Розробка моделей лінійного програмування

X 2 = ( 0 , 5/3 , 2/3 , 0 ) = 10/3 -19/3 x₁ -2/3 x_4i  0=10/3

Відповідь:опт = ( 0 , 5/3 , 2/3 , 0 )

Значення функції : Z = 10/3

4. Задача.

Визначити оптимальну виробничу стратегію з застосуванням виробничої функції

Виробнича функція підприємства має вигляд:

.

). Записати рівняння ізокванти, що проходить через точку з координатами .

2). Записати рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами

а) ;

б) .

). Знайти граничну норму заміщення праці фондами у точці .

1.      Основні кібернетичні закони і принципи, що використовуються в управлінні економічними системами.

Рішення:

1). Обчислимо обсяг випуску, що відповідає витратам ресурсів .

Запишемо рівняння ізокванти

або

тобто це є степенева гіпербола, асимптотами якої є осі координат.

). Рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами K0, L0, має вигляд:

а) запишемо рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами .

або, враховуючи область визначення виробничої функції, остаточно рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами  матиме вигляд

.

Це рівняння прямої, що проходить через початок координат і ортогональної ізокванті

б) Запишемо рівняння ізокліналі, що проходить через точку з координатами

;

5. Задача.

Обґрунтувати етапи розробки моделі функціонування фірм на конкурентних ринках.

Прибутки двох фірм, що конкурують на ринку одного товару, відповідно дорівнюють: ; ціна товару:  де X₁, X₂ - обсяги випуску продукції фірм.

Визначити оптимальний обсяг випуску продукції кожної фірми. Якою буде стратегія першої фірми відносно стратегії другої фірми: ?

Показати, яким буде спільний випуск за умови об’єднання цих фірм (утворення монополії). Визначити, який із варіантів буде привабливішим для споживача продукції та чому?

1.      Ентропія системи. Властивості ентропії.

Розв`язання:

Обчислимо випуск продукції першої фірми, що максимізує її прибуток:

Звідси стратегія першої фірми

а оптимальний обсяг випуску продукції знайдемо, розв’язавши рівняння

Отже, оптимальний обсяг випуску першої фірми, відповідно другої фірми .

За таких стратегій перша фірма отримує прибуток  , а друга , ціна , а загальний випуск.

У разі утворення монополії спільний прибуток фірм можна подати у вигляді функції від спільного випуску:

Знайдемо спільний випуск фірм, що максимізує спільний прибуток

Звідси оптимальний випуск  , ціна  , прибуток складатиме .

Перший варіант кращий для споживачів, оскільки ціна менша продукції, а випуск більший. Другий варіант кращий для фірм, оскільки вони мають більший прибуток.

6. Задача.

Визначити міжгалузевий баланс на наступний плановий період

Для умовної двогалузевої економіки відомі міжгалузеві потоки продукції та обсяги кінцевої продукції галузей за звітний період:

У плановому періоді необхідно отримати кінцеву продукцію першої галузі в обсязі , валову продукцію другої галузі в обсязі . Побудувати МГБ на плановий період (обчислити міжгалузеві потоки продукції планового МГБ, обсяг валової продукції першої галузі, обсяг кінцевої продукції другої галузі, обсяги умовно чистої продукції галузей).

Розв`язання:

1. Обчислимо обсяг валової продукції кожної галузі як суму матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, і кінцевої продукції даної галузі

Хі

Отже, обсяги валової продукції галузей:

1.      Обчислимо коефіцієнти прямих матеріальних витрат за формулою

Отримаємо матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат

.        Складемо систему рівнянь, яка у матричному записі має вигляд:

Підставивши дані прикладу, отримаємо систему рівнянь відносно невідомих змінних

7. Задача.

Оцінити величину ризику допустимого, критичного та катастрофічного збитків засобами статистичного моделювання.

Розглядаються два проекти А і В щодо інвестування. Відомі оцінки прогнозованих значень доходу від кожного з цих проектів та відповідні значення ймовірностей. Цифрові дані наведено в табл. 7.1

Таблиця 7.1

Потрібно оцінити міру ризику кожного з цих проектів і обрати один з них (той, що забезпечує меншу величину ризику) для інвестування.

Розв`язання:

Нехай ХA = {100; 200}, XB={51; 151} відповідно

випадкові величини, що відображають можливі прибутки від реалізації проектів.

Знайдемо величини сподіваних прибутків:

М(ХА) = 0,5 × 100 + 0,5 × 200 = 150 (тис. грн);

М(ХВ) = 0,01 × 51 + 0,99 × 151 = 150 (тис. грн),

тобто обидва проекти мають однаковий прогнозований сподіваний прибуток.

У якості міри ризику використаємо оцінку мінливості (варіацію) можливих результатів інвестування:

Оскільки , то проект В є менш ризикованим порівняно з проектом А, і йому слід віддати перевагу.

Аналогічний результат ми отримаємо, якщо за міру ризику візьмемо середньоквадратичне відхилення:

тобто проект В є менш ризикованим.