Распределение инвестиций между предприятиями: 'Золотая скрепка', 'Буренка', «DeJaVu', 'Konditer'
Курсовая работа
Распределение инвестиций
между предприятиями: «Золотая скрепка», «Буренка», «DeJaVu», «Konditer
Введение
линейный динамический программирование планирование
Расширенное применение математических методов в последнее
десятилетие обусловлено в первую очередь с распространением персональных
компьютеров и их широким применением в экономической практике. Применение
математических методов в единстве с экономическим анализом открывает новые
возможности для экономической науки и практики.
Исследование операций в экономике - это научная дисциплина,
целью которой является количественное обоснование принимаемых решений.
При решении курсовой работы будем применять линейное
программирование и динамическое программирование. С помощью линейного
программирования найдем прибыль каждого предприятия при разных объемах
инвестирования и план производства.
К математическим задачам линейного программирования относят
исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том
или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании
ограниченных ресурсов.
Инвестиции - это долгосрочные вложения капитала с целью
получения прибыли.
Общей задачей линейного программирования называется задача
нахождения max (min) значения целевой функции.
А с помощью динамического программирования произведем
распределение финансовых средств между предприятиями для получения максимальной
прибыли. Для этого воспользуемся обратной схемой Беллмана.
1.
Постановка задачи
Целью данной курсовой работы является определение
оптимального плана распределения финансовых средств между предприятиями. Для
каждого предприятия инвестирование будет выполняться в восемь шагов по 1
миллиону рублей.
Задача курсовой работы состоит в определении оптимального
плана распределения финансовых средств между следующими предприятиями:
1. Предприятие по производству
картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»;
2. Предприятие по производству кисломолочных изделий ОАО
«Бурёнка»;
. Предприятие по производству шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu»;
. Предприятие по производству кондитерских изделий ООО
«Konditer».
Для решения курсовой работы будем применять линейное
программирование и динамическое программирование. Линейное программирование
применяется при производственном планировании. Динамическое же программирование
применяется при распределении финансовых средств.
При решении данной курсовой работы используем Excel и MathCad.
1.1 Предприятие по производству
картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»
Предприятие ООО «Золотая скрепка» производит следующие 4 вида
продукции:
· Блокнот;
· Стикеры;
· Тетрадь;
· Альбом;
Для изготовления каждой продукции используются следующие виды
сырья:
· Бумага;
· Клей;
· Металлические скобы;
· Краска;
· Наклейка;
Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого
вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья
представлены в следующей таблице:
Таблица №1. Нормы расхода сырья для ООО «Золотая скрепка»
|
№
|
Вид сырья
|
Затраты на
выпускаемую продукцию
|
Запас сырья
|
Цена сырья,
руб.
|
|
|
Блокнот
|
Стикеры
|
Тетрадь
|
Альбом
|
|
|
|
1
|
Бумага (м2)
|
1
|
1,5
|
2,4
|
2,8
|
70000
|
1,5
|
|
2
|
Клей (л.)
|
0,005
|
0,04
|
0,002
|
0,004
|
200
|
32
|
|
3
|
Металлические
скобы (шт.)
|
1
|
0
|
2
|
2
|
1000
|
0,01
|
|
4
|
Краска (л.)
|
0,008
|
0,035
|
0,002
|
0,001
|
200
|
35
|
|
5
|
Наклейка (шт.)
|
2
|
0
|
1
|
1
|
400
|
2
|
|
Себестоимость
|
5,95
|
4,76
|
5,75
|
6,38
|
|
|
|
Прибыль
|
1,19
|
0,95
|
1,15
|
1,28
|
|
|
Ограничения на объем производимой продукции представлены в
следующей таблице:
Таблица №2. Минимальный и максимальный объем выпуска
продукции для ООО «Золотая скрепка»
|
Виды продукции
|
Минимальный
объем выпуска продукции, d
|
Максимальный
объем выпуска продукции, D
|
|
Блокнот
|
20000
|
200000
|
|
Стикеры
|
900
|
4000000
|
|
Тетрадь
|
1000
|
50000
|
|
Альбом
|
1000
|
800000
|
1.2 Предприятие по производству кисломолочных
изделий ОАО «Бурёнка»
Предприятие производит следующие 4 вида продукции:
· Молоко;
· Йогурт;
· Сырки глазированные;
· Творожная масса;
Для изготовления каждой продукции используются следующие виды
сырья:
· Молоко обезжиренное;
· Молоко сухое;
· Творог;
· Сахар-песок;
· Фруктовое желе;
Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого
вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья
представлены в следующей таблице:
Таблица №3. Нормы расхода сырья для ОАО «Бурёнка»
|
№
|
Вид сырья
|
Затраты на
выпускаемую продукцию
|
Запас сырья
|
Цена сырья,
руб.
|
|
|
Молоко
|
Йогурт
|
Сырки
глазированные
|
Творожная масса
|
|
|
|
1
|
Молоко
обезжиренное (л.)
|
0,25
|
0,01
|
0,003
|
0,007
|
15
|
30
|
|
2
|
Молоко сухое
(кг.)
|
0,009
|
0,005
|
0,005
|
0,01
|
10
|
20
|
|
3
|
Творог (кг.)
|
0
|
0,03
|
0,02
|
0,45
|
50
|
30
|
|
4
|
Сахар-песок
(кг.)
|
0,005
|
0,015
|
0,01
|
0,02
|
25
|
40
|
|
5
|
Фруктовое желе
(л.)
|
0
|
0,015
|
0,015
|
0,02
|
31
|
90
|
|
Себестоимость
|
7,88
|
3,25
|
2,54
|
16,51
|
|
|
|
Прибыль
|
1,65
|
0,68
|
0,53
|
3,47
|
|
|
Ограничения на объем производимой продукции представлены в
следующей таблице:
Таблица №4. Минимальный и максимальный объем выпуска
продукции для ОАО «Бурёнка»
|
Виды продукции
|
Минимальный
объем выпуска продукции, d
|
Максимальный
объем выпуска продукции, D
|
|
Молоко
|
50
|
199000
|
|
Йогурт
|
150
|
195000
|
|
Сырки
глазированные
|
200
|
1200000
|
|
Творожная масса
|
100
|
190000
|
1.3 Предприятие по производству по производству
шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu»
. Предприятие специализируется на производстве следующих 4
видов продукции:
· Конфеты;
· Шоколад;
· Масло шоколадное;
· Горячий шоколад;
Для изготовления каждой продукции используются следующие виды
сырья:
· Какао;
· Молоко сухое;
· Сахар;
· Масло;
· Ароматизатор;
Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого
вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья
представлены в следующей таблице:
Таблица №5. Нормы расхода сырья для ЗАО «DeJaVu»
|
№
|
Вид сырья
|
Затраты на
выпускаемую продукцию
|
Запас сырья
|
Цена сырья,
руб.
|
|
|
Конфеты
|
Шоколад
|
Масло
шоколадное
|
Горячий шоколад
|
|
|
|
1
|
Какао (кг.)
|
0,005
|
0,03
|
0,15
|
0,02
|
50
|
200,00
|
|
2
|
Молоко сухое
(кг.)
|
0,001
|
0,02
|
0,02
|
0,005
|
25
|
35,00
|
|
3
|
Сахар (кг.)
|
0,03
|
0,06
|
0,05
|
0,06
|
50
|
39,00
|
|
4
|
Масло (л.)
|
0,003
|
0,04
|
0,3
|
0,005
|
25
|
27,00
|
|
5
|
Ароматизатор
(кг.)
|
0,002
|
0,02
|
0,05
|
0,1
|
31
|
10,00
|
|
Себестоимость
|
2,31
|
10,32
|
41,25
|
7,65
|
|
|
|
Прибыль
|
0,51
|
2,27
|
9,08
|
1,68
|
|
|
Ограничения на объем производимой продукции представлены в
следующей таблице:
Таблица №6. Минимальный и максимальный объем выпуска
продукции для ЗАО «DeJaVu»
|
Виды продукции
|
Минимальный
объем выпуска продукции, d
|
Максимальный
объем выпуска продукции, D
|
|
Конфеты
|
150
|
90000
|
|
Шоколад
|
220
|
60000
|
|
Масло
шоколадное
|
200
|
55000
|
|
Горячий шоколад
|
400
|
700000
|
1.4 Предприятие по производству кондитерских
изделий ООО «Konditer»
Предприятие производит следующие 4 вида продукции:
· Кекс кондитерский;
· Рулет кондитерский;
· Печенье упаковочное;
· Мини-рулетики упаковочные;
Для изготовления каждой продукции используются следующие виды
сырья:
· Какао;
· Шоколад;
· Сахар;
· Молоко сухое;
· Джем фруктовый;
Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого
вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья
представлены в следующей таблице:
Таблица №7. Нормы расхода сырья для ООО «Konditer»
|
№
|
Вид сырья
|
Затраты на
выпускаемую продукцию
|
Запас сырья
|
Цена сырья,
руб.
|
|
|
Кекс
кондитерский
|
Рулет
кондитерский
|
Печенье
упаковочное
|
Мини-рулетики
упаковочные
|
|
|
|
1
|
Какао (кг.)
|
0,05
|
0,07
|
0,02
|
0,03
|
12
|
80,00 р.
|
|
2
|
Шоколад (кг.)
|
0,02
|
0,05
|
0,01
|
0,1
|
10
|
110,00 р.
|
|
3
|
Сахар (кг.)
|
0,03
|
0,06
|
0,01
|
0,02
|
11
|
38,00 р.
|
|
4
|
Молоко сухое
(кг.)
|
0,005
|
0,002
|
0,01
|
0,002
|
5
|
25,00 р.
|
|
5
|
Джем фруктовый
(л.)
|
0,01
|
0,015
|
0,003
|
0,02
|
9
|
|
Себестоимость
|
8,32 р.
|
14,71 р.
|
3,59 р.
|
15,91 р.
|
|
|
|
Прибыль
|
1,83 р.
|
3,24 р.
|
0,79 р.
|
3,50 р.
|
|
|
Ограничения на объем производимой продукции представлены в
следующей таблице:
Таблица №8. Минимальный и максимальный объем выпуска продукции
для ООО «Konditer»
|
Виды продукции
|
Минимальный
объем выпуска продукции, d
|
Максимальный
объем выпуска продукции, D
|
|
Кекс
кондитерский
|
50
|
170000
|
|
Рулет
кондитерский
|
150
|
90000
|
|
Печенье
упаковочное
|
200
|
1200000
|
|
Мини-рулетики
упаковочные
|
100
|
150000
|
2.
Математическая модель оптимального планирования производства
Линейное программирование - один из первых и наиболее
подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное
программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама
дисциплина «математическое программирование». Линейное программирование
применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и
планирование производства; в задачах определения оптимального размещения
оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального
плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального
распределения кадров и т.д.
Задача линейного программирования, как уже ясно из сказанного
выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при
линейных ограничениях,
- целевая функция
при условиях:
где 
- ограничения на ресурсы;
- ограничения на объем инвестиций;
- обязательства предприятия по поставкам;
- условие неотрицательности переменных.
В зависимости от объёма выделяемых финансовых средств 
получим значения прибыли Z.
Условные обозначения:
- прибыль от реализации единицы продукции каждого
вида;
- объем закупаемых ресурсов;
- складские запасы ресурсов;
- план производства продукции каждого вида;
- цены на ресурсы;
- нормы затрат ресурсов для производства единицы
продукции каждого вида;
- минимальный объем выпуска продукции;
- максимальный объем выпуска продукции;
- объём собственных финансов предприятия;
- объём инвестиций, выделяемых предприятием-инвестором;
- количество видов продукции;
- количество видов сырья;
- номер предприятия;
3. Решение задачи планирования производства
методом линейного программирования
Линейное программирование - математическая дисциплина,
посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах
n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и
неравенств. Изучающее методы решения экстремальных задач, которые
характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием
оптимальности.
Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он
требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно,
не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно
интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы
действий.
К математическим задачам линейного программирования относят
исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том
или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании
ограниченных ресурсов.
Круг задач, решаемых при помощи методов линейного
программирования достаточно широк. Это, например:
· задача об оптимальном использовании
ресурсов при производственном планировании;
· задача о смесях (планирование состава
продукции);
· задача о нахождении оптимальной комбинации
различных видов продукции для хранения на складах (управление
товарно-материальными запасами);
· транспортные задачи (анализ размещения
предприятия, перемещение грузов).
Линейное программирование - наиболее разработанный и широко
применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят:
целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это
объясняется следующим:
· математические модели большого числа
экономических задач линейны относительно искомых переменных;
· данный тип задач в настоящее время
наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти
задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;
· многие задачи линейного программирования,
будучи решенными, нашли широкое применение;
· некоторые задачи, которые в первоначальной
формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и
допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их
можно решать методами линейного программирования.
Экономико-математическая модель любой задачи линейного
программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой
(максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных
уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.
4. Расчеты в MathCad
.1 Предприятие по производству
картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»
На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с
количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:
Таблица №9. Количество производимой продукции для ООО «Золотая
скрепка»
|
Количество производимой продукции
|
|
Q млн р.
|
Блокнот
|
Стикеры
|
Тетрадь
|
Альбом
|
|
0
|
20000
|
900
|
1000
|
28227
|
|
1
|
20000
|
900
|
1000
|
184893
|
|
2
|
20000
|
900
|
1000
|
341559
|
|
3
|
20000
|
900
|
1000
|
498225
|
|
4
|
20000
|
900
|
1000
|
654892
|
|
5
|
32399
|
900
|
1000
|
800000
|
|
6
|
200000
|
900
|
1482
|
800000
|
|
7
|
200000
|
152494
|
50000
|
800000
|
|
8
|
200000
|
362799
|
50000
|
800000
|
Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых
ресурсах:
Таблица №10. Количество закупаемым ресурсов для ООО «Золотая
скрепка»
|
Закупаемые ресурсы
|
|
Q млн р.
|
Бумага
|
Клей
|
Скобы
|
Краска
|
Наклейка
|
|
0
|
32787,161
|
50,910
|
77455,115
|
21,728
|
68827,558
|
|
1
|
471452,366
|
677,575
|
390787,404
|
178,394
|
225493,702
|
|
2
|
910117,570
|
1304,239
|
704119,693
|
335,060
|
382159,846
|
|
3
|
1348782,775
|
1930,904
|
1017451,982
|
491,726
|
538825,991
|
|
4
|
1787447,979
|
2557,569
|
1330784,271
|
648,392
|
695492,135
|
|
5
|
2206149,412
|
3199,997
|
1633399,412
|
892,695
|
865398,824
|
|
6
|
2374908,082
|
4038,965
|
1801965,068
|
2234,465
|
1201082,534
|
|
7
|
2718741,325
|
10199,769
|
1899000,000
|
7637,298
|
1249600,000
|
|
8
|
3034198,738
|
18611,966
|
1899000
|
14997,971
|
1249600
|
Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать
таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:
Таблица №11. Прибыль ООО «Золотая скрепка»
|
Прибыль
|
|
Q млн р.
|
ООО «Золотая
скрепка»
|
|
0
|
61 936,27 р.
|
|
1
|
262 468,94 р.
|
|
2
|
463 001,60 р.
|
|
3
|
663 534,27 р.
|
|
4
|
864 066,93 р.
|
|
5
|
1 064 560,30 р.
|
|
6
|
1 264 559,91 р.
|
|
7
|
1 464 369,51 р.
|
|
8
|
1 664 159,20 р.
|
4.2 Предприятие по производству кисломолочных
изделий ОАО «Бурёнка»
На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с
количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:
Таблица №12. Количество производимой продукции для ОАО «Бурёнка»
|
Количество производимой продукции
|
|
Q млн р.
|
Молоко
|
Йогурт
|
Сырки
глазированные
|
Творожная масса
|
|
0
|
50
|
150
|
200
|
1487
|
|
1
|
50
|
150
|
200
|
62056
|
|
2
|
50
|
150
|
200
|
122625
|
|
3
|
50
|
150
|
200
|
183195
|
|
4
|
112696
|
150
|
200
|
190000
|
|
5
|
199000
|
98588
|
200
|
190000
|
|
6
|
199000
|
195000
|
270539
|
190000
|
|
7
|
199000
|
195000
|
664240
|
190000
|
|
8
|
199000
|
195000
|
1057940
|
190000
|
Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых
ресурсах:
Таблица №13. Количество закупаемым ресурсов для ОАО «Бурёнка»
|
Закупаемые ресурсы
|
|
Q млн р.
|
Молоко
обезжиренное
|
Молоко сухое
|
Творог
|
Сахар-песок
|
Фруктовое желе
|
|
0
|
10,009
|
7,07
|
627,654
|
9,24
|
3,99
|
|
1
|
433,995
|
612,764
|
27883,862
|
1220,627
|
1215,377
|
|
2
|
857,98
|
1218,457
|
55140,07
|
2432,014
|
2426,764
|
|
3
|
19195,043
|
1281,151
|
82396,279
|
3643,401
|
3638,151
|
|
4
|
29491,101
|
2906,014
|
85458,5
|
4342,73
|
3774,25
|
|
5
|
52051,483
|
4174,942
|
88411,942
|
6250,825
|
5250,825
|
|
6
|
53826,618
|
6008,697
|
96710,787
|
10400,394
|
10752,091
|
|
7
|
55007,72
|
7977,201
|
104584,803
|
14337,402
|
16657,602
|
|
8
|
56188,823
|
9945,705
|
112458,819
|
18274,409
|
22563,114
|
Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать
таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:
Таблица №14. Прибыль ОАО «Бурёнка»
|
Прибыль
|
|
Q млн р.
|
ОАО «Бурёнка»
|
|
0
|
3 721,45 р.
|
|
1
|
157 927,06 р.
|
|
2
|
308 762,00 р.
|
|
3
|
378 861,26 р.
|
|
4
|
448 821,14 р.
|
|
5
|
500 063,37 р.
|
|
6
|
549 178,95 р.
|
|
7
|
594 816,54 р.
|
|
8
|
640 454,12 р.
|
4.3 Предприятие по производству шоколадных
изделий ЗАО «DeJaVu»
На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с
количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:
Таблица №15. Количество производимой продукции для ЗАО «DeJaVu»
|
Количество производимой продукции
|
|
Q млн р.
|
Конфеты
|
Шоколад
|
Масло
шоколадное
|
Горячий шоколад
|
|
0
|
4694
|
220
|
200
|
400
|
|
1
|
90000
|
220
|
19673
|
400
|
|
2
|
90000
|
220
|
43915
|
400
|
|
3
|
90000
|
52815
|
55000
|
400
|
|
4
|
90000
|
60000
|
55000
|
121426
|
|
5
|
90000
|
60000
|
55000
|
252145
|
|
6
|
90000
|
60000
|
55000
|
382864
|
|
7
|
90000
|
60000
|
55000
|
505000
|
|
8
|
90000
|
60000
|
55000
|
644302
|
Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых
ресурсах:
Таблица №16. Количество закупаемым ресурсов для ЗАО «DeJaVu»
|
Закупаемые ресурсы
|
|
Q млн р.
|
Какао
|
Молоко сухое
|
Сахар
|
Масло
|
Ароматизатор
|
|
0
|
53,071
|
6,094
|
173,023
|
69,882
|
53,788
|
|
1
|
3400,635
|
480,871
|
3705,871
|
6167,87
|
1198,078
|
|
2
|
7036,999
|
965,72
|
4918
|
13440,597
|
2410,2
|
|
3
|
10277,462
|
2239,308
|
8627,924
|
18862,974
|
4016,308
|
|
4
|
12913,536
|
2988,134
|
16320,608
|
19762,134
|
16262,68
|
|
5
|
15527,915
|
3641,729
|
24163,745
|
20415,729
|
29334,575
|
|
6
|
18142,294
|
4295,324
|
32006,882
|
21069,324
|
42406,471
|
|
7
|
20585
|
4906
|
39335
|
21980
|
54620
|
|
8
|
23371,052
|
5602,513
|
47693,157
|
22376,513
|
68550,261
|
Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать
таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:
Таблица №17. Прибыль ЗАО «DeJaVu»
|
Прибыль
|
|
Q млн р.
|
ЗАО «DeJaVu»
|
|
0
|
5 381,39 р.
|
|
1
|
225 707,38 р.
|
|
2
|
445 828,59 р.
|
|
3
|
665 862,97 р.
|
|
4
|
885 497,02 р.
|
|
5
|
1 105 104,86 р.
|
|
6
|
1 324 712,71 р.
|
|
7
|
1 529 900,00 р.
|
|
8
|
1 763 928,39 р.
|
4.4 Предприятие по производству кондитерских
изделий ООО «Konditer»
На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с
количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:
Таблица №18. Количество производимой продукции для ООО «Konditer»
|
Количество производимой продукции
|
|
Q млн р.
|
Кекс
кондитерский
|
Рулет
кондитерский
|
Печенье
упаковочное
|
Мини рулетики
упаковочные
|
|
0
|
50
|
1403
|
200
|
100
|
|
1
|
50
|
69269
|
200
|
100
|
|
2
|
50
|
90000
|
200
|
43671
|
|
3
|
50
|
90000
|
200
|
106406
|
|
4
|
36417
|
90000
|
200
|
149999
|
|
5
|
155607
|
90000
|
200
|
149999
|
|
6
|
170000
|
90000
|
235607
|
149999
|
|
7
|
170000
|
90000
|
503344
|
149999
|
|
8
|
170000
|
90000
|
771082
|
149999
|
Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых
ресурсах:
Таблица №19. Количество закупаемым ресурсов для ООО «Konditer»
|
Закупаемые ресурсы
|
|
Q млн р.
|
Какао
|
Шоколад
|
Сахар
|
Молоко сухое
|
Джем фруктовый
|
|
0
|
95,754
|
73,182
|
78,718
|
0,257
|
15,154
|
|
1
|
4846,348
|
3466,463
|
4150,655
|
135,989
|
1033,139
|
|
2
|
7604,65
|
8860,168
|
6265,934
|
264,593
|
2215,534
|
|
3
|
9486,708
|
15133,693
|
7520,639
|
390,064
|
3470,239
|
|
4
|
12612,894
|
20220,358
|
9483,536
|
659,089
|
4705,779
|
|
5
|
18572,369
|
22604,148
|
13059,222
|
1255,037
|
5897,674
|
|
6
|
24000,145
|
25246,072
|
15845,072
|
3681,072
|
6747,822
|
|
7
|
29354,897
|
27923,448
|
18522,448
|
6358,448
|
7551,035
|
|
8
|
34709,649
|
30600,825
|
21199,825
|
9035,825
|
8354,247
|
Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать
таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:
Таблица №20. Прибыль ООО «Konditer»
|
Прибыль
|
|
Q млн р.
|
ООО «Konditer»
|
|
0
|
5 417,26 р.
|
|
1
|
225 031,89 р.
|
|
2
|
444 700,36 р.
|
|
3
|
664 273,76 р.
|
|
4
|
883 402,72 р.
|
|
5
|
1 101 519,52 р.
|
|
6
|
1 313 829,71 р.
|
|
7
|
1 525 342,43 р.
|
|
8
|
1 736 855,15 р.
|
Итак, благодаря методу линейного программирования, мы имеем
данные о количестве производимой продукции, закупаемых ресурсах и прибыли на
каждом шагу инвестиции каждого предприятия, которые являются для них
оптимальными.
5. Оптимальное распределение инвестиций методом
динамического программирования
Динамическое программирование представляет собой
математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого
класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется
возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции
на ряд взаимосвязанных этапов. Термин «динамическое» в названии метода возник,
видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами
могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем
времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется
один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках
его называют многоэтапным программированием.
Модели динамического программирования могут применяться,
например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент
пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов
календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях
колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных
капиталовложений между возможными новыми направлениями их использования; при
составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного
оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих
из эксплуатации основных фондов и т.д.
Самый простой способ решения задачи - полный перебор всех
вариантов. Когда количество вариантов невелико, этот способ вполне приемлем.
Однако на практике задачи с небольшим числом вариантов встречаются весьма
редко, поэтому полный перебор, как правило, неприемлем из-за чрезмерных затрат
вычислительных ресурсов. Поэтому в таких случаях на помощь приходит
динамическое программирование.
Динамическое программирование часто помогает решить задачу,
переборный алгоритм для которой потребовал бы очень много времени. Этот метод
использует идею пошаговой оптимизации. В этой идее есть принципиальная
тонкость: каждый шаг оптимизируется не сам по себе, а с «оглядкой на будущее»,
на последствия принимаемого «шагового» решения. Оно должно обеспечить
максимальный выигрыш не на данном конкретном шаге, а на всей совокупности
шагов, входящих в операцию.
Метод динамического программирования может применяться только
для определенного класса задач. Эти задачи должны удовлетворять таким
требованиям:
· задача оптимизации интерпретируется как
n-шаговый процесс управления;
· целевая функция равна сумме целевых
функций каждого шага;
· выбор управления на k-м шаге зависит
только от состояния системы к этому шагу, не влияет на предшествующие шаги (нет
обратной связи);
· состояние sk после k-го
шага управления зависит только от предшествующего состояния sk-1
и управления xk (отсутствие последействия);
· на каждом шаге управление Xk
зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние sk
- от конечного числа параметров.
В основе решения всех задач динамического программирования
лежит «принцип оптимальности» Беллмана, который выглядит следующим образом:
каково бы ни было состояние системы S в результате
какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы
оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах
приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.
Этот принцип впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 г.
Беллманом четко были сформулированы и условия, при которых принцип верен.
Основное требование - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е.
управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.
Общая постановка классической задачи распределения
инвестиций.
Рассмотрим общую постановку динамической задачи распределения
инвестиций.
Для развития выделены капитальные вложения в размере S.
Имеется n объектов вложений, по каждому из которых известна ожидаемая прибыль
fi(x), получаемая от вложения определенной суммы средств. Необходимо распределить
капитальные вложения между n объектами (предприятиями, проектами) таким
образом, чтобы получить максимально возможную суммарную прибыль.
Для составления математической модели исходим из
предположений:
· прибыль от каждого предприятия (проекта)
не зависит от вложения средств в другие предприятия;
· прибыль от каждого предприятия (проекта)
выражается в одних условных единицах;
· суммарная прибыль равна сумме прибылей,
полученных от каждого предприятия (проекта).
Данная постановка является упрощенной моделью реального
процесса распределения инвестиций, и в «чистом» виде не встречается, так как не
учитывает некоторые факторы, а именно:
· наличие «неформальных» критериев, т.е. тех,
которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей
стратегией предприятия, его социальный, либо экологический характер и т.д.), в
связи с чем проекты могут иметь различный приоритет;
· уровень риска проектов;
· другие факторы.
В связи с необходимостью учета уровня риска при формировании
инвестиционного портфеля появилось стохастическое динамическое
программирование, которое имеет дело с вероятностными величинами. Оно нашло
применение в различных областях, среди которых одной из наиболее широко
исследуемых является управление рисковыми финансовыми инвестициями.
Принцип
оптимальности и уравнения Беллмана
Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние s
системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать
управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех
последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах,
включая данный. Основное требование, при котором принцип верен - процесс
управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не
должно оказывать влияния на предшествующие шаги.
Таким образом, решение на каждом шаге оказывается наилучшим с
точки зрения управления в целом.
Уравнения Беллмана.
Нахождение оптимального решения управляемого процесса можно
произвести на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Пусть 
- показатель эффективности k - ого шага при всевозможных управлениях 
. Выделяют обратную и прямую схемы
Беллмана.
Схема нахождения оптимального решения по обратной схеме.
На каждом шаге любого состояния системы sk-1
решение 
нужно выбирать «с оглядкой», так как этот
выбор влияет на последующее состояние sk и дальнейший процесс
управления, зависящий от sk. Это следует из принципа
оптимальности.
Но есть один шаг, последний, который можно для любого состояния
планировать локально оптимально, исходя только из соображений этого шага.
Рассмотрим n-й шаг: sn-1 - состояние системы к началу n-го шага, 
- конечное состояние, 
- управление на n-м шаге, 
- целевая функция (выигрыш) n-го шага.
Показатель эффективности n - ого шага
Агрегированный показатель эффективности (n-1) - ого шага
.
Агрегированный показатель эффективности первого шага
.
В результате будут найдены следующие последовательности значений:
Схема нахождения оптимального решения по прямой
схеме.
Показатель эффективности первого шага
Агрегированный показатель эффективности второго шага
.
Агрегированный показатель эффективности k - ого шага
.
Агрегированный показатель эффективности всего процесса управления
(n-ого шага) 
Таким образом, в результате решения последовательно определяются
следующие значения 
и 
:
Общая
схема применения метода ДП
Построение модели ДП и применение метода ДП решения сводится
к следующим моментам:
1. Выбирают способ деления процесса управления на шаги.
2. Определяют параметры состояния sk и
переменные управления на каждом шаге.
. Записывают уравнения состояний.
. Вводят целевые функции k-го шага и суммарную целевую функцию.
. Вводят в рассмотрение условные максимумы (минимумы) 
и условное оптимальное управление на k-м
шаге: 
(в случае использования обратной схемы Беллмана);
. Записывают основные для вычислительной схемы ДП уравнения
Беллмана для 
и 
.
. Решают последовательно уравнения Беллмана (условная
оптимизация) и получают две последовательности функций: 
и 
.
. После выполнения условной оптимизации получают
оптимальное решение для конкретного начального состояния s0:
a) 
и по цепочке
б) оптимальное управление: 
.
6. Решение задачи динамического программирования
Прибыли предприятий при различных объемах выделенных
финансовых средств, представлены в следующей таблице:
Таблица №21. Прибыль предприятий в зависимости от объема
выделенных средств
|
Таблица
значений эффективности в зависимости от вложенных средств
|
Z1
|
Z2
|
Z3
|
Z4
|
|
0
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
|
1
|
200 532,67 р.
|
200 532,67 р.
|
220 325,99 р.
|
220 325,99 р.
|
|
2
|
401 065,33 р.
|
401 065,33 р.
|
440 447,20 р.
|
440 447,20 р.
|
|
3
|
601 597,99 р.
|
601 597,99 р.
|
660 481,58 р.
|
660 481,58 р.
|
|
4
|
802 130,66 р.
|
802 130,66 р.
|
880 115,63 р.
|
880 115,63 р.
|
|
5
|
1 002 624,03 р.
|
1 002 624,03 р.
|
1 099 723,47 р.
|
1 099 764,68 р.
|
|
6
|
1 202 623,64 р.
|
1 202 623,64 р.
|
1 319 331,31 р.
|
1 319 398,73 р.
|
|
7
|
1 402 433,23 р.
|
1 402 433,23 р.
|
1 524 518,61 р.
|
1 539 006,57 р.
|
|
8
|
1 602 222,93 р.
|
1 602 222,93 р.
|
1 758 547,00 р.
|
1 758 614,41 р.
|
Для нахождения дополнительной прибыли нужно посчитать
разность между прибылью предприятий при выделенных средствах и прибылью при
нулевом финансировании.
Таблица №22. Дополнительный доход предприятия в зависимости
от объема выделенных средств
|
Дополнительный
доход
|
|
Q
|
F1
|
F2
|
F3
|
F4
|
|
0
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
|
1
|
200 532,67 р.
|
154 205,61 р.
|
220 325,99 р.
|
219 614,63 р.
|
|
2
|
401 065,33 р.
|
305 040,55 р.
|
440 447,20 р.
|
439 283,10 р.
|
|
3
|
601 597,99 р.
|
375 139,81 р.
|
660 481,58 р.
|
658 856,50 р.
|
|
4
|
802 130,66 р.
|
445 099,69 р.
|
880 115,63 р.
|
877 985,45 р.
|
|
5
|
1 002 624,03 р.
|
496 341,93 р.
|
1 099 723,47 р.
|
1 096 102,26 р.
|
|
6
|
1 202 623,64 р.
|
545 457,50 р.
|
1 319 331,31 р.
|
1 308 412,45 р.
|
|
7
|
1 402 433,23 р.
|
591 095,09 р.
|
1 524 518,61 р.
|
1 519 925,16 р.
|
|
8
|
1 602 222,93 р.
|
636 732,67 р.
|
1 758 547,00 р.
|
1 731 437,88 р.
|
Найдем показатели эффективности деятельности предприятий в
зависимости от объема выделенных средств, с помощью обратной схемы Беллмана:
Показатель эффективности Z1 равен дополнительному
доходу предприятия: Z1(Q)=max{f1(X)}, т.е.:
Z1*(0) = 0
Z1*(1000000) = 200532,67
Z1*(2000000) = 401065,33
Z1*(3000000) = 601597,99
Z1*(4000000) = 802130,66
Z1*(5000000) = 1002624,03
Z1*(6000000) = 1202623,64
Z1*(7000000) = 1402433,23
Z1*(8000000) = 1602222,93
Показатель эффективности Z2 является объединением
показателей эффективности двух предприятий, т.е.:
Z2*(0) = 0
Z2*(1000000) = max {0,00+200532,67;
154205,61+0,00} =200532,67
Z2*(2000000) = max {0,00+401065,33;
154205,61+200532,67; 305040,55+0,00} = 401065,33
Z2*(3000000) = max {0,00+601597,99;
154205,61+401065,33; 305040,55+200532,67; 375139,81+0,00} = 601597,99
Z2*(4000000) = max {0,00+802130,66;
154205,61+601597,99; 305040,55+401065,33; 375139,81+200532,67; 445099,69+0,00}
= 802130,66
Z2*(5000000) = max {0,00+1002624,03;
154205,61+802130,66; 305040,55+601597,99; 375139,81+401065,33;
445099,69+200532,67; 496941,93+0,00} = 1002624,03
Z2*(6000000) = max {0,00+1202623,64;
154205,61+1002624,03; 305040,55+802130,66; 375139,81+601597,99;
445099,69+401065,33; 496941,93+200532,67; 545457,50+0,00} = 1202623,64
Z2*(7000000) = max {0,00+1402433,23;
154205,61+1202623,64; 305040,55+1002624,03; 375139,81+802130,66;
445099,69+601597,99; 496941,93+401065,33; 545457,50+200532,67; 591095,09+0,00}
= 1402433,23
Z2*(8000000) = max {0,00+1602222,93;
154205,61+1402433,23; 305040,55+1202623,64; 375139,81+1002624,03;
445099,69+802130,66; 496941,93+601597,99; 545457,50+401065,33;
591095,09+200532,67; 635732,67+0,00} = 1602222,93
Показатель эффективности Z3 является объединением
показателей эффективности двух предприятий, т.е.:
Z3*(0) = 0
Z3*(1000000) = max {0,00+200532,67; 220325,99+0,00}
= 220325,99
Z3*(2000000) = max {0,00+401065,33;
220325,99+200532,67; 440447,20+0,00} = 440447,20
Z3*(3000000) = max {0,00+601597,99;
220325,99+401065,33; 440447,20+200532,67; 660481,58+0,00} = 660481,58
Z3*(4000000) = max {0,00+802130,66;
220325,99+601597,99; 440447,20+401065,33; 660481,58+200532,67; 880115,63+0,00}
= 880115,63
Z3*(5000000) = max {0,00+1002624,03;
220325,99+802130,66; 440447,20+601597,99; 660481,58+401065,33;
880115,63+200532,67; 1099723,47+0,00} = 1099723,47
Z3*(6000000) = max {0,00+1202623,64;
220325,99+1002624,03; 440447,20+802130,66; 660481,58+601597,99;
880115,63+401065,33; 1099723,47+200532,67; 1319331,31+0,00} = 1319331,31
Z3*(7000000) = max {0,00+1402433,23;
220325,99+1202623,64; 440447,20+1002624,03; 660481,58+802130,66;
880115,63+601597,99; 1099723,47+401065,33; 1319331,31+200532,67; 1524518,61+0,00}
= 1524518,61
Z3*(8000000) = max {0,00+1602222,93;
220325,99+1402433,23; 440447,20+1202623,64; 660481,58+1002624,03;
880115,63+802130,66; 1099723,47+601597,99; 1319331,31+401065,33;
1524518,61+200532,67; 1758547,00+0,00} = 1758547,00
Показатель эффективности Z4 является объединением
показателей эффективности двух предприятий, т.е.:
Z4*(0) = 0
Z4*(1000000) = max {0,00+220325,99;
219614,63+0,00} = 220325,99
Z4*(2000000) = max {0,00+440447,20;
219614,63+220325,99; 439283,10+0,00} = 440447,20
Z4*(3000000) = max {0,00+660481,58;
219614,63+440447,20; 439283,10+220325,99; 658856,50+0,00} = 660481,58
Z4*(4000000) = max {0,00+880115,63;
219614,63+660481,58; 439283,10+440447,20; 658856,50+220325,99; 877985,45+0,00}
= 880115,63
Z4*(5000000) = max {0,00+1099723,47;
219614,63+880115,63; 439283,10+660481,58; 658856,50+440447,20;
877985,45+220325,99; 1096102,26+0,00} = 1099764,68
Z3*(6000000) = max {0,00+1319331,31;
219614,63+1099723,47; 439283,10+880115,63; 658856,50+660481,58;
877985,45+440447,20; 1096102,26+220325,99; 1308412,45+0,00} = 1319398,73
Z4*(7000000) = max {0,00+1524518,61;
219614,63+1319331,31; 439283,10+1099723,47; 658856,50+880115,63;
877985,45+660481,58; 1096102,26+440447,20; 1308412,45+220325,99;
1519925,16+0,00} = 1539006,57
Z4*(8000000) = max {0,00+1758547,00;
219614,63+1524518,61; 439283,10+1319331,31; 658856,50+1099723,47;
877985,45+880115,63; 1096102,26+660481,58; 1308412,45+440447,20;
1519925,16+220325,99; 1731437,88+0,00} = 1758614,41
Найденные объединенные показатели эффективности деятельности
предприятий в зависимости от объема выделенных средств представлены в следующей
таблице:
Таблица №23. Прибыль предприятий в зависимости от объема
выделенных средств
|
Таблица
значений эффективности в зависимости от вложенных средств
|
|
Q
|
ООО «Золотая
скрепка»
|
ОАО «Бурёнка»
|
ЗАО «DeJaVu»
|
ООО «Konditer»
|
|
0
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
0,00 р.
|
|
1
|
200 532,67 р.
|
200 532,67 р.
|
220 325,99 р.
|
220 325,99 р.
|
|
2
|
401 065,33 р.
|
401 065,33 р.
|
440 447,20 р.
|
440 447,20 р.
|
|
3
|
601 597,99 р.
|
601 597,99 р.
|
660 481,58 р.
|
660 481,58 р.
|
|
4
|
802 130,66 р.
|
802 130,66 р.
|
880 115,63 р.
|
880 115,63 р.
|
|
5
|
1 002 624,03 р.
|
1 002 624,03 р.
|
1 099 723,47 р.
|
1 099 764,68 р.
|
|
6
|
1 202 623,64 р.
|
1 202 623,64 р.
|
1 319 331,31 р.
|
1 319 398,73 р.
|
|
7
|
1 402 433,23 р.
|
1 402 433,23 р.
|
1 524 518,61 р.
|
1 539 006,57 р.
|
|
8
|
1 602 222,93 р.
|
1 602 222,93 р.
|
1 758 547,00 р.
|
1 758 614,41 р.
|
Максимальная прибыль среди всех предприятий в зависимости от
объема выделенных средств равно: Zmax = 1758614,41 рублей.
В результате прохождения всех шагов от первого к последнему
шагу определяется оптимальное значение целевой функции. Чтобы найти оптимальную
стратегию управления, т.е. найти значение, необходимо снова пройти всю
последовательность шагов от последнего к первому.
При помощи обратной схемы Беллмана получим следующее:
|
Z4*(8000000)= F4
(2000000)+ Z3(6000000); X4=2000000
|
|
Z3*(6000000)= F3(6000000)+ Z2(0); X3=6000000
|
|
Z2*(0)=f2 (0)+ Z1(0); X2=0
|
|
Z1*(0)=f1 (0); X1=0
|
С помощью обратной схемы Беллмана получили оптимальное
распределение финансовых средств между предприятиями. Таким образом,
предприятию по производству кондитерских изделий ООО «Konditer» будут выделены
инвестиции в размере 2000000,00 рублей, предприятию по производству шоколадных
изделий ЗАО «DeJaVu» 6000000,00 рублей, а остальным двум предприятиям: предприятию по
производству картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка» и
предприятию по производству кисломолочных изделий ОАО «Бурёнка» будут выделены
инвестиции в размере 0,00 рублей каждому.
При таком распределении инвестиций между предприятиями
показатель эффективности предприятий будет: Zmax = 1758614,41 рублей.
Оптимальный план распределения инвестиций между предприятиями
представлен в следующей таблице:
Таблица №24. Оптимальный план распределения инвестиций между
предприятиями
|
Объем
выделенных ресурсов, руб.
|
|
ООО «Золотая
скрепка»
|
ОАО «Бурёнка»
|
ЗАО «DeJaVu»
|
ООО «Konditer»
|
|
0
|
0
|
6000000
|
2000000
|
Равномерное распределение инвестиций
Предположим равномерное распределение финансовых средств
между предприятиями. Исходя из того что, финансовые средства составляют
8000000,00 рублей, а предприятий всего 4, получается всем по 2000000,00 рублей.
Равномерное распределение инвестиций представлено в следующей
таблице:
Таблица №25. Прибыль предприятий при равномерном
распределении финансовых средств между предприятиями
|
Объем
выделенных средств, Q, руб
|
Прибыли
предприятий, руб.
|
|
ООО «Золотая
скрепка»
|
ОАО «Бурёнка»
|
ЗАО «DeJaVu»
|
ООО «Konditer»
|
|
2000000
|
401 065,33 р.
|
305 040,55 р.
|
440 447,20 р.
|
439 283,10 р.
|
При равномерном распределении финансовых средств между
предприятиями максимальный доход составит 1585836,18 рублей, а при оптимальном
распределении - 3077945,73 рублей. Получается, что если инвестиции распределить
равномерно, прибыль будет на 1492109,55 рублей меньше чем при оптимальном
распределении, т.е. на 48,48%.
Заключение
Целью курсовой работы являлось определение оптимального плана
распределения финансовых средств в размере 8000000,00 рублей между
предприятиями для получения максимальной прибыли.
В курсовой работы рассмотрены следующие 4 предприятия,
производящие различные продукции:
1. Предприятие по производству
картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»;
. Предприятие по производству кисломолочных
изделий ОАО «Бурёнка»;
3. Предприятие по производству шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu»;
. Предприятие по производству кондитерских изделий ООО
«Konditer».
Для решения курсовой работы применялись линейное
программирование и динамическое программирование. С помощью линейного
программирования была получена прибыль каждого предприятия при разных объемах
инвестирования и план производства. Максимальная прибыль в зависимости от
объема выделенных средств равно: Zmax = 1758614,41 рублей.
А с помощью динамического программирования произведено
распределение финансовых средств между предприятиями. Для этого воспользовались
обратной схемой Беллмана. После выполнения всех шагов решения задачи
динамического программирования был определен оптимальный план распределения
финансовых средств:
Таблица №24. Оптимальный план распределения инвестиций между
предприятиями
|
Объем
выделенных ресурсов, руб.
|
|
ООО «Золотая
скрепка»
|
ОАО «Бурёнка»
|
ЗАО «DeJaVu»
|
ООО «Konditer»
|
|
0
|
0
|
6000000
|
2000000
|
Также было рассмотрено равномерное распределение финансовых
средств между предприятиями:
Таблица №25. Прибыль предприятий при равномерном
распределении финансовых средств между предприятиями
|
Объем
выделенных средств, Q, руб
|
Прибыли
предприятий, руб.
|
|
ООО «Золотая
скрепка»
|
ОАО «Бурёнка»
|
ЗАО «DeJaVu»
|
ООО «Konditer»
|
|
2000000
|
401 065,33 р.
|
305 040,55 р.
|
440 447,20 р.
|
439 283,10 р.
|
Сравнительный анализ
При равномерном распределении финансовых средств между
предприятиями максимальный доход составил 3077945,73 рублей, что на 1492109,55
рублей меньше чем при оптимальном распределении, т.е. на 48,48%.
Список использованных источников
1. Матяева
И.Н. «Исследование операций в экономике». Москва, 2009.
2. Бартенев
С.А. «Исследование операций в экономике». Учебное пособие для вузов. Москва,
2012.