Метод хорд
Министерство образования и науки РФ
Рязанская Государственная Радиотехническая Академия
Кафедра САПР ВС
Пояснительная записка к курсовой работе
по дисциплине ,,Информатика”
Тема: ,,Метод хорд”
Выполнил:
студент 351 группы
Литвинов Е.П.
Проверил:
Скворцов С.В.
Рязань 2004г.
Контрольный
пример к курсовой работе студента 351 группы Литвинова Евгения.
Задание:
Разработать программу, которая выполняет уточнение корня нелинейного уравнения
отделенного на заданном интервале [a,b], заданным методом.
Решить
нелинейное уравнение с использованием разработанной программы и средств
системы MathCAD. Сравнить
полученные результаты.
Определить количество необходимых
итераций для следующих значений погрешностей результата: Eps=
;
;
;
;
.
Используемый
метод: метод хорд.
Контрольный
пример:
;
Интервал [a,b]: [0,1].
Вариант:
2.2
Задание
принял:
Число
выдачи задания:
Число
выполнения задания:
Проверил: Скворцов С.В.
Метод хорд.
Пусть
дано уравнение 
, где 
-
непрерывная функция, имеющая в интервале (a,b)
производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится
на отрезке [a,b].
Идея
метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [a,b]
дугу кривой 
можно заменить хордой и в качестве
приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс.
Рассмотрим случай (рис.1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые
знаки, т.е. 
.
Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей
через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две
точки:
Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение
хорды AB:
.
Пусть x1 - точка пересечения хорды с осью
x, так как y = 0, то
x1
может считаться приближенным значением корня.
Аналогично
для хорды, проходящей через точки 
и 
, вычисляется следующее приближение
корня:
В
общем случае формулу метода хорд имеет вид:
(1)
Если
первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. 
, то все приближения к корню 
выполняются со стороны правой границы
отрезка 
(рис.2) и вычисляются по формуле:
(2)
Выбор
формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции и осуществляется по правилу: неподвижной
является такая граница отрезка изоляции корня, для
которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (1)
используется в том случае, когда 
. Если справедливо
неравенство 
, то целесообразно применять формулу (2).
Если
обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке [a, b], которое
можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления
корня:
или 
где 
-
заданная погрешность вычислений.
Список
идентификаторов.
a – начало отрезка,
b – конец отрезка,
eps – погрешность вычислений,
x – искомое значение корня,
min – модуль значения
производной функции в начале отрезка,
d – модуль значения производной функции в
конце отрезка,
x0 – точка, в которой мы ищем производную.
****************************************************************
Program
kursovaia;
uses crt;
Var
a,b,eps,x,min: real;
{Вычисление данной функции}
Function
fx(x:real): real;
begin
fx:=exp(x)-10*x;
end;
----------------------------------------------------------------
{Функция вычисления
производной и определение точности вычислений}
{Для определения точности
вычисления берем значение 2-й производной в точке x*=
}
Function proizv(x0,eps: real): real;
var
dx,dy,dy2:
real;
begin
dx:=1;
Repeat
dx:=dx/2;
dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2);
dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4);
dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx);
Until
abs(dy2/(2*dx))<eps;
proizv:=dy/dx;
end;
----------------------------------------------------------------
{Уточнение количества
знаков после запятой}
Function utoch(eps:real): integer;
var
k: integer;
begin
k:=-1;
Repeat
eps:=eps*10;
k:=k+1;
Until
eps>1;
utoch:=k;
end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура определения
наименьшего значения производной на
заданном промежутке}
Procedure
minimum(a,b,eps: real; var min: real);
var
d: real;
begin
a:=a-eps;
b:=b+eps;
Repeat
a:=a+eps;
b:=b-eps;
min:=abs(proizv(a,eps));
d:=abs(proizv(b,eps));
If
min>d Then min:=d
Until min <>0
end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура уточнения корня
методом хорд}
Var
x1: real;
begin
x1:=a;
Repeat
x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1));
x1:=x
Until
abs(fx(x))/min<eps
end;
----------------------------------------------------------------
{Основная программа}
Begin
clrscr;
Writeln ('Введите начало
отрезка a, конец отрезка b');
Readln (a,b);
Writeln ('Введите
погрешность измерений eps');
Readln (eps);
minimum(a,b,eps,min);
chord(a,b,eps,min,x);
Writeln ('Корень уравнения x= ',x:3:utoch(eps));
End.
****************************************************************
После
работы программы для различных значений погрешностей, получим результаты корня x :
0,11
0,111
0,1119
0,11183
0,111833
Результат
вычислений в программе MathCAD дал
следующее значение корня x:
x=0.112
График
функции выглядит так:
Поведение
функции вблизи точки пересеченья с осью ОХ выглядит так:
Алгоритм.
Пользуясь рекуррентной формулой (2) и формулой для
оценки точности вычисления, составим процедуру уточнения корня методом хорд:
Procedure chord(a, b, eps, min : real; var
x : real);
Здесь x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1)) – рекуррентная формула,
abs(fx(x))/min < eps – формула для оценки точности вычислений.
При вычислении производной функции
Function proizv(x0, eps : real) : real;
будем иметь в виду, что один
из способов найти производную
- это взять
достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от 
- точке, в которой мы хотим найти
производную.
Таким образом, вычисляется производная в середине
промежутка.
По значениям f' можно таким же способом найти
производную от f', т.е. f''. Можно выразить f'' непосредственно через f(x):
Для производной третьего порядка можно использовать
следующую формулу:
Здесь
dx:=1 -
первоначальная величина промежутка,
dx:=dx/2 –
для уточнений делим промежуток на 2,
dy:=fx(x0+dx/2 -fx(x0-dx/2) – вычисление первой производной в точке x0 ,
dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4)+fx(5*x0/4-dx) –
вычисление второй производной, для определения точности вычисления,
используется вторая производная в точке 
abs(dy2/(2*dx))<eps - формула для оценки погрешности
дифференцирования,
proizv:=dy/dx
– значение первой производной.
Для
оценки точности вычисления корня необходимо вычислять наименьшее значение
производной f'(x) на промежутке [a, b], поэтому надо найти производную в точке x0.
Так как мы вычислили значение производной, то составим
процедуру определения модуля ее наименьшего значения на промежутке [a, b]:
Procedure minimum(a,b,eps:real;var
min:real);
Для
этого достаточно сравнить модуль значения производной на концах промежутка и
выбрать среди этих двух значений меньшее. Это можно сделать , так как по
условию, функция на промежутке строго монотонна вместе со своими производными
первого и второго порядков. Следует брать значение очень близкое к a, но справа
от нее, аналогично для точки b - брать близкое значение слева от b, так как
если в точке a или b производная будет равна нулю, тогда деление на нуль станет
невозможным и в программе будет получена ошибка.
d:=abs(proizv(b,eps))-
модуль
значения производной функции в конце отрезка,
If min>d Then – сравнение значений модуля производной.
Функция
для указания точности вычисления:
Function utoch(eps:real):integer;
Применяется в
выводе корня x для уточнения его порядка относительно
погрешности.
Здесь k:=k+1 –
оператор,
подсчитывающий степень погрешности и порядка корня x.
Заданную функцию
запишем так:
Function fx(x:real):real;
Здесь
fx:=exp(x)-10*x – наша
заданная функция.
Блок-схема алгоритма.
Список используемой
литературы:
1) Математическое обеспечение
САПР: Методические указания к практическим занятиям. Рязань, РРТИ, 1990
(№1706).
2) Математическое обеспечение
САПР: Методические указания к лабораторным работам. Рязань, РРТИ, 1991 (№1890).
3) Бахвалов Н.С., Шадков
И.П., Кобельников Г.М., Численные методы. М.: Наука, 1987.
4) Волков Е.А., Численные
методы. М.: Наука, 1988.
5) Элементы вычислительной
математики, под ред. С.Б.Норкина. М.: Высшая школа, 1966.