Интеграл Пуассона

Интеграл Пуассона

Интеграл Пуассона.

Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR¹ –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через   f*g(x)  будем обозначать свертку

                  f*g(x)  =dt  

Из теоремы  Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

                    c_n ( f*g ) = c_n ( f )× c_n ( g ) ,                  n = 0, ±1 , ±2 , ...             ( 1 )

где { c_n ( f )} -- коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :

                             c_n = ^{-i n t}dt ,                          n = 0, ±1, ±2,¼       

Пусть  ¦ Î L¹ (-p, p ) . Рассмотрим при  0 £ r < 1  функцию

                   ¦_r ( x ) = _n ( f ) r^{| n |} e^{i n x}   ,            x Î [ -p, p ]  ,                  ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного  r ,  0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦_r (х) равны

c_n ( f_r ) = c_n × r^{| n  |} ,    n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦_r ( x ) можно представить в виде свертки :

                          ¦_r ( x ) =  ,                                                       ( 3 )

где

                           ,                                   t Î [ -p, p ] .                  ( 4 )

          Функция двух переменных  Р_r (t) ,   0 £  r <1 ,  t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  --  интегралом Пуассона .

Следовательно,

                     P_r ( t ) =      ,    0 £ r < 1 ,   t Î [ -p, p] .                     ( 5 )  

Если  ¦Î L¹ ( -p, p )  - действительная функция , то , учитывая , что

c_-n  ( f ) =  `c_n( f ) , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

=  ,                                                                      ( 6 )

где

                          F ( z ) = c₀ ( f ) + 2             ( z = re^ix  )                     ( 7 )

-   аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L¹( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

                  u ( z ) = ¦_r (e^ix )  , z = re^ix    ,  0 £  r <1  ,   x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v (0) = 0  задается формулой

                  v (z) = Im F (z) =    .                                     ( 8 )

Утверждение1.

Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге   | z | < 1+e   ( e>0 ) функция  и ¦ (x) = u (e^ix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда

                  u (z) =                 ( z = re^ix  ,    | z | < 1 )              ( 10 ).

Так как  ядро Пуассона  P_r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

                                              =,          | z | < 1+ e .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению  поведения функции ¦_r (x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а)  ;

б)  ;

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  ¦ (х) º 1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

                                            ;

если же ¦ (x) непрерывна на  [ -p, p ]  и  ¦ (-p) = ¦ (p) , то

                                          .

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

                                                         ( 12 )

Для любой функции  , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

                            .

Для данного e > 0  найдем  d = d (e) такое, что  . Тогда для  r  , достаточно близких к единице, мы получим  оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

                            .

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция  суммируема на любом интервале (-А, А),  А > 0 . Максимальной функцией для функции   называется функция

где  супремум берется по всем интервалам   I  , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор  называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

  .

Теорема 2 (Фату).

                                            для  п.в.  .

Доказательство.

Покажем, что  для   и 

                                                       ,                                                ( 13 )

где  С - абсолютная константа , а  M ( f, x ) - максимальная функция для  f (x) [*]. Для этой цели  используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть  -  такое число, что

.

Тогда  для 

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора  , найдем такую последовательность функций  ,что

,

                                                  ( 14 )

   для п.в. .

Согласно (13) при   xÎ (-2p,2p)

Учитывая , что по теореме 1   для каждого xÎ [-p, p]  и (14)

Из последней оценки  получим

  при  n®¥.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p]   ,  когда точка re^it  стремится к  e^ix  по некасательному к окружности    пути.