Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
Министерство общего и
профессионального образования Российской федерации.
Уральский Государственный
Технический Университет - УПИ.
Реферат
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ
ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.
Выполнил:
Студент группы Х-149
Покровский П.В.
Проверил:
Преподаватель кафедры ВМ и
УМФ
Пироговская Л. М.
Екатеринбург.
1999.
1. Координаты центра тяжести.
Пусть на плоскости Oxy дана система
материальных точек
P1(x1,y1);
P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
c
массами m1,m2,m3,
. . . , mn.
Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты
центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:
Эти формулы используются при отыскании центров тяжести
различных фигур и тел.
2. Центр тяжести плоской фигуры.
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x),
x=a, x=b, представляет собой материальную
плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади
поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех
частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b
на полоски ширины Dx1, Dx2,
. . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее
площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником
(рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где
x, то масса полоски будет приближенно равна
(i = 1, 2, ... ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет
находиться в центре соответствующего прямоугольника:
Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой,
масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре
тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
Переходя к пределу при ,
получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:
Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е.
имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно,
координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).
3. Координаты центра тяжести плоской фигуры
В предыдущей главе указывалось, что координаты центра
тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1,
m2, . . ., mn определяются
по формулам
.
В пределе при интегральные
суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные
интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат
центра тяжести плоской фигуры:
(*)
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной
плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во
всех точках плотность g.
Если же поверхностная плотность переменна:
то соответствующие формулы будут иметь вид
Выражения
и
называются статическими моментами плоской фигуры D относительно
осей Oy и Ox.
Интеграл выражает величину
массы рассматриваемой фигуры.
4. Теоремы Гульдена.
Теорема
1.
Теорема
2.
Объем
тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и
расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на
длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
II.Примеры.
1)
Условие:
Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.
Решение:
Определим абсциссу центра тяжести: ,
Найдем теперь ординату центра тяжести:
2)
Условие:
Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого
прямой, х=а (рис. 2)
Решение: В
данном случае поэтому
(так как сегмент
симметричен относительно оси Ox)
3)
Условие:
Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)
полагая, что поверхностная плотность во всех точках
равна 1.
Решение: По
формулам (*) получаем:
4)
Условие:
Найти
координаты центра тяжести дуги цепной линии .
Решение:
1Так
как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр
тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти .
Имеем тогда длина
дуги
Следовательно,
5)
Условие:
Пользуясь
теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга
.
Решение:
При
вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен
Согласно
второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на
оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому
III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данко П.Е.,
Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах»,
часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
2. Пискунов Н.С.
«Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том
2, «Наука», Москва, 1965