Эконометрика. Корреляционный анализ

Эконометрика. Корреляционный анализ

Задача 1

По данным основных показателей производства с/х предприятий:

а.       Построить график зависимости между двумя признаками, определив какой из них будет результативным, а какой факторным;

б.      Установить тип зависимости и МНК, определить параметры уравнений регрессии (линейного степенного, показательного и т. п.);

в.       Оценить тесноту связи;

г.       Оценить качество и адекватность уравнений регрессии;

д.      Оценить статическую зависимость.

Зависимость изучить по следующим парам признаков (не менее 5 предприятий):

число работников предприятия и валовый доход.

регрессия уравнение корреляция детерминация

Дано:

Решение.

Предварительный анализ:

Построим поле корреляции - по оси абсцисс откладываем значения фактора Х - числа работников, по оси ординат - валовый доход.

Разброс точек очень большой

Поэтому для рассмотрения возьмем предприятия №№ 1, 4, 6, 8, 10, 13, 19.

.        Построение регрессионных моделей

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. Классический подход - применение метода наименьших квадратов (МНК). При этом сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений  должна быть минимальной, т. е

.

А. Линейная модель

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

= a + b ⋅ x или y = a + b ⋅ x + ε .

Уравнение вида _х = a + b ⋅ x позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров - a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических ɵyx минимальна:

.

Для оценки параметров необходимо вычислить суммы

.

Составим таблицу:

Основные формулы:

σ_х =  =  = 3,55706

σ_у =  =  = 3,19362

b =  =  = 0.8156

a =  - b = 4.62857 - 0.8156*5.91429 = - 0.1952

у = -0,1952 + 0,81561х

Значение коэффициента регрессии b показывает, что увеличение числа работников (х) на 100 человек приводит к росту валовой продукции (у) в среднем 0,81561 млн. руб.

Для характеристики изменчивости результативного признака часто используют относительную скорость изменения, называемой темпом изменения Т (логарифмической производной) или безразмерный показатель - эластичность или среднюю эластичность, которая характеризует изменчивость результативного признака в % при вариации на 1% от среднего уровня:

Т =  = (lny)’; Э =  ’;  = (

Для линейной модели:

 = (a + bx)’ Þ Э = Þ = b

В нашем случае:

Э =

 =  = 1,042%

Таким образом, при увеличении числа работников на 1% от среднего уровня валовая продукция увеличится на 1,042%.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x

Стандартное отклонение: 1,442057;

R² = 0.8252358

Б. Степенная модель

Перед построением степенной модели y = ax^b произведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y = lg a + b*lg x = C + bX

где У = lg y X = lg x C = lg a

Выполняем потенцирование линеаризованного уравнения и получаем искомую степенную модель:

у = 10^-0,4472 * х^1,3975 = 0,3571х^1,3975

эластичность:

Э = (а  =   = b = 1,39749 %

Эластичность степенной модели постоянна и совпадает с коэффициентом регрессии b.В нашем случае увеличение числа работников на 1% приводит к увеличению валовой продукции на 1,4%.

В. Показательная модель.

Построение уравнения показательной кривой у = aпредшествует процедурв линеаризации путем логарифмирования обеих частей уравнения

lg y = lg a + x*lg b = C + Bx

где Y = lg y B = lg b C = lg a

Составляем таблицу в Excel:

Произведем потенцирование полученного уравнения

у = 10^-0,04713 10^0,09552х = 0,897*1,246^х

Эластичность:

Э = (а  =   = xb Þ

Þ =  = 1.3 %.

Г. Гиперболическая модель.

Уравнение равносторонней гиперболы: у = а + b* преобразуем заменой z =  к виду: у = а + b*z

Составляем таблицу в Excel:

Получаем гиперболическую модель:

у = 8,7815 - 16,7377

Оценим эластичность:

Э =   =  =  =  Þ   

  = 0.61 %

.        Оценка тесноты связи, качества и точности модели

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy, который можно рассчитать по следующим формулам:

 r_xy, =  =  Þ r_xy, = b

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: [-1; 1] . Чем ближе абсолютное значение r_xy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при r_xy = ±1 имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

При нелинейных зависимостях лучше использовать другой показатель - индекс корреляции , тесно связанный с коэффициентом детерминации R²:

 =  

где  =  - общая дисперсия результативного признака у;

 =  - остаточная дисперсия

Величина данного показателя находится в пределах: 0 ≤ ρ_xy ≤1.

Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,

О качестве модели можно судить по относительным ошибкам (ошибкам аппроксимации). Нежелательно, чтобы относительные ошибки превышали 8 - 10% от уровня наблюдаемых у.

А. Линейная модель

r_xy = b = 0,81561 = 0,908

так как r_xy  0,7 и положителен, то связь прямая и очень сильная.

Определим коэффициент детерминации:

 R² = 1 -  = r_xy² = 0.8245

Изменение валового выпуска с/х продукции на 90,8% объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 100 - 82,45 = 17,55%.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x

Расчетная в задании: Y(x) = -0.1952 + 0.815617x

Стандартное отклонение: 1,442057;

R² = 0.8252358

Б. Степенная модель

Индекс корреляции и коэффициент детерминации:

 =  =  = 0.956

R² = 0,914

В случае степенной модели вариация валового выпуска на 95.6 % объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 8.6 %.

Коэффициент детерминации степенной модели выше коэффициента детерминации линейной модели, но различия незначительны - менее 10 %. (6,2 %). Значение индекса близко к 1, что свидетельствует об очень сильной взаимосвязи исследуемых факторов.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,3571002*х^1,3974895

Расчетная в задании: Y(x) = 0,3571*х^1,3975

Стандартное отклонение: 1,9881345;

R² = 0.9138602

В. Показательная модель

 =  = 0,852

R² = 0,726

Связь в этой модели удовлетворительная

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,8971571*2,450054^х

Расчетная в задании: Y(x) = 0,897*2,46^х

Стандартное отклонение: 3,0569256;

R² = 0.7261552

Г. Гиперболическая модель

 =

R² = 0,7056

Связь в этой модели удовлетворительная.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 8,7815289 - 16,7377103/х

Расчетная в задании: Y(x) = 8,7815 - 16,7377/х

Стандартное отклонение: 1,8718524

R² = 0,7055368

Вывод: Расчеты произведены правильно, о чем свидетельствуют данные стандартной расчетной Программы

Расчет относительных ошибок произведён в предыдущих расчетах.

.        Оценка статистической значимости регрессионных уравнений

Статистическую значимость уравнений регрессии оцениваем при помощи критерия Фишера (F - тест).

Пусть основная гипотеза Н0 состоит в предположении, что R² = 0? А альтернативная Н1 - R²  0. Основная гипотеза Н0 принимается в том случае, если расчетная F-статистика меньше критического значения:

F_факт =   F_крит (α, df₁ = m; df₂ = n - m - 1)

в противном случае принимается гипотеза Н1

где df - число степеней свободы;

m - число факторов в модели;

n - число наблюдений.

Для линейной модели:

F_факт =  = 23,49

Критическое значение критерия Фишера при уровне значимости 0,05; m = 1; n = 7 равна 5,59. Так как F_факт  F_крит, то при доверии 95% принимается гипотеза Н1 о неслучайной природе выявленной зависимости и статистической значимости показателей тесноты связи.

Для остальных моделей:

Степенная модель: F_факт =  = 53,14

Показательная модель: F_факт =  = 13,25

Гиперболическая модель: F_факт =  = 11,98

Таким образом, все модели выдержали тест на значимость, т. к. во всех случаях F_факт  F_крит. Улучшение достоверности уменьшает критическую область: при уровне достоверности α = 0,01 критическое значение увеличивается до 12,25, и тогда в этом случае гиперболическая модель отпадает.

Сравним регрессионные модели по всем показателям и выделим лучшую

Показатели тесноты связи указывают, что очень сильная связь исследуемых признаков: числа работников х и валовой продукции у у степенной и линейной модели (лучшая степенная); у показательной и гиперболической моделей связь удовлетворительно тесная

Наибольший коэффициент детерминации у степенной модели - 0,914, отличие от линейной меньше 10%. Значительно отстают показательная и гиперболическая модели.

Степенная модель оказалась и более эластичной - 1,4%.

Наилучшим образом экспериментальные и теоретические значения результативного признака согласуются для степенной модели : А = 17,49%. Наихудшее согласование у гиперболической модели.

F-тест на значимость выдержали все модели при уровне значимости 0,05

Таким образом, для степенной модели получены наилучшие показатели тесноты связи.

Графики моделей приведены в предыдущих расчетах.

Программа Advenced Grapher 8/ 0 показывает ещё следующие возможные регрессионные модели:

Логарифмическая модель:

 Y(x) = 4.7189419*ln(x) -2.8745813

Стандартное отклонение 1,2853802

 R² = 0.8611484

Экспотенциальная модель:

У(х) = 0,8971571*е^0,22х

Стандартное отклонение: 3,0569228

 R² = 0.7261548

Полиноминальна модель

У(х) = -0,0714504х² + 1,8598х - 2,9675345

Стандартное отклонение: 1,1326346

 R² = 0.8921867

Лучшая

Y(x) = 0,0080221х⁶ - 0,2899243х⁵ + 4,0186219х⁴ - 27,2974512х³ + 95,8786377х² - 163,8950124х + 106,6035793

R² = 0.9861976

Стандартное отклонение: 0,040621

4.      Составление прогноза

Прогноз валовой продукции выполняем по лучшей модели - степенной.

Вначале рассчитаем прогнозной значение числа работников на уровне 90% от среднего значения:

х_р = 0,9 = 0,9

Точечный прогноз:

найдем значение у_р подстановкой в уравнение регрессии:

у_р = 0,3571*5,322861^1,3975 = 3,695

для построения доверительного интервала вычислим предварительно среднюю стандартную ошибку прогноза m_p и предельную ошибку .

 = t_табл  m_p

m_p = σ_ост  

где σ_ост =

для степенной модели остаточная сумма: = 0,09586 в логарифмической форме, в действительной: 1,247, тогда

σ_ост =  = 0,4993 = 0,5

вычислим квадратичную сумму отклонений фактора х от среднего значения:

 = n = 7  3.55706 = 24.89942

Стандартная ошибка прогноза:

m_p = 0,5  = 0,538

при уровне значимости 0,05 и степени свободы df = 7 - 1 - 1 = 5 определим критическое значение критерия Стьюдента t_табл = 2,57, следовательно, предельная ошибка

 = t_табл  m_p = 2,57*0,538 = 1,382

Таким образом, можно определить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала:

y_min = y_p -  = 3.695 - 1.382 = 2.313_max = y_p +  = 3.695 + 1.382 = 5.077

выполненный прогноз достаточно надежен (95%), но точность невысока, так как диапазон верхней и нижней границы доверительного интервала составляет 5,077/2,313 = 2,2 раза.

Задача 2

По данным основных показателей производства с/х предприятий:

а.       Построить матрицу коэффициентов корреляции;

б.      Вычислить стандартизированные коэффициенты, ранжировать факторы по силе их влияния;

в.       Построить линейное уравнение множественной регрессии в нормальном масштабе;

г.       оценить тесноту связи факторов с результативным признаком;

д.      оценить качество и адекватность модели;

е.       оценить статистическую значимость уравнения в целом и целесообразность включения в модель каждого из факторов.

Число работников на 100 га пашни (х1), затраты на производство продукции на 100 га пашни (х2) и валовая продукция в сопоставимых ценах на 100 га пашни (у).

Дано:

Решение.

Преобразуем таблицу в показателях на 100 га пашни

.        вычисляем средние значения факторов Х_i и У, несмещенные среднеквадратические отклонения и коэффициенты корреляции, используя стандартные программы Excel:

среднее значение выборочных данных - СРЗНАЧ();

среднеквадратическое отклонение - СТАНДОТКЛОН().

Судя по коэффициентам корреляции умеренное влияние на объем валовой продукции оказывает производство продукции на 100 га пашни r_xy  0.4 и довольно слабое - количество человек, занятых в производстве:

r_xy  0.4.

Матрица коэффициентов корреляции будет включать коэффициенты корреляции У с Х₁ и Х₂ и коэффициенты межфакторной корреляции

 R =  =

detR = 1(1-0.46155²) - 0.13817(0.13817 - 0.46155*0.44012) + 0.44012(0.13817*0.46155 - 0.44012) = 0.78697 - (-0.00898) + (-0.16564) =

= 0.63031

2.      Проверяем наличие мультиколлинеарности средипеременных. Вычисляем определитель матрицы межфакторных коэффициентов корреляции:

det₂R =  = 1 - 0.46155² = 0.78697

Определитель ближе к 1, чем к нулю, что говорит о возможном отсутствии мультиколлениарности

Проверим основную гипотезу Н0 о независимости переменных detR = 1/

Гипотеза принимается в случае .

В противном случае следует принять альтернативную гипотезу Н1 о наличии мультиколлениарности detR = 0

Фактическое значение критерия:

 = [n - 1 - (2m + 5)lgDetR = 20 - 1 - (2*2 + 5)lg0.78697 = 19.844

меньше критического значения  = 43,8 при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы df = 0.5*20*14 = 140, То подтверждается гипотеза Н0 о независимости переменных.

Совокупное влияние факторов на результат характеризуется коэффициентами множественной детерминации и корреляции. При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить, зная матрицу парных коэффициентов корреляции и определителя.

R_yx1x2 =

Тогда множественный коэффициент корреляции:

R_yx1x2 =  = 0.446  0,5.

Следовательно, тесноту связи исследуемых факторов (численности и затрат на производство на 100 га пашни) с объемом валовой продукции можно оценить как среднюю.

3.      Составим уравнения множественной регрессии

Сначала найдем стандартизированные коэффициенты регрессии из системы уравнений:

Уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:

t_y = -0.08256t_x1 + 0.47825t_x2 +

так как  по модулю, то по силе влияния на объем валовой продукции больше влияют затраты на производство.

Используя формулы перехода, находим коэффициенты регрессии и свободный член линейного уравнения:

b₁ = b₁  Þ b₁ = -0.08256  = - 0.21₂ = b₂  Þ b₁ = 0.47823  =0.292

a =  -  Þ a = 7.2562 - (-0.21) 8.721 - 0.292  25.3562 = 1.6836

Уравнение регрессии в нормальном масштабе:

у = 1,6836 - 0,21х₁ + 0,292х₂ +

увеличение валового объема продукции достигается путем увеличения численности работающих или снижением издержек на производство.

Снижение затрат на производство на 1 руб/га увеличивает валовый объем на 0,292 процентных пункта и увеличение работающих на 100 чел приводит к увеличению валового объема на 0,21 процентный пункт.

.        Проверим значимость уравнения в целом при помощи критерия Фишера

Коэффициент детерминации R² = 0,199. Тогда согласно критерию Фишера:

F_факт =  =  = 2.125 не превышает

F_крит = (α - 0,05; df₁ = 2; df₂ = 17) = 3.59

Это говорит об отсутствии статистической значимости коэффициента детерминации и линейного уравнения множественности регрессии в целом.

Проверим также значимость включенных в уравнение переменных

Вычислим приращение коэффициента детерминации за счет каждого фактора Х.

 = 0.08256*0.13817 = 0.0114

 = 0.47823*0.44012 = 0.21

Основная гипотеза принимается при условии:

F_факт =   F_крит = (α - 0,05; df₁ = 1; df₂ = 17)

F_{факт х1} =  = 0,121  F_крит = (α - 0,05; df₁ = 1; df₂ = 17) = 4,45

F_{факт х2} =  = 2,231  F_крит = (α - 0,05; df₁ = 1; df₂ = 17) = 4,45

Во обоих случаях основная гипотеза Н0 принимается, следовательно, для построения модели объема валовой продукции оба фактора не значимы!

5.      Проведем оценку качества модели

Для этого вычислим теоретические значения объема валовой продукции для каждого набора факторов, абсолютные и относительные ошибки

Средняя ошибка аппроксимации оказалась за рамками допустимых значений, вследствие чего качество построенной модели плохо

Задача 3

1.      Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить идентифицировано ли каждое уравнение модели;

.        Определить метод оценки параметров модели;

.        На основе приведенной формы модели определить все возможные структурные коэффициенты.

Дано:

Структурная форма модели:

Приведенная форма модели:

Решение:

.        Заданная модель имеет три эндогенные (У₁, У_2, У₃) и три экзогенные переменные (Х₁, Х₂, Х₃).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условие идентификации.

Необходимое условие заключается в выполнении счётного правила:

D + 1  - уравнение неиндентифицировано;

D + 1 = Н - уравнение точно идентифицировано;

D + 1  - уравнение сверхидентифицировано

Где Н - число эндогенных переменных в уравнении; D - число отсутствующих экзогенных переменных в уравнении, но присутствующих в системе.

Проверяем это правило для всех исследуемых уравнений:

Достаточное условие идентификации заключается в том, что определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0, и ранг этой матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных в системе без единицы.

Построим матрицу коэффициентов системы

Так как в первом уравнении отсутствуют две переменные Х₂ и Y₃, из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается квадратная матрица второго порядка:

Определитель данной матрицы не равен нулю:

DetA = -1 b₂₂ Þ rangA = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие для первого уравнения выполняется и оно точно идентифицировано.

Во втором уравнении отсутствуют две переменные Х₁ и Y₃, из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается квадратная матрица второго порядка:

Определитель данной матрицы не равен нулю:

DetВ = -1 b₁₁ Þ rangВ = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие для второго уравнения выполняется и оно точно идентифицировано.

В третьем уравнении отсутствует три переменных Х₁ , Х₂ и Х₃

из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается прямоугольная матрица :

Из элементов этой матрицы можно составить определители второго порядка, отличные от нуля:

DetС = b₁₁b₂₂

DetС = b₁₁b₂₃

DetС = - b₁₃b₂₂  Þ rangС = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие выполняется

Следовательно, первые два уравнения точно идентифицированы, третье - сверхидентифицируема, таким образом, вся система сверхидентифицируема.

5.      Определение структурных коэффициентов

Так как первые два уравнения точно идентифицированы, находим соответствующие структурные коэффициенты путем следующих преобразований:

Для определения структурных коэффициентов первого уравнения за основу возьмем первое приведенное уравнение, в котором необходимо избавиться от Х₂ и ввести переменную Y₂. Поэтому выражаем Х₂ из второго приведенного уравнения и подставляем его в первое:

 Þ

Х₂ =  Þ

Таким образом, а₁ = 3,167; b₁₁ = 9,2; b₁₃ = 2,083; c₁₂ = 0,183

Для определения структурных коэффициентов второго уравнения за основы берем второе приведенное уравнение, где необходимо избавиться от Х₁ и ввести переменную Y₁. Поэтому выражаем Х₁ из первого приведенного уравнения и подставляем его во второе:

 Þ

Х₁ =  Þ

Таким образом, а₂ = 1,429; b₂₂ = 78,857; b₂₃ = 0,143; c₂₁ =1,714

В силу того, что третье уравнение сверхиндентифицируемо его структурные коэффициенты не подлежат точному определению. Для их расчета можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов: на основе первого приведенного уравнения вычисляют теоретические значения ₁ и используя или наблюдаемые значения Х₂, вычисляют параметры третьего структурного уравнения, применяя МНК.

Задача 71

По условным поквартальным данным розничного товарооборота областей Х за три года (в % к уровню 1-го квартала):

а.       Построить график временного ряда;

б.      Построить аддитивную или мультипликативную модель временного ряда;

в.       Оценить качество модели через показатели средней абсолютной ошибки, среднего относительного отклонения и коэффициента детерминации.

Решение:

.        Построение временного ряда

По оси абсцисс откладываем кварталы, по оси ординат - размер товарооборота

Очевидно, что имеется тенденция к снижению розничного товарооборота:

О чем говорит «красная» аппроксимация.

Поскольку амплитуда колебаний изменяется от квартала к кварталу, возможно, лучшее соответствие покажет мультипликативная модель.

.        Построение аддитивной и мультипликативной моделей

Построим аддитивную и мультипликативную модели динамического ряда из трех компонент: тренда; квартальной; случайной.

y_адд = Т + S + E

y_мульт = Т  S  E

Начнем с выделения квартальной компоненты. Для этого произведем сглаживание временного ряда посредством усреднения уровней временного ряда по 4 соседним кварталам, каждый раз продвигаясь вперед на 1 шаг - вычисляем скользящую среднюю:

CC_k =  

k =  

где  - номер квартала

Для первых 4 кварталов:

k =  = 2,5

CC_k =  = 97,8

Затем оцениваем квартальные (сезонные) компоненты

Аддитивные: S_адд = у - ЦCC

Мультипликативные: S_мульт = у/ЦСС

Дальнейшие расчеты произведем в Excel:

Сезонная составляющая изменяется от квартала к кварталу, поэтому вычисляем усредненные величины за период наблюдения. Для этого просуммируем S отдельно за каждый квартал и находим их средние значения. Кроме того, в моделях с квартальной компонентой обычно полагают, что сезонные воздействия за год должны нивелировать друг друга. В случае построения аддитивной модели сумма квартальных компонент должна быть нулевой. Так как на самом деле сумма отличается от нуля необходимо произвести коррекцию:

К_адд =   0 Þ k_адд = К_адд /4 Þ S_адд =  - k_адд

Разделим 12 кварталов на 3 года

Расчет сезонной аддитивной модели

Здесь корректирующая поправка k_адд =2,27083/4 =0,56771

В мультипликативной модели сумма квартальных компонент должна быть равна числу периодов кварталов

К_адд =   4 Þ k_адд = 4/К_адд Þ S_мульт =  * k_адд

Расчет сезонной мультипликативной модели

Корректирующий множитель: k_адд = 4/2,69016 = 1,4869.

За исследуемый промежуток времени максимальный объем товарооборота приходится на 5-ый квартал и составляет 107,8 %.

3.      Нахождение тренда

Сформируем динамические ряды, в которых исключаем сезонную компоненту из наблюдений для аддитивной модели (y - S) и для мультипликативной модели (y/S) и найдем для них уравнения линейного тренда Т = a + bt, где в качестве независимой переменной выступает фактор времени t - текущий номер квартала. Параметры тренда определяются МНК или при помощи встроенных функций в Excel: КОРРЕЛ() для определения коэффициента корреляции; ОТРЕЗОК() - свободного члена в линейном уравнении тренда; НАКЛОН() - коэффициента регрессии.

Таким образом, получаем следующие линейные тренды:

Т_адд = 96,7694 + 0,4252 t_мульт = 96,3793 + 0,4916 t

4.      Для оценки качества и сравнения двух моделей вычисляем теоретические значения уровней ряда (T + S) и (T*S), абсолютные ошибки е_адд = у - ( T + S), e_мульт = у/(T*S), ошибки аппроксимации А и средние значения.

По результатам вычислений очевидно, что лучшей является мультипликативная модель с меньшими ошибками и большим коэффициентом детерминации.