Модифицированный метод Хука-Дживса
Содержание:
1. Введение ………………………………………………… с. 2
2. Метод Хука-Дживса ……………………………………. с. 3
3. Модифицированный метод Хука-Дживса ……………. с. 4
4. Блок-схема данного метода ……………………………. с. 5
5. Блок-схема единичного исследования ………………... с.6
6. Текст программы ……………………………………….. с. 7
7. Распечатка результатов работы программы ………….. с. 11
Литература ………………………………………………. с. 18
Введение
На разработку методов прямого поиска для определения минимума
функций и переменных было затрачено много усилий . Методы прямого поиска
являются методами, в которых используются только значения функции. Мы
рассмотрим подробно лишь один из них. Практика показала, что этот метод
эффективен и применим для широкого числа приложений. Рассмотрим функцию
двух переменных. Ее линии постоянного уровня1 на рис. 1,
x2 рис. 1
C D
A B
x1
а минимум лежит в точке (x1*,x2*). Простейшим методом поиска является
метод покоординатного спуска. Из точки А мы производим поиск минимума вдоль
направления оси и , таким образом, находим точку В, в которой касательная к
линии постоянного уровня параллельна оси . Затем, производя поиск из точки
В в направлении оси , получаем точку С, производя поиск параллельно оси ,
получаем точку D, и т. д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке.
Очевидным образом эту идую можно применить для функций n-переменных.
Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимума
функции. Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому были
разработаны более сложные методы, использующие больше информации на
основании уже полученных значений функции.
Метод Хука-Дживса
Метод Хука-Дживса был разработан в 1961 году, но до сих пор
является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из
последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки , за
которой в случае успеха следует поиск по образцу. Он применяется для
решения задачи минимизирования функции без учета ограничений .
Описание этой процедуры представлено ниже:
А. Выбрать начальную базисную точку b1 и шаг длиной h1 для каждой переменной xj, j = 1, 2,…, n. В приведенной ниже программе для
каждой переменной используется шаг h, однако указанная выше модификация
тоже может оказаться полезной.
1. Вычисляется значение функции f (b1) в базисной точке b1.
2. Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага.
Таким образом, мы вычисляем значение функции f (b1+h1e1), где e1 – единичный вектор в направлении оси x1. Если это приводит к уменьшению значения функции, то b1 заменяется на b1+h1e1. В противном случае вычисляется значение функции f (b1-h1e1), и если ее значение уменьшилось, то b1 заменяем на b1-h1e1. Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b1 остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х2, т. е. находится значение функции f (b1+h2e2) и т. д. Когда будут рассмотрены все n переменные, мы будем иметь новую базисную точку b2.
3. Если b2=b1, т. е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b1, но с уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины.
4. Если b2[pic]b1, то производится поиск по образцу.
В. При поиске по образцу используется информация, полученная в
процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в
направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим
образом:
3. Разумно двигаться из базисной точки b2 в направлении b2-b1, поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца
P1=b1+2(b2-b1) .
В общем случае
Pi=bi+2(bi+1-bi) .
2. Затем исследование следует продолжать вокруг точки Р1 (Рi) .
3. Если наименьшее значение на шаге В, 2 меньше значения в базисной точке b2 (в общем случае bi+1), то получают новую базисную точку b3
(bi+2), после чего следует повторить шаг В, 1. В противном случае не производить поиск по образцу из точки b2 (bi+1), а продолжить исследования в точке b2 (bi+1).
Г. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет
уменьшена до заданного малого значения.
Модифицированный метод Хука-Дживса
Этот метод нетрудно модифицировать и для учета ограничений .Было
выдвинуто предложение , что для этого будет вполне достаточно при решении
задачи минимизации присвоить целевой функции очень большое значение там,где
ограничения нарушаются .К тому же такую идею просто реализовать с помощью
програмирования .
Нужно проверить ,каждая ли точка ,полученная в процессе поиска ,
принадлежит области ограничений .Если каждая , то целевая функция
вычисляется обычным путем . Если нет , то целевой функции присваивается
очень большое значение . Таким образом , поиск будет осуществляться снова в
допустимой области в направлении к минимальной точке внутри этой области.
В тексте прогаммы модифицированного метода прямого поиска Хука-Дживса
сделана попытка реализовать такую процедуру. Рассматриваемая задача
формулируется следующим образом :
минимизировать f (x1,x2) = 3x12+4x1x2+5x22 , при ограничениях x1[pic] x2[pic] x1+x2[pic].
Блок-схема данного метода
Да
Да Нет
Да
Нет
Блок-схема единичного исследования
Да
Нет
Нет
Да
Да
Нет
Нет
Да
Текст программы
program HuDjMody;
(*** Модифицированный метод Хука-Дживса ***)
(*** (при наличии ограничений) ***)
uses crt;
label 0,1,2,3,4,5,6,7;
var k,h,z,ps,bs,fb,fi :real; i,j,n,fe :integer; x,y,b,p :array[1..10] of real;
(*** Процедура,вычисляющая функцию ***)
procedure calculate; begin z:=3*sqr(x[1])+(4*x[1]*x[2])+(5*sqr(x[2])); if (x[1]