Ряды распределения и динамики
СОДЕРЖАНИЕ
Задание 1
Задание 2
Задание 3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Контрольная работа 1. Вариант 0
Задание 1
На примере своей задачи охарактеризовать ряд распределения с помощью
следующих показателей:
) Средняя величина анализируемого признака;
) Размах вариации;
) Среднее линейное отклонение;
) Среднее квадратическое отклонение;
) Дисперсия;
) Коэффициент вариации;
) Мода, медиана, первый и третий квартиль;
) Коэффициент ассиметрии;
) Дать графическое изображение и выводы по результатам расчетов.
Обследование жилищных условий жителей поселка представлено следующим
распределением. Определить средний размер занимаемой площади на 1 человека и
остальные показатели задания.
Количество м2 на одного
человека
|
До 5
|
5-7
|
7-9
|
9-11
|
11-13
|
13-15
|
15-17
|
17-19
|
19-21
|
21-23
|
Свыше 23
|
Численность жителей,
человек
|
100
|
130
|
170
|
300
|
450
|
400
|
330
|
280
|
140
|
120
|
80
|
Решение
Среднюю величину анализируемого признака - средний размер занимаемой
площади на 1 человека - будем определять по формуле средней арифметической
взвешенной:
, (1)
где
хi - значение осредняемого признака;
fi - частота.
Составим
расчетную таблицу 1.
Таблица 1
Расчет среднего значения признака и показателей вариации
Количество м2 на одного
человека
|
Численность жителей,
человек Накоплен-ные частотыЦентральная варианта
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
(3) До 5
|
100
|
100
|
4
|
400
|
-9,7
|
9,7
|
970
|
94,09
|
9409
|
5 - 7
|
130
|
230
|
6
|
780
|
-7,7
|
7,7
|
1001
|
59,29
|
7707,7
|
7 - 9
|
170
|
400
|
8
|
1360
|
-5,7
|
5,7
|
969
|
32,49
|
5523,3
|
9 - 11
|
300
|
700
|
10
|
3000
|
-3,7
|
3,7
|
1110
|
13,69
|
11 - 13
|
450
|
1150
|
12
|
5400
|
-1,7
|
1,7
|
765
|
2,89
|
1300,5
|
13 - 15
|
400
|
1550
|
14
|
5600
|
0,3
|
0,3
|
120
|
0,09
|
36
|
15 - 17
|
330
|
1880
|
16
|
5280
|
2,3
|
2,3
|
759
|
5,29
|
1745,7
|
17 - 19
|
280
|
2160
|
18
|
5040
|
4,3
|
4,3
|
1204
|
18,49
|
5177,2
|
19 - 21
|
140
|
2300
|
20
|
2800
|
6,3
|
6,3
|
882
|
39,69
|
5556,6
|
21 - 23
|
120
|
2420
|
22
|
2640
|
8,3
|
8,3
|
996
|
68,89
|
8266,8
|
Свыше 23(25)
|
80
|
2500
|
24
|
1920
|
10,3
|
10,3
|
824
|
106,09
|
8487,2
|
-
|
----
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--
|
|
|
|
|
Центральные варианты определяются как среднее арифметическое из двух
значений интервала, например, (5+7)/2 = 6
Так как первый и последний интервал является открытыми, то величина
интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей (2),
а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей группы
(2). Таким образом, условно принимаем:
первая группа: 3 - 5
последняя группа: 23 - 25
Средний размер занимаемой площади на 1 человека составит:
м2
Размах
вариации представляет собой разность между наибольшим (хmax)
и наименьшим (xmin) значениями вариант, т.е.:
=
хmax - xmin (2)
Размах
вариации составит:
R = 25 - 3 = 22
м2
Среднее
линейное отклонение определяется из отношения суммы, взятой по абсолютной
величине (без учета знака) отклонения всех вариант от средней арифметической, к
объему всей совокупности.
По
сгруппированным данным оно определяется по формуле:
(3)
Среднее
линейное отклонение составит:
м2
Дисперсия
- это средняя из квадратов отклонений значений
признака от его средней арифметической величины. Дисперсия определяется по
формуле:
(4)
Дисперсия
составит:
Среднее
квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии.
По
сгруппированным данным среднее квадратическое отклонение определяется по
следующей формуле:
(5)
Среднее
квадратическое отклонение составит:
м2
Мерой
сравнения степеней колеблемости для двух, трех и более вариационных рядов
служит показатель, который носит название коэффициента вариации и определяется
по формуле:
(6)
Коэффициент
вариации показывает однородность выбранной совокупности: чем он меньше, тем
более однородна совокупность. Для однородной совокупности он не превышает 33%.
Структурными
средними являются мода, медиана, квартили.
Мода
() - варианта, встречающаяся в изучаемой совокупности
чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.
Вычисление
моды в интервальном ряду с равными интервалами производится по формуле:
(7)
где
- начало (нижняя граница) модального интервала;
i ─ величина интервала;
fМо - частота
модального интервала;
fМо-1- частота
интервала, предшествующего модальному;
fМо+1 - частота
интервала, следующего за модальным.
Модальный
интервал 11 - 13, так как ему соответствует максимальная частота, равная 450.
Воспользуемся
данными табл. 1 и рассчитаем моду:
м2
Медиана
() - варианта, находящаяся в середине ряда
распределения.
Расчет
медианы для интервального ряда производится по формуле:
, (8)
где
- начало (нижняя граница) медианного интервала;
i ─ величина интервала;
- сумма
накопленных частот ряда;
-
накопленная частота вариант, предшествующему медианному;
- частота
медианного интервала.
Воспользуемся
данными табл. 1 и рассчитаем медиану. В таблице 1 медиана лежит между 1250 и
1251 частотами, а они находятся в сумме накопленных частот, равной 1550,
поэтому интервал 13 - 15 является медианным. Определим медиану:
м2
Для характеристики социально-экономического явления, отраженного рядом
распределения, следует рассчитать первый и третий квартили (второй равен
медиане) по следующим формулам, аналогичным медиане:
(9)
и
(10)
Первый
квартиль составит:
м2
Третий
квартиль составит:
м2
Расчет квартилей позволяет отметить, что 25% жителей имеют до 10,5 м2
занимаемой площади на 1 человека, а 25% - свыше 17 м2 занимаемой площади на 1 человека. Остальные 50%
жителей имеют от 10,5 до 17 м2 занимаемой площади на 1 человека.
Сравнивая среднее значение признака с модой и медианой можно отметить,
что их значения довольно близки, но не равны между собой. Следовательно, ряд
распределения имеет некоторую ассиметрию, которая может быть определена по
формуле:
(11)
Коэффициент
ассиметрии составит:
, т.е.
коэффициент ассиметрии больше 0, а мода меньше среднего значения признака, это
говорит о небольшой правосторонней ассиметрии.
Интервальный
ряд распределения изобразим с помощью гистограммы.
Рис.
1. Гистограмма распределения жителей по количеству м2 на одного человека
Вывод:
среднее количество м2 на одного человека составило 13,7 м2. В данной
совокупности жителей наиболее часто встречается количество м2 на одного
человека, равное 12,5 м2. 50% жителей имеют количество м2 на одного человека
менее 13,5 м2, а 50% жителей - более 13,5 м2.
Рассчитанный
коэффициент вариации больше 33%, следовательно, данная совокупность является
неоднородной.
Задание 2
. По данным таблицы 2.1 вычислите:
.1. Основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и
базисной схемам):
- средний уровень ряда динамики;
- абсолютный прирост;
- темп роста;
- темп прироста;
- абсолютное значение 1% прироста;
- средний абсолютный прирост;
- среднегодовой темп роста;
- среднегодовой темп прироста.
Таблица 2.1
Основные показатели
Показатели
|
№ варианта
|
Годы
|
|
|
2005
|
2006
|
2007
|
2008
|
2009
|
2010
|
Величина прожиточного
минимума, в среднем на душу населения, тыс. руб. в месяц
|
0
|
3018
|
3422
|
3847
|
4593
|
5153
|
5688
|
По данным таблицы 2.2 вычислите индекс сезонности и изобразите графически
сезонную волну.
Таблица 2.2
Товарооборот магазина, тыс. руб.
Месяц
|
№ варианта 0
|
Январь
|
310
|
Февраль
|
280
|
Март
|
180
|
Апрель
|
98
|
Май
|
74
|
Июнь
|
45
|
Июль
|
26
|
Август
|
9
|
Сентябрь
|
44
|
Октябрь
|
256
|
Ноябрь
|
325
|
Декабрь
|
458
|
Решение
, (12)
где
n - число членов ряда динамики.
Средний уровень ряда динамики составит:
тыс.
руб.
В
зависимости от базы сравнения различают базисные и цепные показатели динамики.
Базисные показатели динамики - это результат сравнения текущих уровней с одним
фиксированным уровнем, принятым за базу, они характеризуют окончательный
результат всех изменений в уровнях ряда за период от базисного до текущего
уровня. Обычно за базу сравнения принимают начальный уровень динамического
ряда.
Цепные
показатели динамики - это результат сравнения текущих уровней с
предшествующими, они характеризуют интенсивность изменения от срока к сроку.
Абсолютный
прирост (Δi)
определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда. При
сравнении с постоянной базой он равен:
Δi б =Yi - Y0,
(13)
где
Δi б −
абсолютный прирост базисный;
Yi − уровень сравниваемого периода;
Y0 −
уровень базисного периода.
При
сравнении с переменной базой абсолютный прирост равен:
Δiц =Yi - Yi-1,
(14)
где
Δiц −
абсолютный прирост цепной;
Yi-1−
уровень непосредственно предшествующего периода.
Определим
базисные абсолютные приросты:
Δ б (2006) = 3422 - 3018 = 404 тыс. руб.
Δ б (2007) = 3847 - 3018 = 829 тыс. руб.
Δ б (2008) = 4593 - 3018 = 1575 тыс. руб.
Δ б (2009) = 5153 - 3018 = 2135 тыс. руб.
Δ б (2010) = 5688 - 3018 = 2670 тыс. руб.
Определим
цепные абсолютные приросты:
Δ ц (2006) = 3422 - 3018 = 404 тыс. руб.
Δ ц (2007) = 3847 - 3422 = 425 тыс. руб.
Δ ц (2008) = 4593 - 3847 = 746 тыс. руб.
Δ ц (2009) = 5153 - 4593 = 560 тыс. руб.
Δ ц (2010) = 5688 - 5153 = 535 тыс. руб.
Темп
роста (Тр) определяется как отношение двух сравниваемых уровней.
При
сравнении с постоянной базой:
(15)
При
сравнении с переменной базой:
(16)
Определим
базисные темпы роста:
Тр
б (2006) = 3422 / 3018*100 = 113,4%
Тр
б (2007) = 3847 / 3018*100 = 127,5%
Тр
б (2008) = 4593 / 3018*100 = 152,2%
Тр
б (2009) = 5153 / 3018*100 = 170,7%
Тр
б (2010) = 5688 / 3018*100 = 188,5%
Определим
цепные темпы роста:
Тр
ц (2006) = 3422 / 3018*100 = 113,4%
Тр
ц (2007) = 3847 / 3422*100 = 112,4%
Тр
ц (2008) = 4593 / 3847*100 = 119,4%
Тр
ц (2009) = 5153 / 4593*100 = 112,2%
Тр
ц (2010) = 5688 / 5153*100 = 110,4%
Темп
прироста определятся по формуле:
(17)
Определим
базисные темпы прироста:
Тпр
б (2006) = 113,4 - 100 = 13,4%
Тпр
б (2007) = 127,5 - 100 = 27,5%
Тпр
б (2008) = 152,2 - 100 = 52,2%
Тпр
б (2009) = 170,7 - 100 = 70,7%
Тпр
б (2010) = 188,5 - 100 = 88,5%
Определим
цепные темпы прироста:
Тпр
ц (2006) = 113,4 - 100 = 13,4%
Тпр
ц (2007) = 112,4 - 100 = 12,4%
Тпр
ц (2008) = 119,4 - 100 = 19,4%
Тпр
ц (2009) = 112,2 - 100 = 12,2%
Тпр
ц (2010) = 110,4 - 100 = 10,4%
Абсолютное
значение одного процента прироста определяется по формуле:
(18)
Определим
абсолютные значения одного процента прироста:
А2006
= 0,01*3018 = 30,18 тыс. руб.
А2007
= 0,01*3422 = 34,22 тыс. руб.
А2008
= 0,01*3847 = 38,47 тыс. руб.
А2009
= 0,01*4593 = 45,93 тыс. руб.
А2010
= 0,01*5153 = 51,53 тыс. руб.
Средний
абсолютный прирост рассчитывается по формуле:
(19)
Средний
абсолютный прирост составит:
тыс.
руб.
Средний
темп роста определяется по формуле:
(20)
Средний
темп роста составит:
Средний
темп прироста определяется по формуле:
(21)
Средний
темп прироста составит:
Результаты
расчетов сведем в таблицу 2.
Таблица
2
Основные
аналитические показатели ряда динамики
Показатели
|
Схема расчета
|
Годы
|
|
|
2005
|
2006
|
2007
|
2008
|
2009
|
2010
|
Уровень ряда -301834223847459351535688
|
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютный
прирост базисная
цепнаяХ
Х404
535
|
|
|
|
|
|
|
|
Темп роста Тр, %
|
базисная цепная
|
100 100
|
113,4 113,4
|
127,5 112,4
|
170,7 112,2
|
188,5 110,4
|
Темп прироста Тпр, %
|
базисная цепная
|
Х Х
|
13,4 13,4
|
27,5 12,4
|
52,2 19,4
|
70,7 12,2
|
88,5 10,4
|
Абсолютное значение 1%
прироста
|
цепная
|
Х
|
30,18
|
34,22
|
38,47
|
45,93
|
51,53
|
Вывод: За рассматриваемый шестилетний период величина прожиточного
минимума, в среднем на душу населения имела тенденцию увеличения. В среднем в
год она увеличивалась на 534 тыс. руб., или на 11,1%. Среднегодовая величина
прожиточного минимума на душу населения составила 4286,8 тыс. рублей.
Уровень сезонности оценивается с помощью индексов сезонности. Индекс
сезонности показывает, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или
интервал времени больше среднего уровня. Он определяется по формуле:
, (22)
где
- индекс сезонности;
- текущий уровень
ряда динамики;
- средний уровень
ряда.
Средний
уровень ряда определим по формуле (12):
тыс.
руб.
Рассчитаем
индексы сезонности, результаты представим в табл. 3.
Таблица
3
Расчет
индексов сезонности
Месяц
|
Товарооборот, тыс. руб.
|
Индекс сезонности, %
|
Январь
|
310
|
176,7
|
Февраль
|
280
|
159,6
|
Март
|
180
|
102,6
|
Апрель
|
98
|
55,9
|
Май
|
74
|
42,2
|
Июнь
|
45
|
25,7
|
Июль
|
26
|
14,8
|
Август
|
9
|
5,1
|
Сентябрь
|
44
|
25,1
|
Октябрь
|
256
|
146,0
|
Ноябрь
|
325
|
185,3
|
Декабрь
|
458
|
261,1
|
Графически индекс сезонности может быть представлен в виде полигона.
Рис. 2. Сезонная волна товарооборота магазина
Вывод: Товарооборот магазина имеет сезонность. Пик товарооборота
приходится на зимние месяцы - ноябрь, декабрь, январь соответственно 185,3%;
261,1% и 176,7%, спад товарооборота приходится на летний период - июль и август
соответственно 14,8% и 5,1%.
Задание 3
В отчетном периоде объем выпуска продукции увеличился в 1,4 раза, а
численность работников выросла на 10%. Определить изменение производительности
труда на предприятии.
Решение
Показатель производительности труда определяется по следующей формуле:
, (23)
где
П - производительность труда;
В
- объем выпуска продукции;
Т
- численность работников.
По
условию задачи объем выпуска продукции увеличился в 1,4 раза, то есть индекс
объема выпуска продукции составил:
По
условию задачи численность работников выросла на 10%, то есть индекс
численности работников составил:
((100+10)/100)
Необходимо
определить изменение производительности труда на предприятии, то есть найти
индекс производительности труда.
Между
индексами объема выпуска продукции, производительности труда и численности
работников существует взаимосвязь:
(24)
Индекс
производительности труда составит:
, или
127,3%
Вывод:
в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом производительность труда на
предприятии выросла на 27,3%.
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
вариация отклонение коэффициент показатель
1. Васильева
Э.К., Лялин В.С. Статистика: учебник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 398 с.
. Годин А.М
Статистика: учебник. - М.: Дашков и Кº, 2012. - 451 с.
. Курс
социально-экономической статистики: учебник / Под ред. М.Г. Назарова. - М.:
Омега-Л, 2010. - 1016 с.
.
Социально-экономическая статистика: учебник / Под ред. М.Р. Ефимовой. - М.:
Юрайт, 2012. - 592 с.
.
Экономическая статистика: Учебник/ под ред. Ю.Н. Иванова, - М: Инфра-М, 2011. -
376 с.