Диспут и формула Кардано
Диспут
Формула Кардано
Мостового
Кирилла
г.
Одесса
1999г
Диспут
Диспуты в средние
века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных
горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но
обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень
так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие.
Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том ,
приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская
сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не
причислены к лику святых и т. д.
О
споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее
прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком
никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и
кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о
математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала
диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником,
независимо от того, прав он или нет.
Когда
часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась
внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у
двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для
спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то,
что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас
от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в
черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана!
Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его
противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо
Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3-Й степени,
принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и
поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется
открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру
поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на
противополжную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с
красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная
уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с
восторгом.
Начал
Тарталья.
- Уважаемые господа! Вам
известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й
степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори.
Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё
хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед
обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в
Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так
бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его
ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено
и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне
удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано
и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось
ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были
решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный
диспут.
Тарталья
замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:
-
Уважаемые господа! Мой достойный
противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько
клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь
голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и
показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может
идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим
способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего
противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано,
«а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и
удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого
духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство
силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него
недостижимым.»
-
Мой противник обвинил меня и моего
учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач. Но как может
быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все
предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если
сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на
замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши
его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой учитель
и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это
изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него,
нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой
учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он
добивается диспутом?
-
Господа, господа, - закричал
Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой
противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное
математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены
не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из
числа решавшихся. Оно, как известно …
В
церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы,
начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от
него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья,
видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры
и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала
«победителя» диспута Луиджи Феррари.
…Так
закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые
споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й
степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл , а Кардано выманил у
него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни
уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это -
историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру
участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и
сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется
тайной …
Формула Кардано
Если воспользоваться
современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы
Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных
соображений:
Пусть нам дано
общее уравнение 3-й степени:
Если положить
, то мы приведем уравнение (1)
к виду
(2)
где ,
.
Введем новое неизвестное U с
помощью равенства
.
Внося это выражение в (2),
получим
(3)
Отсюда
,
следовательно
Если
числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение и учесть, получающееся в результате
выражение для u оказывается
симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим
.
(Произведение
кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p
).
Это
и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь
к x, то получим формулу,
определяющую корень общего уравнения 3-й степени.
Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с
Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой
тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил
этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?
Пусть (1)
– общее уравнение 4-й степени.
Если положить ,
, (2)
где
p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в
таком виде:
(3)
В
самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t,
взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).
Выберем
параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была
полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием
этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена
(относительно y), стоящего справа:
(4)
Получили
полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его
корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид
.
Отсюда
.
Это
квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а
следовательно и (1).
За
4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно
писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни.
Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный
гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября 1576г. за 2 дня
до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой
смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано – астролог
относился к гороскопу серьезно.
Замечание о формуле Кардано
Проанализируем формулу для
решения уравнения в вещественной области. Итак,
При
вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень,
а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в
вещественной области, если . Два значения
квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x. Значения
кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный
вещественный корень x при . Исследуя график
кубического трехчлена ,нетрудно убедиться, что он в
самом деле имеет единственный вещественный корень при .
При имеется три вещественных корня. При имеется двукратный вещественный корень и
однократный, а при -трехкратный корень x=0.
Продолжим
исследование формулы при . Оказывается. Что
если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при
вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности.
Например, уравнение имеет единственный корень
(вещественный) – x=1. Формула Кардано дает для этого единственного
вещественного корня выражение
.
Значит,
. Но фактически любое доказательство
предполагает использование того, что это выражение является корнем уравнения . Если же не угадать того, при
преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы.
О
проблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического
уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали называть формулой
Кардано.