Обратная матрица
Обратная матрица
Матрица
A-1 - обратная для матрицы A, если
AA-1=A-1A=I
Для
квадратной матрицы A обратная существует
тогда
и только тогда, когда detA¹0.
где
Aij - алгебраические дополнения элэментов aij
матрицы
A. Свойства: (A-1)-1=A,
(AB)-1=B-1A-1, detA-1=1/detA
В
частности:
Решение
квадратной системы:
Ax=b
если |A|¹0, то x=A-1b
Матричные
уравнения.
XA=B
Þ X=BA-1
AX=B Þ
X=A-1B
Некоторые
св-ва определителей:
1.*
Величина определителя не изменится, если каждую
строку
заменить столбцом с тем же номером.
перестановкой
двух каких-либо ее строк
(столбцов*),
то detB=¾detA.
3.
Общий множитель всех элементов произвольной
строки
(столбца*) определителя можно вынести за
знак
определителя.
4.*
Определитель, содержащий две пропор-
циональные
строки (столбца), равен нулю.
5.
Определитель не меняется от прибавления к
какой-либо
его строке (столбцу*) другой его строки
(столбца),
умноженной на произвольное число.
6.*
Если какая-либо строка (столбец) определителя
есть
линейная комбинация других его строк
(столбцов),
то определитель равен 0.
7.
Если матрица имеет треугольный вид, то ее
определитель
равен произведению элементов на
главной
диагонали.
*-неизученные
свойства.
Фундаментальная
система решений.
Фундаментальной
системой решений называется
система
из (n-r) линейно независимых решений, где
ФСР: l1,l2,...,ln-r
ФСР
может быть бесконечное множество.
Если
l1,l2,...,ln-r-ФСР однородной системы, то
xоо
= с1l1+с2l2+...+сn-r ln-r
xон
= xоо + xчн
Метод
Крамера:
Если
D=0 и не все Dxj=0, то система несовместна.
Если
D¹0, то система имеет единственное решение,
где
Dxj - определитель, полученный
заменой j-го
столбца
в определителе системы столбцом
свободных
членов.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru/