Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

ГРУППЫ  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

                                                     (окончание)

14. Группы правильных многогранников.

        Хорошо известно (по крайней мере со времен Евклида), что в пространстве существует ровно 5 правильных многогранников . Это - тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников происходят от латинских числительных, указывающих количество граней этих фигур. В переводе это 4-, 6-,8-,12-, и 20- гранники. Некоторые авторы причисляют к числу правильных многогранников еще и диэдр - многогранник с 2 гранями, которые являются правильными n-угольниками. Эта фигура удовлетворяет всем условиям, которые задают правильный многогранник, за исключением того, что его объем равен 0. Опишем кратко группу  -симметрий каждого из этих многогранников.

1.   Диэдр.                                                                                                                            Пусть диэдр реализован в виде правильного n- угольника в плоскости p и l - прямая, перпендикулярная p , проходящая через его центр симметрии. Группа  симметрий диэдра содержит повороты на углы, кратные 2p/n вокруг l. Кроме того, если m -любая ось симметрии многоугольника, то поворот вокруг этой оси на 180° переводит диэдр в себя и действует на многоугольник так же как отражение относительно этой оси в плоскости многоугольника. Таким образом, группа симметрии диэдра на многоугольнике совпадает с диэдральной группой , но все ее элементы в рассматриваемом случае реализуются вращениями. Эта группа обозначается  и называется пространственной диэдральной.(заметим, что ).

2.   Тетраэдр.                                                                                                                                                                                                Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Это единственный правильный многогранник не имеющий центра симметрии . Повороты, переводящие тетраэдр в себя это, прежде всего, вращения на углы, кратные 2p/3 вокруг 4 осей, проходящих через вершину и центр противоположной грани (ось L на рисунке 1). Кроме того тетраэдр само совмещается при поворотах на угол 180° вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер (ось M на рисунке 1). Таким образом группа тетраэдра T содержит 12 элементов.

3.   Октаэдр и куб.                                                                                                                             Эти два многогранника двойственны в следующем смысле: центры граней куба являются вершинами октаэдра и наоборот - центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2, 3)                                                      Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр соответственно 8,12 и 6.Перечислим повороты, которые переводят куб в себя. Прежде всего это вращения на углы кратные p/2 вокруг трех осей, проходящих через центры противоположных граней (ось L). Затем это вращения на углы кратные 2p/3 вокруг 4-х осей, проходящих через противоположные вершины (ось N). Наконец имеется еще 6 поворотов на углы p вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер (ось M).Добавляя тождественное преобразование мы получаем группу октаэдра W (она же группа куба) из 24 элементов.

4.   Икосаэдр и додекаэдр.                                                                                             Эти два многогранника находятся в такой же двойственности, как  куб и октаэдр - центры граней одного из них являются вершинами другого и поэтому их группы симметрий совпадают.                                                                                                                                                           Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин, а додекаэдр соответственно 12, 30 и 20. Группа икосаэдра содержит повороты на углы кратные 2p/3 вокруг 10 осей, проходящих через центры противоположных граней, повороты на углы кратные 2p/5 вокруг 6 осей, проходящих через противоположные вершины и, наконец, повороты на p вокруг 15 осей, проходящих через середины противоположных ребер. Вся группа икосаэдра P содержит 60 элементов.

Замечание 1.

По теореме 12 полные группы симметрии многогранников (включающие и перемещения с определителем (-1) ) содержат ровно вдвое больше элементов, чем группы  - симметрий. Это группы, , содержащие соответственно 4n, 24, 48 и 120 элементов- поворотов и зеркальных поворотов.

Замечание 2.

Группы правильных многогранников можно задавать соответствующим набором кватернионов. Напомним, что поворот на угол a вокруг оси, заданной единичным вектором  задается кватернионом q = cosa/2 +nsina/2. Приведем (без обоснования ) описание групп T, W и P с помощью кватернионов.

Группа T.

Выберем оси координат так, чтобы они проходили через середины противоположных ребер тетраэдра (эти прямые попарно ортогональны). Рассмотрим 16 единичных кватернионов вида , а также 8 кватернионов  Оказывается, что произведение любых двух кватернионов указанного вида снова будет кватернионом такого же вида. Всего мы имеем 24 кватерниона. Если рассмотреть повороты, заданные этими кватернионами, то учитывая, что q и (-q) задают одинаковые вращения, получаем группу вращений из 12 элементов. Оказывается, что это в точности группа T.

Группа W.

Здесь естественно выбрать оси, параллельные ребрам куба. К рассмотренным выше 24 кватернионам добавим еще 24 вида , где s и t какая то пара (различных) единиц 1, i, j, k. Всего получаем 48 кватернионов, которые задают группу вращений пространства из 24 элементов. Оказывается, что это в точности группа W. Отметим, что, по построению  - подгруппа. Это включение возникает потому, что тетраэдр можно вписать в куб - две пары противоположных вершин параллельных граней куба являются вершинами тетраэдра и каждый поворот, входящий в группу T переводит куб в себя, то есть содержится в группе W.

Группа P.

В качестве координатных осей выберем диагонали трех смежных граней додекаэдра. Рассмотрим 24 кватерниона из первого примера. Присоединим к ним еще 96 единичных кватернионов, которые получаются следующим образом. Рассмотрим 4 числа , , , . Заметим, что  Пусть  - четная перестановка индексов 1, 2, 3, 4 . Рассмотрим числа  Их действительно 96, поскольку . Всего получается 120 кватернионов, задающих группу P из 60 элементов.

 15.Классификация конечных групп вращений в пространстве.

Теорема 16.

Доказательство.

Мы докажем только, что всякая такая группа содержит столько же элементов, что и одна из групп указанных в списке. Остающуюся (чисто геометрическую!) часть рассуждений мы оставляем читателю.

Пусть G состоит из N элементов. Каждый элемент , отличный от тождественного представляет собой вращение вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О. Назовем полюсами точки пересечения этих осей со сферой радиуса 1 с центром О. Пусть - множество всех полюсов. Если s -вращение вокруг оси l, проходящей через полюс x , то s(x) = x. Если g(x) = y , то , то есть  - вращение с полюсом y. Значит, G - группа преобразований множества X. Пусть  орбиты G на X. Число полюсов в орбите  согласно теореме 10 равно , где - порядок стабилизатора орбиты. Значит, . Заметим, что . По лемме Бернсайда .Отсюда получаем: . Если N=1, то . Пусть N>1. Тогда правая часть последнего равенства - число a между 1 и 2 (1£a<2). Поэтому k>1. Но, поскольку , каждое слагаемое слева не меньше 1/2. Поэтому, 4 или больше слагаемых слева быть не может. Итак, k =2 или k =3. Если k =2 , то  или , откуда . Два полюса (на одной оси!) порядка N соответствуют случаю группы . Пусть теперь k = 3. Соотношение принимает вид: . Пусть . Если , то сумма слева меньше 1, что невозможно. Значит,  и равенство принимает вид: . Если , то сумма не больше 1/2, что невозможно. Итак,  или =3. Если , то . Это случай группы . Пусть, наконец, . Имеем: , откуда  . Для  находим N = 12, что соответствует случаю группы T. Для  получаем N =  24 - случай группы W, Наконец при   - N = 60 и мы приходим к группе P.

16.Пространственные группы, содержащие зеркальные отражения.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве содержащая преобразования с определителем (-1). По теореме 12 такая группа содержит 2n элементов , причем первые n ее элементов имеют определитель 1 и составляют подгруппу G=G(S) , а последние n имеют определитель (-1) и получаются из элементов подгруппы путем их умножения на любой фиксированный элемент g с определителем (-1):  Напомним, что буквой Z была обозначена симметрия относительно начала координат (зеркальный поворот на p). Это перемещение перестановочно с любым другим и .

Теорема 17.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {}, то S = {}.

Доказательство.

Теорема очевидна, так как  det(Z) = -1.

Замечание.

Группа S в этом случае обозначается

Теорема 18.

Пусть S конечная группа перемещений в пространстве и . Если G(S) = {}, то множество  является группой - преобразований . Обратно, если Г любая группа вращений из 2n элементов, содержащая G, то, домножая все элементы из Г-G на Z, получаем группу перемещений S, для которой G(S) = G.

Доказательство.

Надо проверить, что и . Если , то эти условия выполнены поскольку G - группа преобразований. Если ,то ни один из элементов  не входит в G и потому это множество совпадает с множеством { }. Поэтому  . Аналогично, поскольку ни один из элементов  не входит в G, все произведения  и потому . Таким же образом убеждаемся, что  и, значит, . Обратное утверждение теоремы проверяется точно таким же образом.

Замечание.

Стандартное обозначение для S в этом случае - .

Следствие.

Конечная группа перемещений пространства, содержащая зеркальные вращения совпадает с одной из групп ( в скобках указаны их порядки):

(2n), (4n), (24), (48), (120);

Замечание 1.

Полные группы симметрий правильных многогранников получаются по способу, указанному в теореме 17, если этот многогранник имеет центр симметрии. В противном случае используется конструкция теоремы 18.

Следовательно, это следующие группы:

, , , , .

Замечание 2.

Назовем флагом многогранника тройку (D, R, v), где D- некоторая его грань, R - одно из ребер, ограничивающих эту грань и v - вершина, лежащая на этом ребре. Многогранник называется правильным (это одно из возможных определений ), если для любых двух его флагов  и  существует перемещение, переводящее многогранник в себя и отображающее первый флаг во второй. Поскольку перемещение оставляющее флаг неподвижным очевидно является тождественным, мы видим, что порядок группы G правильного многогранника совпадает с количеством его флагов. Таким образом, =2Гr, где Г - количество его граней, r - количество ребер, ограничивающих некоторую грань, 2 - количество вершин на ребре.