Конспект по дискретной математики

Дискретная математика

 

Введение

Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

1.   Язык дискретной математики;

2.   Логические функции и автоматы;

3.   Теория алгоритмов;

4.   Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики – множество.

Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.

Множество обозначают: M,N …..

m₁, m₂, m_n – элементы множества.

Символика

A Î M – принадлежность элемента к множеству;

А Ï М – непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

            1,2,3,… множество натуральных чисел N;

            …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

           множество рациональных чисел а.

            I – множество иррациональных чисел.

            R – множество действительных чисел.

            K – множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А Í В – А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = Æ.

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x²+1=0 пустое: M = Æ.

2) множество D, сумма углов которого ¹ 180⁰ пустое: M = Æ.

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …

Если универсальное множество  состоит из n элементов, то число подмножеств = 2ⁿ.

Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.

Множество можно задать:

1)   Списком элементов {a,b,c,d,e};

2)   Интервалом 1<x<5;

3)   Порождающей процедурой: x_k=pk  sinx=0;

Операции над множествами

1)   Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

 

А È В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.

Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.

 

Объединение двух множеств

А

В

Объединение системы множеств можно записать

   - объединение системы n множеств.

Пример:   объединение    множеств,   когда   они

заданы списком.

A = {a,b,d}  B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

AUB              AUB

Объединение трех множеств:

     

2) Пересечением множеств А и В  называется множество, состоящие из элементов принадлежащих   одновременно множествам А и В.

A ÇB

 

Пересечение прямой и плоскости

1)   если прямые  ||  пл., то множество пересечений – единственная точка;

2)   если прямые II пл., то M ¹Æ;

3)   если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

Пересечение системы множеств:

С = А \ В

 

A \ B

             A \ B  

А

         А \ В

B

A

В

А

В

 

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

                                                                                2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A.

4) дополнение  

E – универсальное множество.

-- дополнение

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

Основные законы операций над множествами.

Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

1)   AUB=BUA; AÇB=BÇA – переместительный закон объединения и пересечения.

2)   (АUB)UC = AU(BUC); (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC) – сочетательный закон.

3)   АUÆ=A, AÇÆ=Æ, A \ Æ=A, A \ A=Æ

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а)   Æ \ A = Æ - нет аналога.

4)   Æ; E \ A =; A \ E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

5)   AÇ(BUC)=(AÇB)(AÇC) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U.

Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎА, bÎB.

С=AхВ, если А=В то С=А².

Прямыми «х» n множеств A₁x,…,xA_n называется множество векторов (a₁,…a_n)  таких, что a₁ÎA₁,…, A_nÎA_n.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество FÎM_x x M_y называется функцией, если для каждого элемента хÎM_x найдется yÎМ_у не более одного.

(x;y)ÎF,    y=F(x).

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

 

   Определение: Между множествами M_X и M_Y установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎM_X  соответствует 1 элемент yÎM_Y и обратное справедливо.

Пример:   1)  (х,у) в круге

             2) x = sinx

                 Rà R                                               

Пусть даны две функции  f: AàB и g: BàC, то функция y:AàC называется композицией функций  f и g.

Y=f o g        o – композиция.

Способы задания функций:

1)   таблицы, определены для конечных множеств;

2)   формула;

3)   графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2^|A|=2ⁿ.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.       

Множество N² – счетно.

Доказательство

Разобьем N² на классы

К 1-ому классу отнесем N₁ (1;   1)

                            

	1-ый элемент          1-го множества		1-ый элемент 2-го множества

 

Ко 2-му классу N₂ {(1;2), (2;1)}

К i-му классу N_i    {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N².

Аналогично доказывается счетность множеств N³,…,N^k.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

	}

 

1

1-я   0, a₁₁, a₁₂ ….

2-я   0, а₂₁, a₂₂ ….

………………….

Возьмем произвольное число 0,b₁,b₂,b₃

1

b₁ ¹ a₁₁, b₂ ¹ a₂₂, …

Эта дробь не может выйти в последовательность         т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.

Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

Отношение

Пусть дано RÍMⁿ – n местное отношение на множество М.

Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.

Проведем отношение на множество N:

А) отношение £ выполняется для пар (7,9)  (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.

Пример отношения на множество R

А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар    (3; 4) и  (2; Ö21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.

Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна

С=		1	2	3	4
	1	1	1	1	1
	2	0	1	1	1
	3	0	0	1	1
	4	0	0	0	1

101 010 001

С=

Отношение Е заданные единичной матрицей                                 называется отношением равенства.

Отношением назовется обратным к отношением R, если a_jR_ai тогда и только тогда, когда a_jR_ai обозначают R^-1.

Свойства отношений

1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

                                    £ рефлексивное

                                    < антирефлексивное

2.   Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы    

      сумм C_ij=C_ji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

      Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b

1. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.
2. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

5.   Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,  

      антисимметрично  и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,  

      если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

      Пр.      а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого

                  б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Лекция: Элементы общей алгебры

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j₁,…, j_m}, т.е. система     А = {М₁;j₁,…, j_m} называется алгеброй. W - сигнатура.

Если M₁ÌM и если значения j( M₁), т.е. замкнуто ==> A₁₌{М₁;j₁,…, j_m} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

1. B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

     запись ajb.

1.  (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция

     Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2.  ajb = bja – коммутативная операция

     Пр. +,x – коммутат.

            –; : – некоммут.

            умножение мат A×B ¹ B×A – некоммутативно.

3.   aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева

      (ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа. 

      Пр. (ab)^e=a^eb^e – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

      но не a^bc ¹ a^ba^c

Р. Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; j_I) и B=(M; j_I) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KàM при условии Г(j_I)= j_I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции j_I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение j_I в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует  взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г^-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

      Пр. Алгебры (Q_N; +) и (Q_2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически  …. на изоморфные алгебры.