Математическое моделирование в экономике

Математическое моделирование в экономике

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Центросоюза Российской Федерации

Сибирский университет потребительской кооперации

Забайкальский институт предпринимательства

Контрольная работа

по дисциплине: Методы моделирования и прогнозирования экономики

Вариант №15

Выполнила: студентка 2-го курса

Шифр ЭБ-ЗС-14-12-015

Максакова Екатерина Валерьевна

Направление: "Экономика"

Чита

Задание 1

прогнозирование интервью инвестиция функция

Основные этапы разработки прогноза

Прогнозирование управленческих решений наиболее тесно связано с планированием. План и прогноз представляют собой взаимодополняющие друг друга стадии планирования при определяющей роли плана как ведущего звена управления. Прогноз в системе управления является предплановой разработкой многовариантных моделей развития объекта управления. Сроки, объемы работ, числовые характеристики объекта и другие показатели в прогнозе носят вероятностный характер и обязательно предусматривают возможность внесения корректировок. В отличие от прогноза план содержит однозначно срок существования события и характеристики планируемого объекта. Для плановых разработок используется наиболее рациональный прогнозный вариант.

Прогнозные разработки являются составной частью комплексный целевых программ.

При разработке прогнозов можно выделить следующие этапы, представленные на рис. 1.

. На стадии подготовки к разработке прогноза должны быть решены следующие задачи: подготовлено организационное обеспечение разработки прогноза; сформулировано задание на прогноз; сформированы рабочая и аналитическая группы сопровождения и экспертная комиссия; подготовлено методическое обеспечение разработки прогноза и информационная база для проведения прогноза, а также компьютерное сопровождение разработки прогноза.

Рис. 1. Блок-схема основных этапов разработки прогноза

. При анализе ретроспективной информации об объекте прогнозирования предполагается четкое разделение количественной и качественной информации.

Количественная информация, если она достаточна и надежна, используется для расчетов по экстраполяции динамики изменения прогнозируемых параметров, по определению наиболее вероятных тенденций их изменения. Качественная информация классифицируется, систематизируется и служит основанием для оценок экспертов и наряду с количественной информацией используется для разработки экспертных прогнозов.

. Определение наиболее вероятных вариантов развития внутренних и внешних условий объекта прогнозирования является одной из центральных задач разработки прогноза. От того, насколько верно они будут определены, зависят точность разрабатываемого прогноза и эффективность решений, принимаемых на его основании.

. Проведение экспертизы. Экспертиза - исследование какого-либо объекта, ситуации, вопроса, требующего специальных знаний, с представлением мотивированного заключения.

. Разработка альтернативных вариантов. При стратегическом планировании и в других случаях использования прогнозов необходимо рассматривать различные альтернативные варианты развития событий как благоприятные, так и неблагоприятные.

. Априорная и апостериорная оценка качества прогноза. Апостериори - на основании опыта. Априори - независимо от предшествующего опыта. Оценка качества прогноза - одна из центральных проблем в процессе разработки управленческих решений. Степень доверия к разработанному прогнозу во многом влияет на принимаемое решение и сказывается на эффективности управленческих решений, принимаемых с использованием разработанного прогноза.

. Контроль хода реализации и корректировки прогноза. Неотъемлемой частью современной технологии прогнозирования является периодически осуществляемый (в зависимости от происходящих изменений) мониторинг хода реализации прогнозированного развития событий, который позволяет своевременно выявлять значительные отклонения в ходе развития событий.

Методы индивидуальных экспертных оценок: метод "интервью", "докладная записка", "морфологический анализ"

Методы индивидуальных экспертных оценок состоят в том, что каждый эксперт дает оценку независимо от других, а затем с помощью какого-либо прикладного метода обработки данных эти оценки объединяются в одну обобщающую. Самый простой способ сведения экспертных оценок в обобщающую - расчет средней арифметической.

Среди индивидуальных экспертных оценок наибольшее распространение получили: метод "интервью", метод анкетного опроса, "докладная записка", "морфологический анализ".

Метод "интервью" предполагает беседу прогнозиста (прогнозистов) с экспертом, в ходе которой прогнозист в соответствии с заранее разработанной программой ставит перед экспертом вопросы относительно перспектив развития прогнозируемого объекта. Выделяют следующие формы организации интервью:

) интервью по типу вопрос-ответ;

) свободная беседа;

) интервью по типу "перекрестного допроса".

Интервью по типу вопрос-ответ идет по специально разработанной программе, вопросы в которой заранее сформулированы. В данном случае интервьюеру отводится роль исследователя, а эксперт выступает как своеобразный источник информации.

Недостатком данной формы организации интервью является значительное психологическое давление на эксперта, а также зависимость экспертной оценки от способности эксперта экспромтом давать заключения по интересующим прогнозиста проблемам.

Свободная беседа требует от интервьюера особых навыков при ее организации и проведении. Психологическое давление на эксперта в данном случае минимально. Получаемая информация более содержательна.

Интервью по типу перекрестного допроса проводится с привлечением нескольких интервьюеров (чаще всего двух). На сегодняшний день данная форма организации интервью широко применяется в ряде телевизионных программ. Вопросы к экспертам распределяются между интервьюерами и задаются по очереди. Интервьюеры, имея возможность обдумать и обсудить ответы экспертов, стремятся получить максимум необходимой информации, проверяя в то же время непротиворечивость, последовательность и логичность рассуждений экспертов.

Метод докладной записки предполагает самостоятельную работу эксперта над анализом тенденций, оценкой состояния и путей развития прогнозируемого объекта. Этот метод позволяет эксперту использовать всю доступную информацию. Свои соображения эксперт оформляет в виде докладной записки. Психологическое давление на эксперта в данном случае минимально.

Применение данного метода требует сравнительно больших затрат времени на экспертизу. Прогнозы, оформленные в виде аналитических записок, как правило, более детально проработаны и обоснованы, но и более дорогостоящие.

Известным методом систематизированного поиска новых идей является морфологический анализ, предложенный швейцарским астрофизиком Цвикки. Морфологический анализ основан на построении таблицы, в которой перечисляются все основные элементы, составляющие объект и указывается, возможно, большее число известных вариантов реализации этих элементов. Комбинируя варианты реализации элементов объекта, можно получить самые неожиданные новые решения. Последовательность действий при этом следующая:

·        Точно сформулировать проблему.

·        Определить важнейшие элементы объекта.

·        Определить варианты исполнения элементов.

·        Занести их в таблицу.

·        Оценить все имеющиеся в таблице варианты.

·        Выбрать оптимальный вариант.

Основной идеей морфологического анализа является упорядочение процесса выдвижения и рассмотрения различных вариантов решения задачи. Расчет строится на том, что в поле зрения могут попасть варианты, которые ранее не рассматривались. Принцип морфологического анализа легко реализуется с помощью компьютерных средств.

Однако для сложных объектов, имеющих большое число элементов, таблица становится слишком громоздкой. Появляется необходимость рассмотрения огромного числа вариантов, большая часть которых оказывается лишенной практического смысла, что делает использование метода слишком трудоемким. Таким образом, главными недостатками метода является упрощенность подхода к анализу объекта и возможность получения слишком большого для рассмотрения числа вариантов.

Рис. 2. Пример морфологического анализа

Морфологический анализ имеет много как простейших, так и усложненных модификаций. Однако его применение рационально для простых объектов и там, где возможно найти новую идею за счет комбинации известных решений (реклама, дизайн и т. п.).

Основное преимущество методов индивидуальных экспертных оценок состоит в возможности максимального использования индивидуальных способностей экспертов. Однако данные методы мало пригодны для прогнозирования наиболее общих стратегий из-за ограниченности знаний одного эксперта о развитии смежных областей науки и практики.

Оценка параметров моделей с распределенным лагом: модель полиномиальных лагов (метод Алмона)

Моделью с распределённым лагом называется динамическая эконометрическая модель, в которую включены не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных.

С помощью модели с распределённым лагом можно охарактеризовать влияние изменения факторной переменной х на дальнейшее изменение результативной переменной у, т. е. изменение х в момент времени t будет оказывать влияние на значение переменной у в течение L следующих моментов времени.

Для оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом применяется метод Алмон или лаги Алмон.

Текущие и лаговые значения факторной переменной оказывают различное по силе воздействие на результативную переменную модели. Качественно сила связи между результатом и значениями факторной переменной, относящимися к различным моментам времени, измеряется с помощью коэффициентов регрессии при факторных переменных. Если построить график зависимости этих коэффициентов от величины лага, можно получиться графическое изображение структуры лага, или распределения во времени воздействия факторной переменной на результат. Структура лага может быть различной.

Также графический анализ структуры лага можно с помощью относительных коэффициентов регрессии  Основная трудность в выявлении структуры лага состоит в том, как получить значения параметров  (или). Обычный МНК редко бывает полезным в этих целях.

Метод Алмона

Рассмотрим общую модель с распределенным лагом, имеющую конечную максимальную величину лага , которая описывается соотношением:

В методе Алмона предполагается, что в исследуемой модели имеет место полиномиальная структура лага, т.к. зависимость коэффициентов регрессии  от величины лага описывается полиномом k-й степени. Таким образом, лаги Алмон - лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов.

Формально модель зависимости коэффициентов  от величины лага j в форме полинома можно записать в следующем виде:

Тогда каждый из коэф-ов  модели можно выразить след. обр.:

Тогда модель с распределенным лагом примет вид

где

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом проводится по следующей схеме:

. Устанавливается макс. величина лага

. Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага.

. Рассчитывается значение переменных с z0 до zk.

. Определяются параметры уравнения линейной регрессии

. Рассчитываются параметры b исходной модели с распределенным лагом с помощью ранее найденных соотношений.

Проблемы применения метода Алмон:

величина лага  должна быть известна заранее; при определении лучше исходить из максимально возможного лага;

необходимо установить степень полинома (должна быть на 1 больше числа экстремумов в структуре лага);

переменные z, определяемые как линейные комбинации исходных переменных х, коллелируют между собой, если существует высокая связь между исходными переменными х.

Преимущества метода Алмон:

он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов;

при относительно небольшом количестве переменных можно построить модели со степенью полинома 2 или 3, которые не приводят к потере значительного числа степеней свободы.

можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

Задание 2

По приведенным в таблицах данным (номера таблиц соответствуют значению α, представлены в табл. 3.2) построить диаграммы, показывающие зависимость каждого из показателей от времени (x - t, y - t) и друг от друга (х - у).

По каждой диаграмме определить вид зависимости и рассчитать коэффициенты корреляции и детерминации. Сделать выводы.

Таблица 4.5

Данные об объеме инвестиций и стоимости сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае за 2005-2011 гг.

Таблица 4.3

Данные о надое молока, полученном сельскохозяйственными товаропроизводителями, и расходе кормов на 1 голову крупного рогатого скота в Забайкальском крае за 2000-2011 гг.

Решение

Анализ по данным об объеме инвестиций и стоимости сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае за 2005-2011 гг.

Построим диаграммы, показывающие зависимость каждого из показателей от времени (x - t, y - t) и друг от друга (х - у).

Рис. 3.6. Динамика стоимости сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае за 2005-2011 гг.

На диаграмме прослеживается линейная зависимость между показателями.

Рис. 3.7. Динамика объема инвестиций в основной капитал в Забайкальском крае за 2005-2011 гг.

На диаграмме прослеживается нелинейная (полиномиальная) зависимость между показателями.

Рис. 3.8. Зависимость между объемом инвестиций и стоимостью сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае за 2005-2011 гг.

На диаграмме прослеживается нелинейная (полиномиальная) зависимость между показателями.

Для расчета коэффициентов корреляции составим вспомогательную таблицу (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Таблица вспомогательных расчетов

Коэффициент корреляции между временем и объемом сельскохозяйственной продукции определим по формуле (в качестве факторного признака Х выступает номер года t):

0,991

Следовательно, связь между временем и объемом сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае прямая, т.к. Rxy > 0, а теснота связи весьма высокая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,991)2 = 0.982 или (98,2%). Следовательно, 98,2% изменений объема сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае объясняется изменением времени.

Коэффициент корреляции между временем и объемом инвестиций в основной капитал в Забайкальском крае определим по формуле (в качестве факторного признака Х выступает номер года t, а в качестве результативного признака Y выступает Х):

0.201

Следовательно, связь между временем и объемом инвестиций в основной капитал в Забайкальском крае прямая, т.к. Rxy > 0, а теснота связи слабая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,201)2 = 0,040 (4%). Следовательно, 4% изменений объема инвестиций в основной капитал в Забайкальском крае объясняется изменением времени.

Коэффициент корреляции между объемом инвестиций в основной капитал и объемом сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае определим по формуле:

0.164

Следовательно, связь между объемом инвестиций в основной капитал и объемом сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае прямая, т.к. Rxy > 0, а теснота связи слабая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,164)2 = 0,027 (2,7%). Следовательно, 2,7% изменений объема сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае объясняется изменением объема инвестиций в основной капитал.

Анализ по данным о надое молока, полученном сельскохозяйственными товаропроизводителями, и расходе кормов на 1 голову крупного рогатого скота в Забайкальском крае за 2000-2011 гг.

Построим диаграммы, показывающие зависимость каждого из показателей от времени (x - t, y - t) и друг от друга (х - у).

Рис. 3.6. Динамика надоя молока, кг на одну корову

На диаграмме прослеживается линейная зависимость между показателями.

Рис. 3.7. Динамика расходов кормов на одну голову КРС

На диаграмме прослеживается линейная зависимость между показателями.

Рис. 3.8. Зависимость между надоем молока, кг на одну корову и расходом кормов на одну голову КРС

На диаграмме прослеживается нелинейная (полиномиальная) зависимость между показателями.

Для расчета коэффициентов корреляции составим вспомогательную таблицу (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Таблица вспомогательных расчетов

Коэффициент корреляции между временем и надоем молока определим по формуле (в качестве факторного признака Х выступает номер года t):

= 0.996

Следовательно, связь между временем и надоем молока прямая, т.к. Rxy > 0, а теснота связи весьма высокая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,996)2 = 0.991или (98,2%). Следовательно, 99,1% изменений надоя молока объясняется изменением времени.

Коэффициент корреляции между временем и расходом кормов на одну голову КРС определим по формуле (в качестве факторного признака Х выступает номер года t, а в качестве результативного признака Y выступает Х):

Кxy = 0,947

Следовательно, связь между временем и расходом кормов на одну голову КРС определим прямая, т.к. Rxy > 0, а теснота связи весьма высокая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,947)2 = 0,896 (89,6%). Следовательно, 89,6% изменений расхода кормов на одну голову КРС объясняется изменением времени.

Коэффициент корреляции между надоем молока и расходом кормов на одну голову КРС определим по формуле:

= 0.992

Следовательно, связь между надоем молока и расходом кормов на одну голову КРС прямая, т.к. Rxy > 0, а теснота связи весьма высокая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,992)2 = 0,984 (98,4%). Следовательно, 2,7% изменений объема сельскохозяйственной продукции в Забайкальском крае объясняется изменением объема инвестиций в основной капитал.

Задание 3

По приведенным в табл. 4.11 данным, построить однофакторную линейная модель типа =a+bx.

Таблица 4.11

Оцените качество модели с помощью коэффициента детерминации, средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера. Табличное значение F-критерия Фишера (Fтабл.) равно 10,13 при Р=0,95.

Выполнить прогноз на следующие три периода и рассчитать ошибку прогноза, если х изменялся следующим образом:

Сделать выводы.

Решение.

Если α = 186.

Определим фактические значения:

Для построения однофакторной линейной модели типа =a+bx, необходимо определить ее параметры. Для этого построим вспомогательную таблицу:

Составим и решим систему нормальных уравнений, для нахождения параметров уравнения регрессии.

Для решения системы, умножим каждое значение первого уравнения на 2.09 и получим:

Далее путем вычитания первого уравнения из второго получим:

.957b = 9.183

= 1.32

Подставим значение b в любое уравнение и найдем параметр а:

a + 8.36*1.32 = 50.185

= 9.79

Однофакторная линейная модель примет вид:

 = 9.79+ 1.32*х.

Экономическая интерпретация, полученной модели: при увеличении фактора х на 1 единицу своего измерения результативный признак Y увеличится на 1.32 единиц своего измерения.

Для того чтобы выполнить прогноз по данной модели, необходимо проверить ее качество.

Качество регрессионной модели считается высоким, если:

1. коэффициент детерминации больше или равен 0,5;

2. средняя ошибка аппроксимации менее или равна 10%;

3.       Fтабл<Fфакт.

Найдем перечисленные показатели.

Для нахождения коэффициента детерминации необходимо знать коэффициент корреляции, который определим по формуле:

= 0.975

Следовательно, связь между Y и Х прямая, т.к. Rxy > 0, а теснота связи весьма высокая (по шкале Чеддока).

Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,975)2 = 0,951 (95,1%). Следовательно, 95,1% изменений результативного признака Y объясняется изменением фактора Х.

В нашем случае коэффициент детерминации больше 0,5, следовательно, первое условие, определяющие высокое качество модели выполнилось.

Для расчета средней ошибки аппроксимации построим вспомогательную таблицу (табл. 3.8).

Таблица 3.8

Определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,78%. Ошибка аппроксимации небольшая (А<8%), регрессионная модель хорошо описывает изучаемую закономерность. Второе условие, определяющее высокое качество модели выполнилось.

Определим фактическое значение критерия Фишера по формуле:

По условию задачи Fтабл. = 10,13 при Р=0,95.

Если Fтабл.<Fфакт., то гипотеза Н0 - о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 1-a, следовательно, принимается гипотеза Н1. Третье условие, определяющие высокое качество модели выполнилось.

Так как, все три условия, определяющих высокое качество модели выполнились, то модель вида  = 9.79+ 1.32*х может быть использована для прогнозирования признака Y от фактора Х.

Прогнозирование по линейной однофакторной регрессии осуществляется путем подстановки ожидаемого значения х в уравнение регрессии. Определим ожидаемые значения х в прогнозных периодах.

Выполним прогноз на следующие три периода:

5 = 9.79+ 1.32*4.053 = 14.533

6 = 9.79+ 1.32*4.341 = 14.912

7 = 9.79+ 1.32* 4.415= 15.010

Рассчитаем ошибки прогноза по формуле:

,

,

,

.

Вывод. Однофакторная линейная модель примет вид:

 = 9.79+ 1.32*х.

Следовательно, при увеличении фактора х на 1 единицу своего измерения результативный признак Y увеличится на 1,32 единиц своего измерения.

Данная модель может быть использована для прогнозирования признака Y от фактора Х, так как выполняются условия, определяющие ее высокое качество. Наиболее точным оказался прогноз на 5-ый период (соответствует минимальное значение ошибки прогноза).

Задание 4

По приведенным в табл. 4.12 данным построить уравнение многофакторной линейной регрессии, если

а =  b1 =  b2 =  b3 = , b4 =  b5 = .

Таблица 4.12

Фактические значения х

Рассчитать значения результативного показателя на следующие 2 периода. На основе матрицы парных коэффициентов корреляции (табл.4.13) (рассчитать) выявить и устранить мультиколлинеарные факторы. После их устранения построить уравнение регрессии по новым данным регрессионного анализа, характеризующее зависимость результирующего показателя (y) от факторных (xi) в линейной форме.

Таблица 4.13

Рассчитать прогнозные значения результативного показателя по скорректированной многофакторной модели на следующие 2 периода, если:

Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза для обоих случаев. Сделать выводы.

Решение.

если а =  b1 =  b2 =  b3 = , b4 =  b5 = . и  = 186, тогда

. уравнение многофакторной регрессии будет выглядеть следующим образом:  = 16,17 + 13,25х1 + 0,79х2 + 0,09х3 + 0,51х4 + 0,41х5.

Рассчитаем прогнозные значения Y:

Определим ошибку прогноза по формуле:

,

,

.

Проверим модель на наличие мультиколлинеарности и при необходимости устраним ее.

Найдем пары мультиколлинеарных факторов, которые удовлетворяют условию rхiхj0,7. Условию удовлетворяют следующее пары факторов: = 0,8154 и  = 0,7628.

Из каждой пары необходимо исключить фактор, имеющий наименьшее значение rхiy.

Рассмотрим первую пару = 0,8154.

 = 0,59033;

 = 0,76313.

 < , следовательно, факторный признак х1 следует исключить из модели, т.к. он имеет наименьшее значение rхiy в рассматриваемой паре.

Рассмотрим вторую пару  = 0,7628.

 = 0,76313;

 = 0,2973.

 < , следовательно, факторный признак х4 следует исключить из модели, т.к. он имеет наименьшее значение rхiy в рассматриваемой паре.

Итак, из модели исключаем х1 и х4, модель примет вид:

 = 16,17 + 0,79х2 + 0,09х3 + 0,41х5.

Рассчитаем скорректированные прогнозные значения Y:

Определим ошибку прогноза по формуле:

,

,

.

Вывод: Более качественной является пятифакторная регрессионная модель, так как позволяет получить меньшие значения ошибки прогноза.

Задание 5

Имеются некоторые данные об объеме продаж (д.е.) за 10 лет.

Выполнить прогноз с помощью среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и уравнения тренда на 11-12-ый периоды. Если в 11-м периоде у будет равен (325,7 + ) д.е., а в 12-м периоде - (333 + ) д.е., рассчитать ошибку прогноза по каждой из моделей. Оцените точность прогноза по каждому периоду.

Решение

Таблица 3.11

Расчет уравнения тренда ряда динамики объема продаж

Если  =186.

1) Прогнозирование с помощью среднего абсолютного прироста.

Среднегодовой абсолютный прирост объема продаж:

 (шт.).

Тогда, прогноз роста объема продаж:

на 2012 г.

,

на 2013 г.:

2) Прогнозирование с помощью среднего темпа роста.

Средний темп роста можно рассчитать следующим образом:

Рассчитаем прогноз объема продаж:

на 2012 г.:

= 317,16´1,0149 = 422,05 (шт.);

на 2013 г.:

 = 317,16´(1,0149)2 = 484,82 (шт.).

) Прогнозирование на основе уравнения тренда.

Для прогнозирования по прямой следует получить уравнение:

Для расчета параметров а0 и а1 решается система нормальных уравнений:

где n - число уровней ряда динамики,

t - условное обозначение фактора времени порядковыми номерами,

у - фактические уровни ряда динамики.

В качестве расчетных добавим в таблицу 3.11 гр. 3 и 4. В гр. 3 значения t возводим в квадрат (12 = 1, 22 = 4 и т.д.), в графе 4 находим произведение уt (91.06´1 = 91.06, 94.66´2 = 189.32 и т.д.). В систему нормальных уравнений подставляем данные итоговой строки, в которой предварительно произведем суммирование:

Умножим каждый член первого уравнения на 5,5, затем вычтем из второго уравнения первое:

Отсюда

а1 = .

Подставим его значение в первое уравнение, чтобы рассчитать параметр ао:

10ао +55´27.27 = 1904.9

ао = 1904.9 - 1499.85,

ао = .

Уравнение тренда примет вид:

 = 40.5 + 27.27´t.

Подставляя в него значения t для каждого года, найдем выровненные (теоретические) значения.

Для 1 г. = 40.5 + 27.27´1 = 67.77

для 2 г.  = 40.5 + 27.27´2 = 95.04 и т.д.

Занесем их в гр. 5 таблицы 3.9.

При этом сумма фактических значений у и сумма выровненных  должны приближенно быть равны:

å» åу (1904.9 » 1904.85).

Ряд выровненных значений  характеризует тенденцию стабильного возрастания объема продаж в среднем на 27.27 шт. в год.

Чтобы использовать уравнение тренда для экстраполяции временного ряда, в уравнение тренда подставляют продолженное значение времени. Например, для 11 г. t = 11 (продолжим нумерацию), тогда расчетный уровень ряда динамики, соответствующий 11 г.,

вычислим = 40.5 + 27.27´11 = 340.47 (шт.),

для 12 г.: = 40.5 + 27.27´12 =367.74 (шт.).

4) Расчет ошибки прогноза по каждой из моделей.

Представим расчеты в форме табл. 3.12. Значения прогнозируемого показателя, полученные по каждому из методов, возьмем из расчетов и занесем в соответствующие ячейки таблицы.

Далее определим ошибку прогноза по формуле:

.

Таблица 3.12

Сравнительная таблица результатов прогнозирования

Задание 6

На основе приведенных в табл. 4.14 данных были получены две модели с лаговыми переменными:

1.       ,

где а = 8,11 -  , b0 = 3,11+ , b1 = 1,89 + , b2 = 11,37 - , b3 = 4,44 - .

2.       ,

где а = 5 -  , b0 = 0,93+ , b1 = 0,24 +

Рассчитать прогнозные значения у и ошибку прогноза по каждой модели на 11-12-ый периоды, если:

Таблица 4.14

Решение

1.       ,

2.       ,

В качестве расчетных добавим в таблицу 3.13 гр. 3-6. В гр. 3 производим сдвиг факторного показателя хt на 1 момент времени, в графах 4 и 5 - соответственно на 2 и 3 момента времени. В гр.6 осуществляем сдвиг результативного показателя yt на 1 момент времени.

Подставляя соответствующие значения факторных переменных в модели, найдем прогнозные значения результативного показателя yt и соответствующие им ошибки прогноза

()

Таблица 3.13

Динамика объема продаж и численности работников

Для модели 1:

-й год: y = 6.25+ 4.97*24.26+ 3.75*23.63+ 9.51*22.02+ 2.58*19.49

у = 475.1

Ошибка прогноза = (475.1 - 89.76) / 89.76* 100 = 429.3%.

-й год: y = 6.25+ 4.97*25.11+ 3.75*24.26+ 9.51*23.63+ 2.58*22.02

у = 503.5

Ошибка прогноза = (503.5 - 89.76) / 89.76* 100 = 459.9%.

Для модели 2:

-й год: y = 3.14+ 2.79*24.26+ 2.10*89.14

у = 258

Ошибка прогноза = (258 - 89.76) / 89.76 * 100 = 187.5%.

-й год: y = 3.14+ 2.79*25.11+ 2.10*89.76

у = 262

Ошибка прогноза = (262- 89.94) / 89.94 * 100 = 191.0%.

Вывод: В данном случае более точной оказалась модель авторегрессии , так как позволяет получить меньшие значения ошибок прогноза.

Список литературы

1.       Бутакова М.М. Экономическое прогнозирование: методы и приемы практических расчетов: учебное пособие / М.М. Бутакова. − 2-еизд., испр. − М.: КНОРУС, 2010. − 168 с.

2.       Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: учебное пособие / Ю.В. Васильков. − М.: Финансы и статистика, 2002. − 256 с.

.         Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие / Е.С. Кундышева. - М. Дашков и К, 2004. − 352 с.

.         Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге: учеб. пособие для вузов / Федосеев В.В., Эриашвили Н.Д. − 2-е изд., перераб. и доп. − М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 159 с.