Мнимые числа
Мнимые числа
“Помимо и даже
против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются
на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их
употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.
Автор: Соловьев
Алексей 12а.
Древнегреческие
математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно
складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке
Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными
числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В
практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем
Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения
всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких
чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “…
элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является
гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием,
сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата
несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей
недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра
теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью
опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным
этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было
сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа
применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже
правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые,
которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно
было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было
установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения -
положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень
извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .
В XVI веке в
связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать
квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических
уравнений вида кубические
и квадратные корни: .
Эта формула
безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень
(), а если оно имеет
три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось
отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную
операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем,
как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для
решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков
доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя
выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью
шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение
в степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа
(Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4,
нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени
имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых
могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке
(основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков
упомянутая теорема была доказана Гауссом.
Итальянский
алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он
показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных
чисел, имеет решения вида , ,
нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной
алгебры и считать что .
Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически
отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом
деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь
величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга
итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила
арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них
кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский
математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л.
Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее
употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был
введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus)
означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.
Образующих единое целое.
В течение XVII века
продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать
им геометрическое обоснование.
Постепенно
развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков
была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых
комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.
Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы
для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную
формулу : , которая
связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы
Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно
находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то
есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века
французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не
затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие
уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в
сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял
комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с
помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные
задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было
строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый
П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только
наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения
прямыми доказательствами.
“Никто ведь не
сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми
количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы
нелепых количеств” Л. Карно.
В конце XVIII века, в
начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных
чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг
от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось,
что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту
точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание
комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать
не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом
который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который
называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют
модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим,
что если , значение ArgZ не
определено, а при оно
определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет
записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).
Геометрическое
истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с
функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Стало ясно, что
комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами,
которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости,
задач теории упругости.
После создания
теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел
- чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У.
Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами
напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством
коммутативности (переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются темой моего
реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.
Большой вклад в
развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские
ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и
М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров
- к проблемам квантовой теории поля.
“Энциклопедический
словарь юного математика”
“Школьный словарь
иностранных слов”
“Справочник по
элементарной математике” М. Я Выгодский
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/