Составление оптимального плана производства дополнительной продукции с использованием симплекс-метода
Содержание
Введение
.
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
.1
Линейное программирование - инструмент исследования линейных моделей
.2
Основы симплекс-метода
.3
Симплекс-таблицы
.
ПРИМЕНЕНИЕ СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА (НА ПРИМЕРЕ НЭРЗ)
.1
Общая характеристика предприятия
.2
Моделирование экономической ситуации в инструментальном цехе
.3
Решение задачи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Эффективность работы предприятия зависит от многих факторов, в то числе и
от того, как решаются вопросы снижения себестоимости продукции.
Себестоимость продукции находится во взаимосвязи с показателями
эффективности производства. Она отражает большую часть стоимости продукции и
зависит от изменения условий производства и реализации продукции.
На Новосибирском электровозоремонтном заводе основой планирования и
организации производственной деятельности является потребность ОАО РЖД в
ремонте подвижного состава, узлов, агрегатов и производства запасных частей по
широкой номенклатуре. До настоящего времени загрузка производственных мощностей
на предприятии была практически полной, и вопрос использования свободных
ресурсов не стоял остро. Теперь же, в связи с падением объема железнодорожных
перевозок, и, как следствие, уменьшением количества ремонтируемых электровозов,
оптимизация производственного процесса становится существенной необходимостью.
Целью курсовой работы является составление оптимального плана
производства дополнительной продукции с использованием симплекс-метода. Для
достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:
- изучить теоретические основы линейного программирования,
- применить симплекс-метод для оптимизации плана производства,
Объектом исследования является инструментальный цех филиала ОАО РЖД
«Новосибирский электровозоремонтный завод».
1. ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1.1 Линейное программирование - инструмент исследования линейных
моделей
В связи с развитием техники, ростом промышленного производства все
большую роль играют задачи отыскания оптимальных решений в различных сферах
человеческой деятельности. Основным инструментом при решении этих задач стало
математическое моделирование - формальное описание изучаемого явления и
исследование с помощью математического аппарата.
Всякая модель реального процесса предполагает идеализацию и абстракцию,
но они не должны уходить слишком далеко от содержания задачи, чтобы построенная
модель не утратила существенных черт моделируемого объекта, т. е. была ему
адекватна. С другой стороны, если построить сложную модель, учитывающую все тончайшие
особенности изучаемого процесса, то это может нарушить смысл моделирования,
одна из целей которого - упростить постановку задачи, чтобы легче было ее
исследовать (слишком сложная модель, как правило, не поддается анализу).
В большом числе случаев первой степенью приближения к реальности является
модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние
объекта, предполагаются линейными. Здесь имеется полная аналогия с тем, как
весьма важная и зачастую исчерпывающая информация о поведении произвольной
функции получается на основе изучения ее производной - происходит замена этой
функции в окрестности каждой точки линейной зависимостью. Значительное
количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и
полно описывается линейными моделями. Сказанным определяется важность той роли,
которую играет линейное программирование - метод отыскания условного экстремума
линейной функции на множестве, заданном при помощи линейных соотношений типа
равенств и неравенств (линейных ограничений) [1, с. 9].
Условия применимости линейной модели
Делимость. Если способ применяется с интенсивностями a и b (a < b), то его можно применять с любой
интенсивностью x Î [a; b].
Это условие не тривиально. Если, например, интенсивность выполнения
работы измерять числом назначенных на нее работников, то допустимы только целые
значения интенсивности. Если же интенсивность измеряется числом человеко-часов
в сутки, то принцип делимости, по-видимому, выполнен.
Пропорциональность. Затраты, выпуски и полезность, производимые каждым
способом, пропорциональны его интенсивности.
Это условие постоянной отдачи (во всех смыслах), отсутствия эффекта
масштаба. Особое внимание следует уделять выявлению диапазона интенсивности
технологического способа, в котором этот способ удовлетворяет условию
пропорциональности. Например, если сварщик проваривает контейнер за 6 часов, то
двое сварщиков, пожалуй, справятся с этой работой за 3 часа. Но шестеро - за
час - не сварят контейнер.
Аддитивность. Полезности и - для каждого ингредиента - затраты и выпуски,
производимые всеми способами, суммируются.
Принцип аддитивности требует аккуратного и согласованного описания
входящей в модель номенклатуры: технологических способов, ингредиентов,
полезностей.
Формы записи задач линейного программирования
В самом общем виде задача ЛП записывается следующим образом:
1
(1)
При
2
(2)
3
(3)
4
(4)
5
(5)
Определение
1. Матрица 
называется матрицей задачи (1) - (5). □
Более
унифицированное представление задачи ЛП - стандартная форма:
При
для i Î {1,…, m}, x ³ 0.
линейный программирование симплекс оптимизация
Особенности
стандартной формы: все переменные неотрицательны (n1 = n),
ограничения-равенства отсутствуют (m1 = 0). Если ЦФ максимизируется,
то m2 = 0 и нет ограничений вида (3); в противном случае m2 = m и
нет ограничений вида (4). Полагая 
и 
, стандартную форму можно записать следующим образом:
6c × x ® max (min) при Ax £(³) b, x ³ 0. (6)
Но
самый простой вид имеет каноническая форма записи задач ЛП.
Определение
2. Задача (1) - (4) представлена в канонической форме, если все ограничения,
кроме условий неотрицательности переменных, являются равенствами (m1 = m) и
все переменные неотрицательны (n1 = n). □
Задача
ЛП в канонической форме имеет, следовательно, вид
7c ×
x ® max (min) при Ax = b, x ³ 0. (7)
1.2 Основы симплекс-метода
Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме:
8
(8)
при
9
(9)
10х ³ 0 (10)
Пусть
и 
-
соответственно строка i и столбец j матрицы А0. Будем считать, что строки
матрицы линейно независимы.
Любую
задачу ЛП можно привести к канонической форме; если задача в канонической форме
разрешима, то среди ее решений есть хотя бы одна крайняя точка множества
допустимых решений; крайние точки множества допустимых решений задачи ЛП в
канонической форме совпадают с БДР.
Опираясь
на перечисленные факты, можно представить себе следующую процедуру решения
задачи. Проверим каким-либо образом, имеет ли задача решение и, если имеет,
приведем ее к канонической форме. Пусть матрица А0 канонической формы имеет
размерность m × n и ранг m. Построим все m × m-подматрицы матрицы А0, отбрасывая вырожденные,
оставшиеся подматрицы соответствуют базисам матрицы А0. Выберем из них
допустимые базисы, построим соответствующие БДР. Выберем БДР, которое
доставляет максимум целевой функции.
Но
такой алгоритм на практике не может быть реализован, так как число БДР
экспоненциально растет с ростом размерности задачи (числа переменных и/или
ограничений). Процедуру можно ускорить, если организовать ее так, чтобы в
процессе перебора БДР значение ЦФ не убывало (последовательное улучшение
плана). Эта исходная идея симплекс-метода, которая реализуется следующим
образом.
1.3 Симплекс-таблицы
Преобразования задачи ЛП в канонической форме, осуществляемые
симплекс-методом, удобно представлять как преобразования симплекс-таблиц. Общий
вид симплекс-таблицы, которая соответствует текущей итерации симплекс-метода,
представляет таблица 1.
В верхней строке записаны: заголовок первого столбца, идентификаторы всех
(основных, дополнительных, вспомогательных и др.) переменных задачи и заголовок
последнего столбца. Следующие m
строк описывают уравнения задачи в виде:
11
(11)
который
они имеют к началу итерации. Сначала указан идентификатор базисной переменной
(в текущем базисе) для соответствующего уравнения. Затем следуют коэффициенты
при переменных (в том порядке, в котором переменные записаны в первой строке).
Последний элемент строки - правая часть ограничения.
Нижняя
строка соответствует уравнению
12
, где 
и 
. (12)
представляющему
ЦФ. Переменная z играет в нем роль базисной (имеет коэффициент 1 и не
входит в другие уравнения); число F - это правая часть уравнения
(12), значение ЦФ на текущем базисном решении.
Таблица
1. Общий вид симплекс-таблицы
|
Базис
|
x1
|
…
|
xs
|
…
|
xj
|
…
|
xn
|
Решение
|
xj(1) 
(r)
(i)
(m)a11
…a1s…a1j…a1nb1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… ars
ais…arj
…arnbr
|
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
|
|
…
|
aij
|
|
ain
|
|
…
ams
…
amj
…
amn
Замечание. Таблица описывает систему уравнений (11), поэтому текущее БДР
можно получить, полагая базисные переменные равными соответствующим элементам
последнего столбца, а небазисные - равными нулю.
На рассматриваемой итерации происходит следующее.
Если в z-строке, в столбцах, соответствующих
переменным, нет отрицательных элементов, то текущее БДР оптимально и в первом
столбце таблицы записаны переменные оптимального базиса. В противном случае
столбец переменной xs, для которого gs < 0, становится направляющим.
Если все элементы направляющего столбца неположительны, то задача
неограниченна. В противном случае вычисляем отношение элементов последнего и
направляющего столбцов для всех строк, имеющих положительный элемент в
направляющем столбце. Строка r, для
которой это отношение минимально, становится направляющей. В первом столбце
следующей симплекс-таблицы переменная xs займет место переменной xj(r).
Теперь ars
- разрешающий элемент.
Элементы следующей симплекс-таблицы вычисляем по формулам:
13
при 
при i ¹ r (13)
14
(14)
15
(15)
16
(16)
Рассмотрим
j = j(k). Из (11) и (12) следует, что столбец j (базисный)
имеет единицу в строке k и нули в остальных строках: gj = 0, aij = 1 при i = k, иначе aij =
0. Пусть k ¹ r (столбец j сохраняется в новом базисе).
Тогда ari = 0 и из (13), (14), (16) следует, что 
для всех i и 
.
Учитывая это, сформулируем правила преобразования симплекс-таблицы при переходе
к новому базису:
· в заголовок направляющей строки ставим заголовок
направляющего столбца;
· все числа направляющей строки делим на разрешающий элемент;
· направляющий столбец становится единичным, с единицей в
направляющей строке;
· столбцы текущего базиса с номерами, отличными от j(r), не изменяются;
· все остальные числа таблицы (включая элементы нижней строки и
последнего столбца) пересчитываем по формулам (13) - (15), (16).
2. ПРИМЕНЕНИЕ
СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА (НА ПРИМЕРЕ НЭРЗ)
2.1 Общая характеристика предприятия
Новосибирский электровозоремонтный завод (далее по тексту завод) является
филиалом ОАО РЖД. Общая площадь завода составляет 24,7 га, из них 9,8 га (т.е.
около 40%) - производственные застройки (цеха, здания, сооружения),
производственные площади завода превышают 76,5 тыс. кв. м., на территории
проложено 6,98 км. железнодорожных путей.
Местонахождение завода характеризуется выгодным положением, т.к. он
располагается на разветвлении дороги по направлениям на Кузбасс, на Запад, на
Юг и на Московское направление, вблизи Транссибирской магистрали, располагается
в центре РФ и, соответственно, равноудален от заказчиков.
История Новосибирского электровозоремонтного завода начинается со
строительства паровозоремонтных мастерских (приказ заместителя наркома путей
сообщения №7 - 156/У3 - 1941г.), а выпуск продукции начали в 1942 - 1943 годах.
В 1964 году началось освоение ремонта электровозов и в октябре 1964 года
отремонтирован первый электровоз серии ВЛ-23 № 442, в ноябре 1965 года выпущен
из ремонта первый электровоз серии ВЛ-8 № 091. В 1965 году приказом МПС №
7-7450 завод переименован в Новосибирский электровозоремонтный завод.
В настоящее время завод специализируется на ремонте электровозов чешского
производства ЧС-2; ЧС-2Т; ЧС-4Т, ЧС-8, в том числе в соответствии с указанием
ОАО РЖД осуществляется освоение капитально-восстановительного ремонта (КРП)
электровозов ЧС-2 с продлением срока службы на 10-15 лет, восстановлением и
улучшением их эксплуатационных характеристик, усилением несущих базовых
элементов конструкции, заменой оборудования на новое, соответствующее
современному техническому уровню.
Имущество завода, находящееся на его балансе, закрепляется за ним на
праве хозяйственного ведения и состоит из основных фондов и оборотных средств,
а также иных ценностей, стоимость которых отражается в его самостоятельном
балансе.
Завод владеет, пользуется и распоряжается имуществом в пределах,
установленных законодательством Российской Федерации.
Источниками формирования имущества завода являются:
– имущество, закрепленное за заводом
ОАО РЖД;
– денежные и иные средства, полученные
от оказанных услуг, производства работ и реализации продукции;
– средства, выделенные в установленном
порядке из федерального и местного бюджетов, фондов ОАО РЖД;
– кредиты банков и другие средства
кредиторов;
– доходы от ценных бумаг;
– иные источники, не запрещенные
законодательством Российской Федерации.
Основными целями деятельности завода являются удовлетворение потребностей
железных дорог, отраслей народного хозяйства, предприятий и организаций в
ремонте электровозов, колесных пар и тяговых двигателей, механизмов, узлов и
запасных частей при высоком качестве и надежности, а также снижение себестоимости
работ и получение прибыли.
2.2 Моделирование экономической ситуации в инструментальном цехе
Описание данных модели
В связи со снижением объема производства инструмента и оснастки для
основных цехов в инструментальном цехе оказалось частично незадействованным
технологическое оборудование, образовались остатки материала. Отдел маркетинга
предоставил список продукции, которую можно было бы реализовать через магазины
Первомайского района. Из всего списка руководством цеха были выбраны изделия,
изготовление которых не требовало дополнительных затрат на переоснащение
производства и приобретение сырья. Это: котел отопительный, сейф для
охотничьего оружия, шкаф для спецодежды рабочих. В таблице 2 сведены данные по
свободным ресурсам цеха на март 2009 года, а также нормы расхода на каждый вид
продукции. В таблице 3 представлена прибыль от реализации каждого изделия.
Таблица
2. Нормы расхода материалов на изготовление продукции
|
Вид ресурса
|
Наименование изделий
|
Общее количество ресурса
|
|
Котел
|
Сейф
|
Шкаф
|
|
|
Сталь 20, кг
|
2,2
|
0,4
|
160
|
|
Сталь 3, кг
|
48
|
20
|
26
|
2200
|
|
Электроды, кг
|
1,2
|
0,9
|
0,2
|
34
|
|
Источник: данные взяты из
[3].
|
Таблица
3 Прибыль от реализации изделий, руб
|
Наименование изделий
|
|
Котел
|
Сейф
|
Шкаф
|
|
Цена
|
1
|
1090
|
930
|
560
|
|
Себестоимость
|
2
|
908
|
773
|
466
|
|
Прибыль
|
3
|
182
|
155
|
93
|
|
Источники: строка 1 взята
из [6], строка 2 взята из [2], строка 3 получена вычитанием строки 2 из
строки 1.
|
Требуется составить план производства, обеспечивающий максимальную
прибыль.
Построение математической модели
Моделью операции является следующая задача линейного программирования:
(а1)
при
(а2)
(а3)
(а4)
(а5)
Целевая
функция (а1) описывает суммарную прибыль цеха при плане х. х1, х2, х3, -
количество изготавливаемых котлов, сейфов и шкафов соответственно. Правые части
ограничений-неравенств (а2) - (а4) соответствуют объемам ресурсов, имеющихся в
распоряжении цеха, (а5) - естественное условие неотрицательности переменных.
2.3 Решение задачи
Приведем данную задачу к канонической форме:
(b1)
при
(b2)
(b3)
(b4)
, 
(b5)
Базисными
переменными для ограничений (b2) - (b4) служат s1, s2 и s3
соответственно (каждая из них входит в “свое” ограничение с коэффициентом 1 и
не входит в другие ограничения).
Составим
первую симплекс-таблицу (табл. 4) для задачи (b1) - (b5).
В верхней строке все переменные задачи (над ними в скобках для удобства при
вычислении z-строки указаны соответствующие коэффициенты ЦФ). В
первом столбце таблицы стоят базисные переменные (возле базисных переменных в
скобках - соответствующие коэффициенты ЦФ). Нижняя строка рассчитана по
формулам (12).
Из
таблицы 4 находим первое БДР задачи и соответствующее значение ЦФ:
(x1, x2, x3, s1, s2, s3) =
(0, 0, 0, 160, 2200, 34), z = 0.
Решение
не оптимально, так как элементы z-строки отрицательны. Выбираем столбец переменной х1 в
качестве направляющего (соответствующий элемент z-строки -
наибольший по модулю отрицательный элемент). Вычисляем отношения элементов
столбца “Решение” к соответствующим элементам направляющего столбца, результат
заносим в столбец “Отношение”. Минимум достигается в строке переменной s3,
она и становится направляющей, разрешающий элемент выделен серым цветом.
Вторую
симплекс-таблицу (табл. 5) строим по правилам, указанным на с. 8. Текущее БДР:
(x1, x2, x3, s1, s2, s3) =
(28,33; 0; 0; 97,67; 840,00; 0), z = 5156,67.
В
z-строке второй симплекс-таблицы два отрицательных
элемента - продолжим оптимизацию. Столбец переменной х3 и строка переменной s2
становятся направляющими.
В
z-строке третьей симплекс-таблицы (табл. 6) один
отрицательный элемент, следовательно, решение не оптимально. Текущее БДР:
(x1, x2, x3, s1, s2, s3) =
(20,56; 0; 46,67; 96,11; 0; 0), z = 8081,11.
Продолжим
оптимизацию. Столбец переменной х2 и строка переменной х1 становятся
направляющими. Строим четвертую симплекс-таблицу (табл. 7). В z-строке нет
отрицательных элементов, следовательно, мы нашли оптимальное базисное решение
задачи (b1) - (b5):
Оптимальный
базис b образован столбцами переменных s1, x3, x2 (удобно
записывать столбцы именно так, чтобы на месте j стоял столбец
базисной переменной для строки i).
Максимальная
возможная прибыль равна 9641 рублю. Ее можно получить, если в соответствии с
планом x* (предварительно округлив до целого) произвести 22 сейфа
и 67 шкафов. Вектор x* дает информацию и об использовании ресурсов при
оптимальном плане производства. Материалы - сталь 3 и сварочные электроды -
используются полностью (так как s2 = s3 = 0); сталь 20 (53,09 кг) - в избытке.
Для
решения данной задачи ЛП можно использовать программу, входящую в пакет
программ TORA, взятую на сайте экономического факультета НГУ.
После
запуска программы, входа в подпрограмму линейного программирования (Linear programming), в появившемся окне редактирования заполнены необходимые
строки: имя задачи (Problem Title) - Kursrab, число переменных (Nbr of Variables) - 3, число ограничений
(Nbr of constraints) - 3. Далее, в
таблицу вводится целевая функция (Obj. Function) и
формируются ограничения (Constraints). Исходные данные сохранены в файле под именем MLK.
В распечатанном виде данные показаны в таблице 8.
Таблица
8. Исходные данные
----------------------------------------------------------:
Kursrab
----------------------------------------------------------
max
182 155 93
---------------------------------------------------------
Constraint 1:
2.2 3.5 0.4 <= 160
Constraint 2:
48 20 26 <= 2200
Constraint 3:
1.2 0.9 0.2 <= 34
---------------------------------------------------------
Далее программа предлагает выбрать метод решения (меню Algorithms); для
данной задачи достаточен прямой симплекс-метод (Primal simplex), его и
выбираем. Теперь TORA запрашивает
способ поиска первого базисного решения (меню Starting Solution). Структура включенной в курсовую
работу задачи позволяет строить первый базис из „переменных недостатка” (Slack variables). Выбираем соответствующий пункт
меню.
В первой симплекс-таблице (табл. 9) в верхней строке окна указаны имя
задачи и номер итерации. В первом столбце таблицы (с заголовком Basic) записан текущий базис (имена
базисных переменных для соответствующих ограничений, sxi - переменная недостатка для ограничения i ). В заголовках следующих столбцов
видим имена всех переменных канонической формы задачи. В последнем столбце (Solution) - значение целевой функции на
текущем базисном решении (верхний элемент) и значения базисных переменных в
текущем базисном допустимом решении (небазисные переменные равны нулю).
Элементы второй строки таблицы (кроме последнего) - это коэффициенты целевой
функции, выраженной через небазисные переменные.
Таблица 9. Первая симплекс-таблица
-----------------------------------------------------------------------:
Kursrab Iteration No: 1
x1 x2
x3 sx4 sx5 sx6 Solution
-----------------------------------------------------------------------
-182.00 -155.00 -93.00 0.00 0.00 0.00 0.00
----------------------------------------------------------------------
1)sx4 2.20 3.50 0.40 1.00 0.00
0.00 160.00
2)sx5 48.00 20.00 26.00
0.00 1.00 0.00 2200.00
3)sx6 1.20 0.90 0.20
0.00 0.00 1.00 34.00
----------------------------------------------------------------------
После автоматического выполнения очередной итерации (Next iteration), сохраним текущую симплекс-таблицу
в новом файле и распечатаем ее (табл.10).
Таблица 10. Вторая симплекс-таблица
-----------------------------------------------------------------------
Title:
Kursrab Iteration No: 2
x1 x2
x3 sx4 sx5 sx6 Solution
-----------------------------------------------------------------------
0.00 -18.50 -62.67 0.00 0.00 151.67 5156.67
----------------------------------------------------------------------
1)sx4 0.00 1.85 0.03
1.00 0.00 -1.83 97.67
2)sx5 0.00 -16.00 18.00
0.00 1.00 -40.00 840.00
3)x1 1.00 0.75 0.17
0.00 0.00 0.83 28.33
----------------------------------------------------------------------
Далее следуют третья (табл.11) и четвертая (табл.12) симплекс-таблицы,
полученные машиной.
Таблица 11. Третья симплекс-таблица
-----------------------------------------------------------------------:
Kursrab Iteration No: 3
x1 x2 x3 sx4 sx5 sx6 Solution
-----------------------------------------------------------------------
0.00 -74.20 0.00 0.00 3.48 12.41 8081.11
----------------------------------------------------------------------
1)sx4
0.00 1.88 0.00 1.00 -0.00 -1.76 96.11
2)x3
0.00 -0.89 1.00 0.00 0.06 -2.22 46.67
3)x1
1.00 0.90 0.00 0.00 -0.01 1.20 20.56
-----------------------------------------------------------------------
Таблица 12. Последняя симплекс-таблица
-----------------------------------------------------------------------
Title:
Kursrab Final Iteration No: 4
x1 x2
x3 sx4 sx5 sx6 Solution
-----------------------------------------------------------------------
82.62 0.00 0.00 0.00 2.72 111.86 9779.38
----------------------------------------------------------------------
1)sx4 -2.09 0.00 0.00
1.00 0.02 -4.28 53.09
2)x3 0.99 0.00 1.00
0.00 0.05 -1.03 67.01
3)x2 1.11 1.00 0.00
0.00 -0.01 1.34 22.89
----------------------------------------------------------------------
После четвертой итерации появляется меню Optimum, свидетельствующее о получении оптимального решения.
Таблица 13 предоставляет итоговые данные. В верхней строке окна записаны имя
задачи и номер итерации. Непосредственно над таблицей - оптимальное значение
целевой функции (Obj value). Каждая строка таблицы соответствуют одной из
переменных исходной задачи и указывает: ее имя (Variable), оптимальное значение (Value), соответствующий коэффициент
целевой функции (Obj Coef),
„вклад” переменной - произведение оптимального значения на коэффициент целевой
функции (Obj Val Contrib).
Таблица
13. Оптимальное решение
-----------------------------------------------------------------:
Kursrab Final iteration No: 4
Objective value
(max) = 9779.3818
----------------------------------------------------------------
Value Obj Coeff Obj Val Contrib
-----------------------------------------------------------------
x1
0.0000 182.0000 0.0000
x2
22.8866 155.0000 3547.4229
x3
67.0103 93.0000 6231.9585
----------------------------------------------------------------
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работе я изучил теоретические основы линейного
программирования, построил математическую модель плана производства
дополнительной продукции. Симплекс-методом решена задача ЛП и получен
оптимальный план производства. Необходимо заметить, что результаты не зависят
от того, каким способом решена задача, “вручную” или с помощью компьютерной
программы.
Результаты, полученные в данной работе, были применены при планировании
производства в инструментальном цехе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ашманов
С. А.,. Линейное программирование: Учебное пособие для вузов по спец.
"Прикл. математика". - М.: Наука, 1981. - 304 с.
2. Калькуляция
себестоимости изготовления продукции в инструментальном цехе НЭРЗ. Инженер по
ОиНТ Василькова Ю. Ф.
. Нормы
расхода материалов на изготовление продукции в инструментальном цехе. Отдел главного
технолога НЭРЗ.
. Паспорт
предприятия, филиала ОАО РЖД “Новосибирский электровозоремонтный завод” за 2001
год.
. Раков
В. А. Локомотивы отечественных железных дорог 1956-1975 года. М., 1999. - 192
с.
. Справка
о ценах на изделия в магазинах Первомайского района. Отдел маркетинга НЭРЗ.
18.02.2009 г.
. Справочник
нормировщика машиностроителя в 4-х томах. Том II. Техническое нормирование
станочных работ. Под редакцией Е. И. Стружестраха. МАШГИЗ, Москва 1961 г, 892
с.
. Справочник
нормировщика машиностроителя в 4-х томах. Том III. Нормирование литейных, кузнечных, штамповочных, сварочных,
лакокрасочных работ, металлопокрытий и деревообработки. Под редакцией Р. И.
Хисина. МАШГИЗ, Москва 1962 г, 672 с.
. Хуторецкий
А. Б. Модели исследования операций: введение в предмет, нелинейное
программирование, выпуклое программирование, линейное программирование:
[учебник для вузов], Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006 .- 267 с.