Функциональный анализ
Функциональный анализ
Абсолютно
непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом
Лебега (КФЭ 394).
Абсолютно
непрерывной называется такая функция ¦, заданная на
отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся
интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.
Утв. Всякая
абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.
Теорема.
Функция , представляющая собой неопределенный
интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.
Метрическое
пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом
пр-ве.
Полугруппой
наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная
бинарная операция.
Группой наз.
множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная
бинарная операция и существует единица.
Кольцо -
множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из
операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца
справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.
Поле – кольцо
с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых
определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).
Линейным
векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с
определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр,
такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы
законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.
Выпуклым
подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для
любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.
Уравновешенным
подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для
любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.
Абсолютно
выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество,
что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел a b : 1³ |a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.
Поглощающим
подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для
любого х из Х существует число a большее нуля, что для
все чисел b по модулю не меньших a найдется
элемент у из Е, что х равен bу.
Калибровочной
функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого
скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК р(aх)= a×р(х).
Выполнено
нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).
Полунормой
векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого
скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.
Выполнено
нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).
Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Еl={х: р(х)<l}выпукло и
поглощающее, р(х) - полунорма.
Нормированным
называется такое векторное пр-во Х над полем К, если определена функция нормы ||×|| из Х в R, такая,
что для нее справедливы следующие условия:
Норма
неотрицательна и равна нулю лишь в том случае, когда сам элемент равен нулю: ||х||³0, ||х||=0 Û х=0.
Для любого
скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.
Выполнено
нер-во треугольника: ||х||+ ||у||³ ||х+у||.
Метрическим
пр-вом называется мн-во Х на котором задана бинарная функция r(х,у), для которой справедливы следующие условия:
r(х,у)=0 титт х=у. r(х,у)= r(у,х). r(х,z)£ r(х,у) +r(у,z).
Полным
называется такое метрическое пр-во, в котором любая фундаментальная посл-ть
сх-ся.
Топологическим
пр-вом называется такое множество Х в котором определена система его
подмножеств t, называемая топологией, такая, что для нее
справедливы условия:
Мн-во Х и
пусто мн-во принадлежит t. Объединение и пересечение мн-в из t лежит в t.
Базой
топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в W из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в
виде конечной или бесконечной суммы мн-в из W.
Хаусдорфова
топология (????).
Теорема.
Пусть Х – векторное топологическое пр-во, тогда существует база окрестностей
нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.
Порождающая
система полунорм (???).
Теорема.
Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаусдорфова и
существует счетный набор порождающих полунорм.
Банаховы
пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).
Банаховым
пр-вом называется полное нормированное пр-во.
Теорема. Для
того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая
посл-ть вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы к-рых не стремятся к
нулю, имела непустое пересечение.
Теорема Бера.
Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).
Сжимающим
называется такое отображение ¦ полного метрического пр-ва ¦: Х®Х, что существует число r<1, такое что rr (х,у)³r(¦(х),¦(у)).
Теорема. Для
сжимающего отображения ¦ существует единственная неподвижная точка ¦(х)=х.
Теорема Бера.
Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения
счетного числа нигде не плотных мн-в.
Теорема о
пополнении (КГТ 12).
Пополнением
метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены
следующие усл-я:
Y полно. Х
лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.
Теорема.
Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х
изометричны, причем изометрия, связывающая их, оставляет на месте точки Х.
Сепарабельность,
компактность, критерий Хаусдорфа.
Сепарабельным
называется такое топологическое пр-во Х, что в нем существует счетное всюду
плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности
найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестности.
Компактным
подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что
из любого покрытия мн-ва А системой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.
Предкомпактом
называется множество, замыкание к-го компакт.
e-сеть для мн-ва В является такое
мн-во А, что для любого элемента из В найдется элемент из А, отстоящий от него
не далее, чем на e.
Критерий
Хаусдорфа. Пусть Х – полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А
предкомпактно титт, когда для каждого e>0 мн-во А
обладает конечной e-сетью.
Сл-е. В
конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.
Непрерывные
функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в Rn.
Теорема.
Пусть Х – компактное метрическое пр-во и ¦ - непрерывная на
нем числовая ф-я. Тогда ¦ ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней
граней.
Эквивалентными
в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы ||×||1
и ||×||2 , что существуют положительные числа a
и b для которых справедливо нер-во a||x||1£||x||2£b||x||1
при всех x из X.
Теорема. В
конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.
Теорема
Асколи-Арцела (КГ 75).
Теорема
Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на
метрическом пр-ве Х с нормой ||¦||=max|¦(x)|. Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было
предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям:
Мн-во А
равномерно ограниченно т.е. для любой функции ¦ существует
единое для всех число С, такое что модуль ¦ не превосходит это
число: $С "¦ |¦(х)|£С.
Мн-во А
равностепенно непрерывно т.е. для любой функции ¦ и для любых
двух точек х и у найдутся такие числа e и d, что как только расстояние между точками меньше, чем d разность аргументов функции ¦ меньше e: "¦ "e>0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|<e , если r(х,у)< d.
Критерий
предкомпактности единичного шара (КГТ 74).
Теорема.
Пусть Х – лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар
B={x: ||x||<1}не является предкомпактным мн-вом.
Евклидовы
пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.
Евклидовым
называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена
операция ( , ): Х´Х®С.
(х,х)³0. (х,х)=0 Ûх=0.
.
(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).
Утв. Метрику
в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:r(х,у)=||x-y||.
Теорема. Для
любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:
|(x,y)|£||x||×||y||.
Предгильбертовым
называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена
операция ( , ): Х´Х®С.
(х,х)³0.
.
(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).
Гильбертовым
пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.
Утв.
Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с
добавлением условия (х,х)>0 при x отличных от нуля.
Теорема о
существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых
пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.
Ортонормированные
системы. Процесс ортогонализации.
Опр. В
Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как .
Ортогональной
в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {xa}, что при различных a и b (хa,хb)=0.
Ортогональным
базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее
лин-ая оболочка совпадает с Х.
Ортонормированной
системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {xa}, что при различных a и b (хa,хb)=0 и для всех
векторов xa ||xa ||=1 .
Ортогонализацией
л.н.з. системы векторов {ya}называется процесс,
ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {xa},являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые
оболочки обоих систем совпадают.
Неравенство
Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.
Коэффициентами
Фурье элемента ¦ из евклидова пр-ва X по о.н.с. {jk}
называется последовательность чисел ck=(¦,jk).
Рядом Фурье
по о.н.с. {jk}
называется ряд S ckjk.
Неравенство
Бесселя. Для любого элемента ¦ из евклидова пр-ва X и о.н.с. {jk}
справедливо нер-во: .
Замкнутой
называется такая о.н.с. {jk}, что
для любого ¦ из евклидова пр-ва X справедливо равенство
Парсеваля: .
Теорема
Рисса-Фишера. Пусть {jk} о.н.с.
в полном евклидова пр-ва X и пусть числа ck таковы, что сх-ся. Тогда существует такой элемент ¦ из X, что ck=(¦,jk) и .
Базисы,
равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных
гильбертовых пр-в.
Теорема.
Любые два сепарабельных Гильбертовых пр-ва изоморфны между собой.
Лин-ые
операторы в нормированных пр-вах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пр-в
Т(l1,l2).
Лин.
оператором (отображением) А из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y над полем К
называется отображение для которого выполнена аксиомы лин-ости и
уравновешенности: (aА)х=a(Ах), А(aх+bу)= aА(х)+ bА(у).
Норма
оператора. Пусть Х, Y – нормированные пр-ва. Тогда норму оператора А можно
задать так: .
Задача.
Следующие нормы эквивалентны:
; ; ; ||A||=inf C: "х ||Ax||£C||x||.
Непрерывным
называется такой лин-ый оператор А, что для любой последовательности xn
сходящейся к х последовательность А(xn) сходится к А(х).
Ограниченным
называется такой лин-ый оператор из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y, что он
переводит ограниченное мн-во в ограниченное.
Задача.
Оператор непрерывен титт, когда он ограничен.
Задача.
Оператор непрерывен титт, когда он непрерывен в одной точке.
Лемма Цорна –
Куратовского. Существование разрывных лин-ых функций на бесконечномерном
нормированном пр-ве. Теорема Хана-Банаха в действительном случае.
Лин.
функционалом определенном на лин-ом пр-ве X называется
числовая функция.
Выпуклым
фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для
любых x,y из X и 1³a³0
выполнено соотношение: p(ax+(1-a)y)£ ap(x)+(1-a)p(y).
Положительно-однородным
фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для
любых x из X и a>0 p(ax)= ap(x).
Однородно-выпуклым
фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.
Продолжением
лин-ого фун-ла ¦0,
определенного на подпространстве X0 действительного лин-ого пр-ва X
называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦0(x) для
всех x из X0.
Подчиненным
фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)£p(x) для всех x из X.
Теорема
Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном
лин-ом пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый
фун-л на X0 , подчиненные на X0 p(x). Тогда ¦0 может
быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного
p(x) на всем X.
Теорема
Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.
Однородно-выпуклым
на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p,
что для всех x,y из X и всех комплексных чисел l справедливы
соотношения: p(x+y)£p(x)+p(y), p(lx)=| l|p(x).
Теорема
Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p –
однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X0
– лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0, такой, что |¦0 (x)|£p(x)
для x из X0. Тогда Существует лин-ый фун-л ¦, являющийся продолжением ¦0, такой, что |¦ (x)|£p(x)
для x из X.
Непрерывные
лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (прямая теорема).
Непрерывные
лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (обратная теорема).
Непрерывные
лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.
Непрерывные
лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема).
Сопряженные
операторы.
Сопряженным
пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A
называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.
Сопряженным
оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y
называется такой лин. оператор A*, который
отображает пр-во Y* в X*.
Теорема
Банаха-Штейнгауза.
Существование
непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье.
Слабая сходимость.
* слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mmonline.ru/