Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах
МЕТОД А.Ф.СМИРНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
1.
ОСНОВНЫЕ
ПРЕДПОСЫЛКИ
1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потери
устойчивости не вызывает изгиба стержней.
2)Материал работает в упругой стадии.
3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерами
конструкции
4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в тех
стержнях,в которых они возникали до потери устойчивости.
Примечание: Если критические нагрузки определяются в статически
неопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методом
сил.
Основная система выбирается в момент потери устойчивости .
Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемая
система, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированном
состоянии.
Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобы
сжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.
1.2.Алгоритм расчета по методу А.Ф.Смирнова
Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.
В момент потери устойчивости система характеризуется наличием
сжато-изогнутых и изогнутых элементов.
Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер(m×1):
Y1
Y2
Y3
= ...
(m×1) ...
Yn ,
где m-число ненулевых координат вектора
отклонений ,которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.
Вектор отклонений можно определить по формуле Мора ,которая в матричной
форме имеет вид
(1.1)
При определении перемещений система разбивается на участки. В пределах
каждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в тех
точках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.
Обозначим : μ-число
расчетных сечений
Для составления My необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных сил
приложенных в направлении искомых перемещений Y1,Y2,Y3...Yn.
Матрица Му имеет размер(μ×m)
Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра
=
(μ×m)
G-размером
(μ×μ)-матрица податливости всей системы.
Она формируется из матриц податливости отдельных участков.
Мр- матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюр
изгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в
критическом состоянии.
Для статически-неопределимых систем при определении Мр
используется матричный алгоритм метода сил:
(1.2),
где (1.3)-матрица ,раскрывающая статическую
неопределимость системы.
Если заданная система статически определимая ,то матрица превращается в единичную матрицу (μ×μ):
=Е (1.4)
Структура матрицы
Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра
=
(μ×m)
-матрица столбец, элементами которой
являются ординаты эпюры моментов ,построенной от
действия внешних узловых сил в основной системе ,с учетом ее деформированного
состояния.
Ординаты эп. зависят от вектора перемещений
y
Получим матрицу в виде:
(1.5),
где: H-числовая матрица размером (μ×m),преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментов
грузового состояния
Тогда (1.6)
Подставляя (1.6) в (1.1) получим вектор перемещений
(1.7)
Обозначим : =k∙c
(1.8),
Где k-общий множитель ,полученный из множителей
при перемножаемым матрицах Н и G
Тогда: или ,обозначим
(1.9),
где :λ-собственное число матрицы ;-собственный
вектор матрицы
Преобразуем (1.9)
(1.10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА
СМИРНОВА,
где ;.
Выражение (1.10) представляет собой систему однородных уравнений
относительно ,где матрица составлена из
коэффициентов при неизвестных Y1,Y2,Y3...YN.
Уравнение устойчивости (1.10) имеет два решения
1) Вектор перемещений равен 0
Y1 0
Y2 0
= ... = ... (1.11)-начальная форма равновесия
... ...
Yn
0
2) Определитель ,составленный из коэффициентов при неизвестных равен 0.
=0 (1.12)-характеристическое уравнение
Если раскрыть определитель,то получим уравнение m10 порядка,где неизвестным будет λ.
Решение этого уравнения дает значения λ,λ1,λ2,λ3…λm.
Минимальное значение Ркр составляет λmax ()
minPкр= (1.13),
где -наибольшее собственное число
характеристической матрицы .
Собственный вектор характеристической матрицы дает
форму потери устойчивости.
2.ПОРЯДОК
РАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф.СМИРНОВА
1.Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.
Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается число
ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.
2.Ось системы разбивается на участки .Назначаются расчетные сечения и
правило знаков для эпюр изгибающих моментов .
3.Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.
4.Формируются необходимые матрицы .
5.Вычисляется характеристическая матрица
,
где -для статически неопределимых систем;
=Е-для статически определимых систем
6.Решается характеристическое уравнение =0 →
7.Определяется значение критической нагрузки:
minPкр=
3.ФОРМИРОВАНИЕ
МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливости
отдельных участков и имеет следующую структуру
0
G= Gk
(μ×μ) Gk-матрица податливости участка k
Вид матрицы Gk
зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).
1)Участок ,испытывающий только изгиб
G,
где : l0-длина любого участка ,принятого за основной
B0-жесткость любого участка ,принятого
за основную
;
2)Участки ,испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка
вид матрицы Gk зависит от того ,на сколько панелей
разбита его длина
а)Длина участка разбита на две панели:
-длина участка
-длина панели
;
б)Длина участка разбита на три панели:
;;
в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:
В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из
подучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрица
податливости.
GΙ
Gk = GΙ Ι
4.ФОРМИРОВАНИЕ
МАТРИЦЫ H
Матрица H-числовая матрица размером (μ×m), преобразующая вектор перемещений в эпюру моментов грузового состояния.
;
Для построения матрицы H
необходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основной
системы от узловых нагрузок и построить эпюру М0
Эпюра М0 строится со стороны растянутых волокон с учетом
деформированного состояния системы.
М0=
В матрицу H вписываются
коэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.
Существует несколько методов решения характеристического уравнения . Все
методы делятся на две группы:
1)Первая –позволяет вычислить все собственные числа( метод Крылова-Лузина
и др.)
2)Вторая –позволяет вычислить наибольшее собственное число(и
соответственно наименьшее значение критической нагрузки)
К этой группе относится метод последовательных приближений
Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное число
характеристической матрицы .Вместе с определением
собственного числа одновременно производится определение собственного вектора,
соответствующего этому числу и удовлетворяющего равенству:
,
где -характеристическая матрица
-для статически неопределимых систем
=Е- для статически определимых
- собственное число характеристической
матрицы
-собственный вектор матрицы
Порядок решения:
1)Задаемся приближенным вектором перемещений -первое
приближение;
2)Вычисляется: ,
где -второе приближение собственного вектора; -первое приближение собственного числа.
Вектор следует сделать нормированным ,т.е. его
наибольшую координату надо вынести за знак матрицы в виде множителя .
3)Далее вновь подсчитывается :
и т.д.
4)Повторение процесса продолжается до тех пор ,пока значения координат
векторов двух последних приближений не совпадут.
Величина найденная в последнем
приближении принимается за искомое
6.ПРИМЕР.
Определить критическую силу методом А.Ф.Смирнова
;=Е-
т.к. система статически определима
=;;
;
;
;
=0
=0
С
|
С=
|
|
у1
|
1
|
0,5
|
|
Су1
|
118,5
|
30,5
|
|
у2
|
1
|
0,257
|
|
Су2
|
109,75
|
25,15
|
|
у3
|
1
|
0,229
|
|
Су3
|
108,74
|
24,54
|
|
у4
|
1
|
0,2257
|
|
Су4
|
108,62
|
24,46
|
|
у5
|
1
|
|
=108,62
у=
minPкр=;