изображения f(×) назовем множество
изображений , форма которых не сложнее, чем форма f`(×), и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем
минимальное линейное подпространство , содержащее . Если считать, что для любого изображения , то это будет означать, что
отношение p непрерывно относительно
сходимости в в том смысле, что .
Рассмотрим теперь более
подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их
преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного
изображения.
Во многих практически
важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована
специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде здесь -
индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi, i=1,…...,N,
положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции , , j=1,...,n,
i=1,...,N, непрерывны. Поскольку согласно лемме 2
, (3)
то цветное изображение fe(×), такого объекта
характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на
каждом подмножестве Ai, i=1,...,N. Для
изображения , где
, также характерно напрерывное
распределение яркости и цвета на каждом Ai, если , - непрерывные функции.
Если, в частности, цвет и яркость постоянны на Ai,
i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения , если не
зависит явно от . Для такого изображения
примем следующее представление:
, (4)
его черно-белый вариант
(4*)
на каждом Ai имеет
постоянную яркость , и цвет изображения (4)
(4**)
не меняется на Ai
и равен , i=1,...,N.
Поскольку для реальных
изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения (4), имеющего
на различных множествах Аi имеет несовпадающие яркости и различные цвета , определим как выпуклый замкнутый в конус:
. (4***)
v(a), очевидно, содержится в n×N мерном линейном
подпространстве
, (4****)
которое назовем формой a(×) в широком смысле.
Форму в широком смысле
любого изображения a(×),
у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных
подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное
подпространство ,
натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF, где F - класс преобразований , определенных как преобразования
векторов a(x)®Fa(x) во всех точках xÎX; здесь F - любое
преобразование . Тот факт, что F означает
как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения.
Изображения из
конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×) (4), поскольку некоторые
из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных
множествах Аi, i=1,…………..,N. Также множества
оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению
формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного
объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)),
если речь идет о форме в широком смысле.
Лемма 3. Пусть {Аi}
- измеримое разбиение X: .
Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai
:
- постоянную яркость
и цвет ,
если и только если выполняется равенство (4);
- постоянную яркость
fi , i=1,...,N, если и только если в (3) не зависит от , i=1,…...,N.
Доказательство . На множестве Ai
яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]
, , i=1,.…..,N.
Если выполнено равенство (4), то и от не зависят. Наоборот, если и , то
и , т.е. выполняется (4).
Если , то цвет не зависит от .
Наоборот, пусть не зависит от . В силу линейной независимости координаты j(i)(x) не зависят от , т.е. и,
следовательно, где -
яркость на A i и . Последнее утверждение
очевидно n
Цвет изображения определяется как
электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и
спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне,
который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном
составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное
так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего
излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения
несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в
значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в
задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет
понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное
распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai ,
i=1,...,N, поля зрения X.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
, (5)
где, - индикаторная функция Ai,
, функция gi(×) задает распределение яркости
(6)
в пределах Ai при постоянном цвете
,
i=1,...,N, (7)
причем для изображения (5) цвета j(i), i=1,.…..,N,
считаются попарно различными, а функции g(i), i=1,.…..,N, -
удовлетворяющими условиям i=1,.…..,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без
потери общности можно принять условие нормировки ,
позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С
учетом нормировки распределение яркости на Ai задается
функцией а цвет на Ai равен
(7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех
изображений
(8)
,
каждое из которых, как и изображение (5), имеет
постоянный цвет в пределах каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких
изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в
изображении на некоторых различных подмножествах Ai,
i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в
изображении f(×) (5). Совпадение цвета на различных
подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению формы
изображения по сравнению с формой f(×) (5). Все изображения , имеющие различный
цвет на различных Ai, i=1,...,N, считаются изоморфными
f(×) (и между собой),
форма остальных не сложнее, чем форма f(×).
Если , то, очевидно, .
Если в (8) яркость , то цвет на Ai
считается произвольным (постоянным), если же в
точках некоторого подмножества , то цвет на Ai считается равным
цвету на ,
i=1,...,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5).
Если же по условию задачи все изображения , форма
которых не сложнее, чем форма , должны иметь на Ai,
i=1,...,N, тот же цвет, что и у то следует
потребовать, чтобы , в то время, как яркости остаются произвольными (если , то цвет на Ai
определяется равным цвету f(×) на Ai,
i=1,...,N).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно
мозаичного, изображения f(×) в том случае, когда допустимы произвольные
изменения яркости при неизменном цвете j(x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие
изображения
(9)
назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти
для всех , [ср. 2]. является
линейным подпространством , содержащем любую
форму
, (10)
в которой включение определяет допустимые
значения яркости. В частности, если означает, что яркость
неотрицательна: , то -
выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .
Более удобное описание формы изображения может быть
получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма
определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано
представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений.
Форма как оператор наилучшего приближения.
Рассмотрим вначале задачи
приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач
позволит построить форму изображения в том случае, когда
считается, что для любого преобразования , действующего на изображение как на вектор в
каждой точке и оставляющего элементом
, т.е. изображением. Форма в широком
смысле определяется как оператор наилучшего приближения изображения изображениями
где - класс преобразований
, такой, что .
Иначе можно считать, что
(10*)
а - оператор наилучшего
приближения элементами множества , форма которых не
сложнее, чем форма . Характеристическим для является тот факт, что, если f(x)=f(y),
то для любого .
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и
яркость которых постоянны на подмножествах разбиения поля зрения X.
Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет
наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в цветного
изображения f(×) (2)
изображениями (4), в которых считается заданным разбиение поля зрения X и требуется
определить из условия
(11)
Теорема
1. Пусть .
Тогда решение задачи (11) имеет вид
, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)
и искомое
изображение (4) задается равенством
. (13)
Оператор является ортогональным проектором на
линейное подпространство (4****) изображений
(4), яркости и цвета которых не
изменяются в пределах каждого Ai , i=1,...,N.
Черно-белый
вариант (4*) цветного
изображения (4) является наилучшей в аппроксимацией черно-белого варианта цветного изображения f(×) (2), если цветное изображение (4) является
наилучшей в аппроксимацией цветного
изображения f(×) (2). Оператор , является ортогональным
проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых
постоянна в пределах каждого .
В точках множества цвет (4**)
наилучшей аппроксимации (4) цветного
изображения f(×) (2) является цветом
аддитивной смеси составляющих f(×) излучений,
которые попадают на .
Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно определенной
квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче
(11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(×) на . Второе утверждение следует из равенства
, вытекающего из (13).
Последнее утверждение следует из равенств
,i=1,...,N вытекающих из (12) и
равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX. ■
Замечание
1. Для любого измеримого разбиения ортогональные проекторы и определяют
соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и
форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на
каждом и различна для разных ,[2].
Если
учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать
проектор на выпуклый замкнутый
конус (4***)
Аналогично формой
черно-белого изображения следует считать проектор на
выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [2]. Дело в том, что оператор определяет
форму изображения
(4), а именно
- множество собственных функций
оператора . Поскольку
f(×) - наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких - . Поэтому проектор можно отождествить с
формой изображения (4).
Аналогично
для черно-белого изображения a(×)
,[7] [2]. И
проектор можно отождествить с формой изображения (4*), как это
сделано в работах [2,3].
Примечания.
Формы в
широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами и ,
которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если оператор наилучшего в приближения злементами выпуклого
замкнутого (в и в )
конуса , то .
Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения
элементами можно
вначале найти ортогональную проекцию изображения на , а
затем спроецировать в на
. При этом конечномерный проектор для каждого конкретного конуса может быть реализован методом
динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа
изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П
.
Форма
в широком смысле (4***) изображения
(4) полностью определяется измеримым разложением ,
последнее, в свою очередь определяется изображением
,
если векторы попарно
различны. Если при этом , то форма в широком
смысле может быть определена и как оператор П
ортогонального проецирования на ,
определенный равенством (13).
Посмотрим, каким образом
воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как
оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство (10*) для произвольного изображения . Пусть -
множество значений и -
измеримое разбиение X , порожденное , в котором - подмножество X , в пределах которого
изображение имеет постоянные яркость и цвет,
определяемые вектором , если .
Однако для найденного разбиения
условие , вообще говоря, невыполнимо и,
следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на
. Покажем, что П можно
получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов.
Заметим вначале, что любое изображение можно
представить в виде предела (в ) должным образом
организованной последовательности мозаичных изображений
(*)
где - индикатор
множества , принадлежащего измеримому разбиению
В (*)
можно, например, использовать так называемую исчерпывающую
последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
- - C - измеримо, ;
- N+1-oe разбиение является продолжением N-го,
т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;
- минимальная s-алгебра, содержащая все , совпадает с C.
Лемма (*). Пусть - исчерпывающая последователь-ность
разбиений X и - то множество из ,
которое содержит . Тогда для любой C-измеримой
функции
и m-почти для всех [ ]. n
Воспользуемся этим результатом для
построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть -
минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е.
пусть , где -
прообраз борелевского множества , B - s-алгебра
борелевских множеств . Заменим в условиях,
определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).
Тогда
1) для любого -измеримого изображения и почти для всех , ,
2) для любого изображения при (в ), где
П - ортогональный проектор на .
Доказательство. Первое утверждение
непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для
доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) -
продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность
проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: и потому сходится (поточечно) к
некоторому ортогональному проектору П. Так как -
множество всех -измеримых изображений и их
пределов (в ), а в силу леммы (*) для
любого -измеримого изображения
, то для любого изображения и
для любого , ибо
-измеримо, N=1,2,... n
Вопрос о том, каким образом может
быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в
следующем пункте.
Заданы
векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее
приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×), в которой задано не разбиение поля
зрения X, а векторы в , и требуется построить измеримое
разбиение поля зрения, такое, что цветное
изображение - наилучшая в аппроксимация f(×). Так как
, (14*)
то в Ai
следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q,
или, что то же самое, =1,2,...,q.
Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким
множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это,
условимся считать, что запись
, (14)
означает, что
множества (14) не пересекаются и .
Чтобы
сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим
разбиение , в котором
(15)
и звездочка указывает
на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F,
действующий из в по
формуле , , i=1,...,q.
Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и ,
i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.
[8]
Теорема
2. Пусть - заданные
векторы Rn. Решение
задачи
наилучшего в приближения изображения f(×) изображениями имеет
вид , где - индикаторная
функция множества . Множество определено равенством (15). Нелинейный
оператор , как всякий оператор наилучшего
приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является
пректором.
Замечание
2. Если данные задачи доступны лишь в
черно-белом варианте, то есть заданы числа , i=1,...,q,
которые можно считать упорядоченными согласно условию ,
то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств
где , и имеет мало общего с разбиением (14).
Замечание
3. Выберем векторы fi,
i=1,..,q единичной длины: , i=1,...,q.
Тогда
. (16)
Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало
координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение изображения f(×)
инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не
изменяющего его цвет (например ), в частности,
относительно образования теней на f(×).
Замечание 4. Для любого
заданного набора попарно различных векторов оператор
F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения,
принимающего значения соответственно на измеримых
множествах (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в ) точкой F: , если ,
все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из - пустые, или нулевой меры,
соответствующие изображения имеют более простую форму.
Иначе говоря, в данном случае формой
изображения является множество всех изображений,
принимающих заданные значения на множествах
положительной меры любого разбиения X, и их пределов
в .
Теоремы 1 и 2 позволяют
записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями
, в котором требуется
определить как векторы ,
так и множества так,
чтобы
.
Следствие 1.
Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда
необходимые и достаточные условия суть
следующие: , где , .
Следующая рекуррентная процедура, полезная для
уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет
решать названную задачу. Пусть - исходные векторы в задаче (14*), -
соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор
наилучшего приближения и - невязка.
Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор
наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное
приближение f(×), чем F(1): . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее
оптимальное разбиение и построим
оператор наилучшего приближения F(2). Тогда . На следующем шаге по разбиению строим и
оператор П(3) и т.д.
В заключение этого пункта вернемся к
вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего
заданной функции . Выберем произвольно
попарно различные векторы из f(X) и построим по
формуле (15) разбиение Rn . Для
каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)),
множества , j=1,...,N(q), которого
образованы всеми попарно различными пересечениями множеств
из . Последовательность соответствующих
разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2... -измеримы и является
продолжением
5.2. Приближение
изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения поля зрения X.
Задано разбиение , требуется определить цвет и
распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено,
большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется
в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации
произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
(17)
где .
Пусть A1,...,AN
- заданное разбиение X, - индикаторная
функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не требуя, чтобы
(18)
Речь идет о задаче аппроксимации
произвольного изображения изображениями, у
которых яркость может быть произвольной функцией из , в то
время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных
подмножеств A1,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3).
Так как
то минимум S (19) по достигается при
, (20)
и равен
(21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
. (22)
В связи с последней рассмотрим
самосопряженный неотрицательно определенный оператор
. (23)
Максимум (неотрицательной)
квадратичной формы на сфере в Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном
векторе yi оператора Фi,
отвечающем максимальному собственному значению >0,
,
и равен , т.е.
. Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при
Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9]
m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего
приближения изображения изображениями g(×) (17) является изображение
(24)
Операторы ,i=1,...,N,
и - нелинейные (зависящие от f(×)) проекторы: Пi
проецирует в Rn векторы на линейное подпространство ,
натянутое на собственный вектор оператора Фi
(23), отвечающий наибольшему собственному значению ri,
; (25)
П проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения
Невязка наилучшего приближения
(19*).
Доказательство. Равентство (24) и
выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на
собственные значения для оператора Фi (23).
Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно
определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все
собственные значения Фi неотрицательны и среди
них ri - наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем
обозначения, указывающие на зависимость от f(×):
(26*)
Эти равенства, показывающие, что результат
двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26)
не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать
операторы (26) проекторами.
Пусть fi
- cсобственный вектор Фi , отвечающий
максимальному собственному значению ri. Чтобы определить следует решить задачу на собственные
значения для оператора :
.
Поскольку rank=1, имеет единственное положительное
собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi.
Поэтому
.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*)
для n
Доказательство. Достаточно доказать,
что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi
оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri,
можно выбрать так, чтобы ,
поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
,
составляющие содержание леммы. Действительно,
если то согласно (23) ,
поскольку включение означает, что;
отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) .
Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e1,...,en,
в котором , выходной сигнал i-го
детектора в точке (см. замечание 1) задача на
собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,
где , .
Так как матрица симметрическая и неотрицательно
определенная () она имеет n неотрицательных
собственных значений, которым соответствуют n ортонормированных
собственных векторов , а поскольку матричные
элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона
максимальное собственное значение - алгебраически
простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать
неотрицательным:
. Следовательно,
вектор fi определен с точностью до положительного
множителя , . n
Замечание 4.
Если , т.е. если аппроксимируемое изображение на
множествах того же разбиения имеет постоянный цвет,
то в теореме 3 , .
Наоборот, если , то
, т.е. определяется выражением (17), в
котором .
Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы
f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета
всех подмножеств A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть множество
решений уравнения
,, (27)
где , fi - собственный
вектор оператора Фi: ,
отвечающий максимальному собственному значению ri,
i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено
равенство (27).
Оператор П (24), дающий решение задачи
наилучшего приближения ,
естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17).
Заданы векторы цвета j1,..., jq, требуется определить разбиение A1,...,
Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет
соответственно цвета j1,..., jq и оптимальные распределения яркостей [10].
Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения
. (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не
требуя, чтобы . Так как для любого измеримого
, (29)
и достигается на
, (30)
то, как нетрудно убедиться,
, (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в
равенстве (14): точки xÎX, в которых
выполняется равенство могут быть
произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj.
Пусть
- разбиение , в
котором
(32)
а F: Rn->
Rn оператор,
определенный условием
(33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в
виде
, (34)
где - индикаторная
функция множества Ai (31), i=1,...,q и F -оператор,
действующий в по формуле (34) (см. сноску 4
на стр. 13).
Нетрудно убедиться, что задача на
минимум (29) с условием физичности
(35)
имеет решение
(36)
Соответственно решение задачи (28) с
условием физичности имеет вид
, (37)
где - индикаторная
функция множества
, (38)
В ряде случаев для построения (34)
полезно определить оператор F+: Rn->
Rn,
действующий согласно формуле
(39)
где
, так что ,i=1,...q.
(40)
Подытожим сказанное.
Теорема 4. Решение задачи (28)
наилучшего в приближения изображения изображениями на искомых множествах
A1,...,Aq разбиения X заданные цветами j1,..., jq соответственно, дается равенством
(34), искомое разбиение A1,...,Aq определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к
решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение
(34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно
любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.
Формой в широком смысле
изображения, имеющего заданный набор цветов j1,..., jq на некоторых множествах
положительной меры A1,...,Aq разбиение поля зрения можно назвать оператор (34),
формой такого изображения является оператор F+ (37). Всякое
такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности
яркостей), удовлетворяет уравнению F+g(×)=g(×), те
из них, у которых m(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные
имеют более простую форму. n
В заключение этого раздела вернемся
к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного,
удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме
изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном)
распределении яркости, например, . Для определения
формы рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения такими изображениями
, (41)
Теорема 5. Решение задачи (41) дается равенством
, (42)
в котором , где . Невязка
приближения
, (43)
( !) n
Определение. Формой
изображения, заданного распределением цвета ,
назовем выпуклый, замкнутый конус изображений
или - проектор на .
Всякое изображение g(×),
распределение цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится
в и является неподвижной точкой оператора
: g(×) = g(×). (#)
Поскольку на самом деле детали
сцены, передаваемые распределением цвета j(×), не
представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той
области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что - форма любого изображения f(x)
= f(x)j(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие
изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×),
удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(×).
Замечание 5. Пусть j1,..., jN -
исходный набор цветов, , A1,...,AN
- соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и
, (34*)
- наилучшее приближение f(×). Тогда в
равенстве (24)
, (24*)
если A1,...,AN -
исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A1,...,AN -
заданное в теореме 3 разбиение X
и f1,...,fN -
собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23)
соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f1,...,fN
и будет выполнено равенство (24), если в
(34*) определить ji как цвет fi
в (24), i=1,...,N.
Проверка этого замечания не
представляет затруднений.
В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в
пределах каждого Ai, i=1,...,N.
Разумеется, условие постоянства
цвета на множествах Ai, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью.
Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив
некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai, i=1,...,N, например, выбрав вместо
(17) класс изображений
(17*)
в котором в
(3).
, (*)
из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N
векторы должны быть определены из условия
(**)
при дополнительном условии ортогональности
. Решение этой задачи
дается в следующей лемме
Лемма 5. Пусть ортогональные собственные векторы
оператора Фi (23), упорядоченные по убыванию собственных
значений:
.
Тогда решение задачи (**) дается равенствами .
Доказательство. Заметим, что,
поскольку Фi - самосопряженный неотрицательно
определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его
собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали
ортогональный базис в Rn. Пусть Pi
- ортогонально проецирует в Rn на линейную оболочку собственных векторов и
[Pi Фi Pi]
- сужение оператора Pi Фi Pi на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора
[Pi Фi Pi]
, где - j-ое собственное значение
оператора (см., например, [10]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме.
■
Воспользовавшись выражениями (*) и
леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение,
аналогичное теореме 3.
Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×)
изображениями (17*) имеет вид
,
Где : ортогональный
проектор на линейную оболочку , собственных
векторов задачи
.
Невязка наилучшего приближения
равна
. n
Рассмотрим теперь задачу наилучшего
приближения изображения f(×) изображениями
(17), в которых заданы и фиксированы векторы , и
надлежит определить измеримое разбиение и
функции , как решение задачи
(30)
При любом разбиении минимум в (30) по достигается
при , определяемых равенством (20). В свою
очередь, очевидно, что
(31)
где точки , в
которых выполняется равенство могут быть
произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо
в . Это соглашение отмечено звездочкой в
(31).
Таким образом доказана
Теорема 6. Пусть заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является
изображение
,
где ортогональный проектор определен равенством (25), а
- индикаторная функция множества
(31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна
. n
Замечание 5. Так как при
,
то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде
, (32)
показывающем, что множество в (32) инвариантно относительно
любого преобразования изображения ,
не изменяющего его цвет.
Теоремы
3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего
приближения изображения f(×)
изображениями (17), при котором должны быть найдены и ci0 , i=1,...,N,
такие, что
.
Теорема 7. Для
заданного изображения f(×) определим множества равенствами (32), оператор
П - равенством (24), -
равенствами (25). Тогда ,
определено равенством (32), в
котором - собственный
вектор оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем
в (23) , наконец,
будет
дано равенством (20), в котором , где - собственный вектор оператора
, отвечающий
наибольшему собственному значению ; наконец,
. n
Замечание 6. Следующая
итерационная процедура полезна при отыскании : Для
изображения f(×)
зададим и по теореме
5 найдем и , затем по теореме 3, используя найдем и . После этого вновь воспользуемся
теоремой 3 и по найдем и и т.д. Построенная таким образом
последовательность изображений очевидно
обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится.
К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности
.
Формы (10) и (9) удобно задавать операторами Пf и П*f соответственно.
Теорема 7. Форма
в
широком смысле изображения определяется
ортогональным проектором П*f :
,
при этом и .
Доказательство.
Так как для , то получаем
первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую
задачу на минимум , решение
которой определяется условиями (см., например, [11]) . Отсюда следует, что и тем самым доказано и второе
утверждение n
Замечание. Так как , где fi(x) - выходной
сигнал i-го детектора в точке , причем fi(x)³0 ,i=1,...,n,
и, следовательно цвет реальных
изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия и , эквивалентны. Если же для
некоторого , то условие не влечет . Заметим также, что для
изображений g(×),
удовлетворяющих условию ,
всегда .
Для спектрозональных
изображений характерна ситуация, при которой k детекторов
регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого
света, а остальные n-k регистрируют собственное
тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое
изображение можно представить разложением
(40)
В котором
. Если ИК составляющей солнечного
излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то
представляет интерес задача приближения изображениями f(×) , в которых f1(×) - любая неотрицательная функция из , j1(×)
- фиксированное векторное поле цвета, f2(×) - термояркость, j2(×) -
термоцвет в точке . Форма П*f видимой компоненты f(×) (40)
определяется как оператор наилучшего приближения в задаче
, в данном случае
, причем П*f действует фактически только на "видимую
компоненту" g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в
ноль.
Форма ИК компоненты f(×) может
быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j2(×) f2(×).
Некоторые применения.
Задачи идентификации
сцен.
Рассмотрим вначале задачи
идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими
преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами,
в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и
неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных
оптических характеристиках сцены.
1). Задачи
идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.
Можно ли считать f(×) и g(×)
изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями
яркости, например, наличием теней?
В простейшем случае для
идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f(×) и g(×) можно
считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета
, для которого v(j(×))
содержит f(×) и g(×). Если , и ,
то, очевидно, существует , при котором f(x)Îv(j(×)), g(x)Îv(j(×)), а
именно, , ,
если , ,
если , и, наконец, -
произвольно, если .
На практике удобнее использовать
другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и
выделения объектов. Можно ли, например, считать g(×)
изображением сцены, представленной изображением f(×)? Ответ
следует считать утвердительным, если
.
Здесь j(×) -
распределение цвета на изображении f(×), символ ~0
означает, что значение d(g(×)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей,
или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим
несовпадение g(×) и f(×) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие
объекты, изменившие распределение цвета g(×) по
сравнению с распределением цвета f(×), представлены в .
2).Идентификация при произвольном
изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении
спектрального состава освещения.
Можно ли считать изображением сцены,
представленной на изображении f(×), изображение,
полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или
изменением теней и изменением спектрального состава освещения?
Пусть П - форма в широком
смысле изображения f(×), определенная в теореме @, П*
- форма f(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным,
если . Если изменение g(×)
обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением
и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим
последним обстоятельством будут представлены на .
3). Задачи совмещения изображений
и поиска фрагмента.
Пусть f(×) -
заданное изображение, AÌX - подмножество
поля зрения, cA(×) - его индикатор, cA(×)f(×) -назовем фрагментом изображения f(×) на
подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной
на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, полученное
при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е.
геометрически искаженное по сравнению с f(×). Задача
состоит в том, чтобы указать на g(×) фрагмент
изображения, представляющий на f(×) фрагмент сцены и
совместить его с cA(×)f(×).
Ограничимся случаем, когда
упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R2->R2, преобразование изображения назовем сдвигом g(×) на h.
Здесь
Q(h): Rn->Rn, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст
.
В задаче выделения и совмещения
фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g(×) в “окне”
A:
причем, поскольку где то в (100) -
ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах поля
зрения X.
Если кроме цвета g(×) может
отличаться от f(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при
неизменном распределении цвета и - форма фрагмента f(×), то
задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум
.(101)
При этом считается, что фрагмент изображения g(×),
соответствующий фрагменту cA(×)f(×), будет
помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h*, совпадает
с cA(×)f(×) с
точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это
означает, что
.
т.е. в (101) при h=h*
достигается минимум.
4). В ряде случаев возникает
следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые
“видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.
Рассмотрим два изображения и .
Определим форму в широком смысле как множество всех
линейных преобразований : (A - линейный оператор R2->R2, не зависящий от xÎX). Для определения проектора
на рассмотрим задачу на минимум
. [*]
Пусть , , тогда задача на минимум [*]
эквивалентна следующей: tr A*AS - 2trAB ~ . Ее решение (знаком
- обозначено псевдообращение).
=
=
Рис.1.
fe - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), je - его цвет; j1,j2,j3, - векторы (цвета) базовых
излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.
Литература.
[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в
задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.
[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ
изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.
[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа
изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из
космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.
[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует
форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47
стр.
[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis,
Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.
[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры
реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка
изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.
[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И.
Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и
электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.
[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки
полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация,
1984, №5, сс. 118-120.
[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е.
Об автоматизации сравнительного морфологического анализа
электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977,
т. 41, №11, сс. хххх-хххх.
[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V.
Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in
machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering
Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.
[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы
интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.
[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые
расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат
1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).
[13] P. Kronberg.
Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.
[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года
и т.п.
[2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в
работе[3].
[3] вектор fe будет иметь отрицательные
координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу
[4]черта символизирует замыкание, - выпуклый замкнутый конус в Rn.
[5] Если - более детальное изображение , то некоторые A(j) могут “ращепиться” на несколько подмножеств
A¢(j¢), на каждом из которых цвет постоянный,
но различный на разных подмножествах A¢(j¢). Однако,
поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(×), v(f(×)) не
может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную
сцену.
[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой
точке поля зрения Х.
[7]- класс неотрицательных функций принадлежащих
.
[8]Одна и та же буква F использована как для оператора , так и
для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто
используется в работе.
[9]Если m(As)=0, то в задаче
наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на As
можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину
невязки s.
[10]Векторы j1,..., jq выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих
интерес.