Математическое и компьютерное моделирование процесса перестрахования рисков
Содержание
Введение
. Модель индивидуального риска.
Перестрахование рисков
1.1 Определение величины премии в модели
индивидуального риска
.2
Определение размера страхового портфеля в модели индивидуального риска
.3 Перестрахование рисков и анализ
доходов страховой компании
.4
Определение предела собственного удержания при перестраховании рисков
2.
Математическое моделирование индивидуального риска и перестрахования рисков
2.1 Моделирование величины премии в
модели индивидуального риска
.2
Моделирование размера страхового портфеля в модели индивидуального риска
.3
Перестрахование рисков и анализ доходов страховой компании
.4
Моделирование предела собственного удержания при перестраховании рисков
3. Компьютерное моделирование процесса
индивидуального риска и процесса перестрахование рисков в среде Delphi
Заключение
Список
использованных источников
Введение
Страхование - механизм экономической защиты собственности и жизни
человека от потерь или повреждений, возникающих в результате нежелательных
происшествий, таких как пожар, несчастный случай, смерть, нетрудоспособность и
т.п., с учетом оплаты, пропорциональной предполагаемому риску.
Интерес к теории страхования жизни развивается вместе с развитием
страхового рынка - важной части свободной рыночной экономики. Актуарный анализ,
в частности, становится неотъемлемым аспектом деятельности серьезных страховых
компаний и банков. Страхование как система защиты имущественных интересов
граждан, организаций и государства является необходимым элементом современного
общества
Перестрахование - это система экономических отношений, в соответствии с
которой страховщик, принимая на страхование риски, часть ответственности по ним
передает на согласованных условиях другим страховщикам с целью создания
сбалансированного портфеля страхований, обеспечения финансовой устойчивости
страховых операций.
Перестрахование представляет собой страхование одним страховщиком
(перестрахователем) на определенных договором условиях риска исполнения всех
или части своих обязательств перед страхователем у другого страховщика
(перестраховщика).
Страховая защита субъектов хозяйствования и населения имеет в настоящее
время большое значение, так как необходимо обеспечить непрерывность
общественного производства, зависящего от разного вида непредвиденных событий,
дать определенные гарантии социальной защите населения и др. Страхование всегда
связано с определенным риском потери страховых средств. Поэтому рассмотрение и
исследование моделей краткосрочного страхования и перестрахования рисков
является актуальной задачей.
Целью дипломной работы является математическое и компьютерное
моделирование процесса перестрахования рисков.
Задачами дипломной работы являются математическое и компьютерное
моделирование:
величины премии в модели индивидуального риска;
размера страхового портфеля в модели индивидуально риска;
доходов страховой компании при перестраховании рисков;
предела собственного удержания при перестраховании рисков.
Разработанное в рамках дипломной работы программное обеспечение может
использоваться страховыми компаниями на практике для нахождения стоимости
полиса и размера портфеля, анализа доходов и определения оптимального предела
удержания.
1. Модель индивидуального риска.
Перестрахование рисков
В актуарной математике модели страхования жизни условно делят на две
большие группы в зависимости от того, принимается или нет в расчет доход от
инвестирования собранных премий. Если нет, то говорят о краткосрочном
страховании (short-term insurance); обычно в качестве такого
"короткого" интервала рассматривается интервал в 1 год. Если же да,
то говорится о долгосрочном страховании (long-term insurance). Конечно, это
деление условное и, кроме того, долгосрочное страхование связано с рядом других
обстоятельств, например, андеррайтингом.
Простейший вид страхования жизни заключается в следующем.
Страхователь платит страховой компании 
руб. (эта сумма называется страховой
премией - premium); страхователем может быть сам застрахованный или другое лицо
(например, его работодатель).
В свою очередь страховая компания обязуется выплатить лицу, в пользу
которого заключен договор, страховую сумму (sum assured) 
руб. в случае смерти застрахованного
в течение года по причинам, перечисленным в договоре (и не платит ничего, если
он не умрет в течение года или умрет по причине, которая не покрывается
договором).
Страховая сумма часто принимается равной 1 или 1000. Это означает, что
премия выражается как доля от страховой суммы или на 1000 страховой суммы соответственно.
Величина страховой выплаты (benefit), конечно, много больше, чем
страховая премия, и нахождение "правильного" соотношения между ними -
одна из важнейших задач актуарной математики.
Вопрос о том, какую плату страховая компания должна назначать за то, что
принимает на себя тот или иной риск, крайне сложен. При его решении учитывается
большое число разнородных факторов: вероятность наступления страхового случая,
его ожидаемая величина и возможные флуктуации, связь с другими рисками, которые
уже приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела,
соотношение между спросом и предложением по данному виду рисков на рынке
страховых услуг и т.д. Однако основным обычно является принцип эквивалентности
финансовых обязательств страховой компании и застрахованного.
Рассмотрим простейшую схему страхования. Плата за страховку полностью
вносится в момент заключения договора, обязательство застрахованного выражается
в уплате премии . Обязательство компании заключается в выплате страховой
суммы, если наступит страховой случай. Таким образом, денежный эквивалент
обязательств страховщика, 
, является случайной величиной:
В простейшей форме принцип эквивалентности обязательств выражается
равенством
,
т.е. в качестве платы за страховку назначается ожидаемая величина убытка.
Эта премия называется нетто-премией (net premium).
Купив за фиксированную премию руб. страховой полис, страхователь
избавил выгодоприобретателя от риска финансовых потерь, связанных с
неопределенностью момента смерти застрахованного. Однако сам риск не исчез; его
приняла на себя страховая компания.
Поэтому равенство 
на самом деле не выражает эквивалентности обязательств
страхователя и страховщика. Хотя в среднем и страховщик, и страхователь платят
одну и ту же сумму, страховая компания имеет риск, связанный с тем, что в силу
случайных обстоятельств ей, может быть, придется выплатить гораздо большую
сумму, чем 
. Страхователь же такого риска не имеет. Поэтому было бы
справедливо, чтобы плата за страховку включала некоторую надбавку 
, которая служила бы эквивалентом
случайности, влияющей на компанию. Эту надбавку называют страховой (или
защитной) надбавкой (или нагрузкой) (security loading), а 
- относительной страховой надбавкой
(relative security loading). Величина защитной надбавки определяется такой,
чтобы вероятность того, что компания будет иметь потери по некоторому портфелю
договоров ("разорится"), была достаточно малой величиной.
Следует отметить, что реальная плата за страховку (брутто-премия или
офисная премия) - больше нагруженной нетто-премии (часто в несколько раз).
Разница между ними позволяет страховой компании покрыть административные
расходы, обеспечить доход и т.д.
Точный расчет защитной надбавки может быть произведен в рамках теории
риска.
Простейшей моделью функционирования страховой компании, предназначенной
для расчета вероятности разорения, является модель индивидуального риска. Она
базируется на следующих упрощающих предположениях:
) анализируется фиксированный относительно короткий промежуток
времени (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от
инвестирования активов) - обычно это один год;
) число договоров страхования 
фиксировано и неслучайно;
) премия полностью вносится в начале анализируемого периода;
никаких поступлений в течение этого периода нет;
) наблюдается каждый отдельный договор страхования и известны
статистические свойства связанных с ним индивидуальных потерь 
.
Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные
величины 
- независимы (в частности,
исключаются катастрофы, когда одновременно по нескольким договорам наступают
страховые случаи).
В рамках этой модели "разорение" определяется суммарными потерями
по портфелю 
. Если эти суммарные выплаты больше, чем активы компании,
предназначенные для выплат по этому блоку бизнеса, 
, то компания не сможет выполнить все
свои обязательства (без привлечения дополнительных средств); в этом случае
говорят о "разорении".
Итак, вероятность "разорения" компании равна
.
Иными словами, вероятность "разорения" - это дополнительная
функция распределения величины суммарных потерь компании за рассматриваемый
промежуток времени.
Поскольку суммарные выплаты 
представляют собой сумму независимых
случайных величин, распределение случайной величины может быть подсчитано с помощью
классических теорем и методов теории вероятностей.
Прежде всего - это использование сверток. Напомним, что если 
и 
- две независимые неотрицательные
случайные величины с функциями распределения 
и 
соответственно, то функция
распределения их суммы 
может быть подсчитана по формуле
.
Применяя эту формулу несколько раз, можно подсчитать функцию
распределения суммы любого числа слагаемых. Если
случайные величины и - непрерывны, то обычно работают с плотностями 
и 
. Плотность суммы может быть
подсчитана по формуле
.
Если случайные величины и - целочисленные, то вместо функций распределения обычно
работают с распределениями
.
Распределение суммы 
может быть определено по формуле
.
Подсчет вероятности разорения часто упрощается, если использовать
производящие функции и/или преобразования Лапласа.
Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому подсчет
вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого
числа слагаемых. В этом случае точный непосредственный численный расчет может
привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако обстоятельство,
затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого
приближенного расчета. Это связанно с тем, что при росте вероятность 
часто имеет определенный предел
(обычно нужно, чтобы 
определенным образом менялось вместе с ), который можно принять в качестве
приближенного значения этой вероятности. Точность подобных приближений обычно
велика и удовлетворяет практические потребности. Основным является нормальное
(гауссовское) приближение.
Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме теории
вероятностей. В простейшей формулировке эта теорема выглядит следующим образом:
если случайные величины независимы и одинаково распределены со средним 
и дисперсией 
, то при 
функция распределения центрированной
и нормированной суммы
имеет предел, равный
.
Существуют многочисленные обобщения центральной предельной теоремы на
случаи, когда слагаемые 
имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д.
Ограничимся утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно,
чтобы имело бы порядок нескольких
десятков), а слагаемые не очень малы и не очень разнородны, то применимо
гауссовское приближение для вероятности
.
Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая
центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного
указания на сферу применения. Стандартная
гауссовская функция распределения 
детально изучена в теории
вероятностей. Существуют подробные таблицы как для самой функции распределения 
, так и для плотности
.
Некоторые значения 
приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1 - Значения функции 
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0
|
15,87%
|
2,0
|
2,28%
|
3,0
|
0,14%
|
|
1,1
|
13,57%
|
2,1
|
1,79%
|
3,1
|
0,10%
|
|
1,2
|
11,51%
|
2,2
|
1,39%
|
3,2
|
0,069%
|
|
1,3
|
9,68%
|
2,3
|
1,07%
|
3,3
|
0,048%
|
|
1,4
|
8,08%
|
2,4
|
0,82%
|
3,4
|
0,034%
|
|
1,5
|
6,68%
|
2,5
|
0,62%
|
3,5
|
0,023%
|
|
1,6
|
5,48%
|
2,6
|
0,47%
|
3,6
|
0,020%
|
|
1,7
|
4,46%
|
2,7
|
0,35%
|
3,7
|
0,011%
|
|
1,8
|
3,59%
|
2,8
|
0,26%
|
3,8
|
0,007%
|
|
1,9
|
2,87%
|
2,9
|
0,19%
|
3,9
|
0,005%
|
Полезно также иметь таблицу квантилей 
(квантиль определяется как корень уравнения 
), отвечающих достаточно малой
вероятности разорения 
, они также приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2 - Значения квантилей 
|
|
|
|
|
|
0,1%
|
3,090
|
3%
|
1,881
|
|
0,5%
|
2,576
|
4%
|
1,751
|
|
1%
|
2,326
|
5%
|
1,645
|
|
2%
|
2,054
|
10%
|
1,282
|
Физические и юридические лица заключают договор страхования со страховыми
компаниями для того, чтобы избавиться от финансовых потерь, связанных с
неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. До заключения
договора страхования клиент имел некоторый риск, который мог привести к
случайным потерям. После заключения договора страхования, клиент избавился от
этого риска. Иными словами, клиент идет на небольшие детерминированные расходы
с тем, чтобы избавиться от случайных потерь, которые хоть и маловероятны, но
могут быть катастрофически большими для него. Однако, сам риск не исчез - его
приняла на себя страховая компания. Другое дело, что, имея большой портфель
договоров, страховая компания обеспечивает себе крайне малую вероятность
разорения. Тем не менее, возможны очень большие иски, которые приведут к
разорению компании. С этой точки страховая компания попадает в ту же ситуацию,
в которой первоначально (до заключения договоров страхования) находились ее
клиенты - существует опасность финансовых потерь, связанная с неопределенностью
предъявления очень больших исков.
Для решения этой проблемы страховые компании прибегают к средству -
страхованию своего риска в другой компании. Такой вид страхования называется
перестрахованием.
Компания, непосредственно заключающая договора страхования и желающая
перестраховать часть своего риска, называется передающей компанией, а компания,
которая страхует исходную страховую компанию, называется перестраховочной
компанией.
Предположим, что передающая компания самостоятельно оплачивает все иски
вплоть до некоторого предела 
рублей, а для исков, превышающих , оплачивает сумму самостоятельно и предъявляет иск на
оставшуюся сумму к перестраховочной компании.
Если это правило применяется к каждому индивидуальному иску, то такой вид
перестрахования называется перестрахованием превышения потерь. Параметр называется пределом удержания. Если
же это правило применяется к общему иску за некоторый период, то такой вид
перестрахования называется перестрахованием, останавливающим потери. Параметр в этом случае называется франшизой.
Перестраховочная компания принимает на себя риск от передающей компании
за определенную плату. В сущности, для перестраховочной компании операция
выглядит как обычное страхование. Поэтому плата за перестрахование
устанавливается на тех же принципах, что и премии для обычного страхования,
т.е. плата за перестрахование риска равна
,
где 
- ожидаемый иск к перестраховочной компании,
- относительная страховая надбавка, установленная
перестраховочной компанией.
Будем рассматривать договора перестрахования только с точки зрения
передающей компании. Поэтому будем считать, что относительная страховая
надбавка, установленная перестраховочной компанией, фиксирована. Основная
проблема будет заключаться в выборе договора перестрахования и, прежде всего, в
выборе основного числового параметра договора - предела удержания, оптимального
с точки зрения передающей компании.
1.1
Определение величины премии в модели индивидуального риска
Предполагается, что в компании застраховано 
человек с вероятностью смерти в
течение года 
. Компания выплачивает сумму 
в случае смерти застрахованного в
течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года.
Актуальными задачами являются:
определение суммарной премии,
определение суммарной нетто-премии,
определение суммарной защитной надбавки
достаточных для обеспечения вероятности разорения страховой компании
порядка 
%.
Для упрощения вычислений величина страховой суммы принимается в качестве
единицы измерения денежных сумм.
В этом случае выплаты по 
-му договору 
, принимают два значения: 0 и 1 с вероятностями 
и соответственно.
Поэтому среднее значение и дисперсия выплат по одному договору будут
равны
,
,
.
Для среднего значения и дисперсии суммарных выплат 
выполняется:
,
.
Используя гауссовское приближение центрированной и нормированной величины
суммарных выплат, вероятность неразорения компании представляется в следующем
виде:
.
По постановке модели требуется, чтобы вероятность разорения была не более
%. Для этого величина 
должна быть равной 
, т.е. 
(величины страховой суммы) или в
абсолютных цифрах 
- искомая суммарная премия.
Суммарная нетто-премия находится как 
, а суммарная защитная надбавка равна
.
1.2
Определение размера страхового портфеля в модели индивидуального риска
Рассмотрим задачу определение объема страхового портфеля на примере
следующей модели индивидуального риска.
Страховая компания предлагает договора страхования жизни на один год.
Информация относительно структуры покрытия приведена в таблице 1.3.
Таблица 1.3 - Структура страхового покрытия
|
Страховая сумма
|
Причина смерти
|
Вероятность
|
|
|
естественная
|
|
|
|
несчастный случай
|
|
Относительная защитная надбавка равна 
%.
Определение количества договоров необходимого для обеспечения вероятности
разорения порядка %.
Пусть - общее число проданных договоров, - выплаты по 
-му договору, - суммарные выплаты по всему
портфелю, - относительная защитная надбавка. Тогда премия по одному
договору равна
.
По условию 
. С другой стороны,
.
Поэтому
,
,
.
Отсюда для искомого числа договоров получаем:
.
1.3
Перестрахование рисков и анализ доходов страховой компании
Страхователь покупает договор группового страхования для группы,
состоящей из N человек. Страховщик назначает защитную надбавку θ%
и заключает договор
перестрахования чрезмерных индивидуальных потерь с пределом собственного
удержания r по каждому риску. Относительная защитная надбавка, используемая
перестраховщиком, равна θ*%.
В конце срока действия договора страховщик подсчитывает баланс доходов и
расходов. Доходы включают премию, а расходы состоят из выплаченных страховых
возмущений (исключая долю перестраховщика), платы за перестрахование и
административных расходов в размере s% от премии.
Определяется величина ожидаемого дохода страховщика по окончании срока
договора, если распределение индивидуальных потерь задается таблицей 1.4.
Таблица 1.4 - Распределение индивидуальных потерь
|
Величина потерь
|
0
|
a
|
b
|
|
Вероятность
|
1-(p+q)
|
p
|
q
|
Пусть - размер выплат i-му застрахованному (таблица 1.4 содержит
распределение этих случайных величин), 
- доля страховщика, 
- доля перестраховщика в страховом
возмущении i-му застрахованному.
Ожидаемые потери перестраховщика по одному застрахованному равны 
.
Соответственно общие ожидаемые потери перестраховщика равны 
. Значит, плата за перестраховочную
защиту есть
.
Пусть 
- доля страховщика в суммарных потерях. Найдем распределение
этой случайной величины. Для этого подсчитывается ее производящая функция:
.
Коэффициенты при степенях z дают искомое распределение.
Поскольку суммарная премия по договорам страхования равна 
, плата за перестраховочное покрытие
равна , административные расходы равны 
, размер дохода по окончании срока
договоров равен
.
Распределение случайной величины D получается из распределения случайной
величины 
. Средний ожидаемый доход страховщика
будет равен 
.
1.4
Определение предела собственного удержания при перестраховании рисков
Компания заключает N однотипных договоров страхования жизни сроком на 1
год. Структура страхового покрытия приведена в таблице 1.5.
Таблица 1.5 - Структура страхового покрытия
|
Вероятность
|
Страховая сумма
|
|
Смерть по естественным причинам
|
p
|
a
|
|
Смерть от несчастного случая
|
q
|
b
|
Компания устанавливает плату за страховку, исходя из вероятности
разорения R%.
Страховая компания предполагает заключить договор перестрахования
чрезмерных потерь с пределом удержания r (
).
Перестраховочная компания устанавливает относительную страховую надбавку
равную 
%.
Определить значение предела собственного удержания r, которое бы
минимизировало вероятность того, что для выплат по рассматриваемому портфелю
будет нужно привлекать дополнительные средства (вероятность разорения).
Пусть - размер выплат i-му застрахованному (таблица 1.5 содержит
распределение этих случайных величин). Ожидаемое значение выплат по одному
договору есть 
, а дисперсия 
.
Пусть 
- суммарные потери страховщика. Тогда ожидаемые потери
страховщика по всем договорам есть , а дисперсия 
.
Используя гауссовское приближение центрированной и нормированной величины
суммарных выплат, вероятность неразорения компании представляется в следующем
виде:
.
По постановке модели требуется, чтобы вероятность разорения была не более
%. Для этого величина должна быть равной , т.е.
,
где u - фонд страховой компании.
С другой стороны фонд компании равен:
,
где - защитная надбавка страховщика.
Тогда получаем, что
.
Выражая , получаем:
.
Тогда фонд страховой компании равен:
.
Предположим теперь, что компания решает перестраховать иски, превышающие
r рублей (
) в перестраховочной компании. В этом случае 
- выплата страховой компании по
одному договору (таблица 1.6 содержит распределение этих случайных величин).
Таблица 1.6 - Распределение случайной величины 
|
Страховая сумма
|
a
|
r
|
|
Вероятность
|
p
|
q
|
Ожидаемые потери после перестрахования равны 
по одному договору и 
по всему портфелю (где 
- суммарные потери страховщика после
перестрахования). Дисперсия затрат равна 
по одному договору и 
по всему портфелю.
Для перестраховочной компании среднее значение выплаты по одному договору
есть
.
Поэтому плата за перестрахование одного договора равна
.
Тогда общая плата за перестрахование есть
.
После перестрахования премия, собранная компанией, уменьшится с величины
u до величины
.
Для вероятности 
того, что суммарные выплаты страховой компании, , больше, чем активы компании, 
, с помощью гауссовского приближения
имеем:
.
Таким образом, для минимизации вероятности разорения , нужно выбрать параметр r таким
образом, чтобы функция 
принимала наибольшее значение.
2. Математическое моделирование
индивидуального риска и перестрахования рисков
2.1
Моделирование величины премии в модели индивидуального риска
Предполагается, что в компании застраховано 
человек с вероятностью смерти в
течение года 
. Компания выплачивает сумму 
в случае смерти застрахованного в
течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года.
Определяется:
величина суммарной премии,
величина суммарной нетто-премии,
величина суммарной защитной надбавки
достаточные для обеспечения вероятности разорения страховой компании
порядка 
%.
Принимаем величину страховой суммы в качестве единицы измерения денежных
сумм. В этом случае выплаты по -му договору , принимают два значения: 0 и 1 с вероятностями и соответственно. Поэтому
,
,
.
Для среднего значения и дисперсии суммарных выплат выполняется:
,
.
Вероятность неразорения компании представляется в следующем виде:
.
По условию требуется, чтобы вероятность разорения была не более 5%. Для
этого величина 
должна быть равной 
, т.е. 
(величины страховой суммы) или в
абсолютных цифрах 
- искомая суммарная премия.
Суммарная нетто-премия равна 
, а суммарная защитная надбавка равна
.
2.2
Моделирование размера страхового портфеля в модели индивидуального риска
Страховая компания предлагает договора страхования жизни на один год.
Информация относительно структуры покрытия приведена в таблице 2.1.
Таблица 2.1 - Структура страхового покрытия
|
Страховая сумма
|
Причина смерти
|
Вероятность
|
|
|
естественная
|
|
|
|
несчастный случай
|
|
Относительная защитная надбавка равна 
%.
Определяется количество договоров необходимое для обеспечения вероятности
разорения порядка 
%.
- общее число проданных договоров, - выплаты по -му договору, - суммарные выплаты по всему
портфелю, - относительная защитная надбавка. Тогда премию по одному
договору равна
.
По постановке, 
. С другой стороны,
.
Поэтому
.
Отсюда для искомого числа договоров получаем:
.
Найдем значения 
и для индивидуального договора:
,
.
Тогда
.
2.3
Перестрахование рисков и анализ доходов страховой компании
Страхователь покупает договор группового страхования для группы,
состоящей из N = 4 человек. Страховщик назначает защитную надбавку θ = 20% и заключает договор
перестрахования чрезмерных индивидуальных потерь с пределом собственного
удержания r = 1 по каждому риску. Относительная защитная надбавка, используемая
перестраховщиком, равна θ* = 20%.
В конце срока действия договора страховщик подсчитывает баланс доходов и
расходов. Доходы включают премию, а расходы состоят из выплаченных страховых
возмущений (исключая долю перестраховщика), платы за перестрахование и
административных расходов в размере s = 5% от премии.
Определяется величина ожидаемого дохода страховщика по окончании срока
договора, если распределение индивидуальных потерь задается таблицей 2.2.
Таблица 2.2 - Распределение индивидуальных потерь
|
Величина потерь
|
0
|
a = 1
|
b = 8
|
|
Вероятность
|
1 - (p + q) = 0,5
|
p = 0,35
|
q = 0,15
|
Пусть - размер выплат i-му застрахованному, - доля страховщика, - доля перестраховщика в страховом
возмущении i-му застрахованному.
Распределение случайных величин 
и 
есть:
Ожидаемые потери перестраховщика по одному застрахованному равны
.
Соответственно общие ожидаемые потери перестраховщика равны
.
.
Пусть 
- доля страховщика в суммарных потерях. Найдем распределение
этой случайной величины. Для этого подсчитывается ее производящая функция:
.
Коэффициенты при степенях z дают искомое распределение. Оно приведено в
таблице 2.3.
Таблица 2.3 - Распределение величины доли страховщика в суммарных потерях
|
Выплата
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Вероятность
|
0,0625
|
0,25
|
0,375
|
0,25
|
0,0625
|
Поскольку суммарная премия по договорам страхования равна
,
плата за перестраховочное покрытие равна 
, административные расходы равны
,
размер дохода по окончании срока договоров есть
.
Распределение случайной величины D получается из распределения случайной
величины . Оно приведено в таблице 2.4.
Таблица 2.4 - Распределение дохода страховщика после окончания срока
договоров
|
Доход
|
2,028
|
1,028
|
0,028
|
-0,972
|
-1,972
|
|
Вероятность
|
0,0625
|
0,25
|
0,375
|
0,25
|
0,0625
|
Тогда средний ожидаемый доход страховщика будет равен
Вероятность разорения равна
.
2.4
Моделирование предела собственного удержания при перестраховании рисков
Компания заключает N = 10000 однотипных договоров страхования жизни
сроком на 1 год. Структура страхового покрытия приведена в таблице 2.5.
Таблица 2.5 - Структура страхового покрытия
|
Вероятность
|
Страховая сумма
|
|
Смерть по естественным причинам
|
p = 0,0002
|
a = 100000
|
|
Смерть от несчастного случая
|
q = 0,0005
|
b = 1000000
|
Компания устанавливает плату за страховку, исходя из вероятности разорения
R = 5%.
Страховая компания предполагает заключить договор перестрахования
чрезмерных потерь с пределом удержания r ().
Перестраховочная компания устанавливает относительную страховую надбавку
равную = 60%.
Определяется значение предела собственного удержания r, которое бы
минимизировало вероятность того, что для выплат по рассматриваемому портфелю
будет нужно привлекать дополнительные средства (вероятность разорения).
Для расчетов удобно использовать 100000 руб. как единицу измерения
денежных сумм, так что выплата по одному договору принимает значения 10, 1 и 0 с
вероятностями 0,0005, 0,002 и 0,9975 соответственно. Среднее значение выплаты
по одному договору есть
,
а дисперсия
.
Поскольку компания устанавливает брутто-премию p такой, чтобы вероятность
разорения была 5%, имеем:
.
Таким образом, нетто-премия по одному договору составляет 0,007 условных
единиц, а защитная надбавка 
, имеем:
,
тогда фонд компании составит 
условных единиц.
Компания решает перестраховать иски, превышающие r рублей, 
, в перестраховочной компании.
Поскольку 100000 руб. используется как единица измерения денежных сумм, r
меняется от 1 до 10. В этом случае выплата передающей компании по одному
договору, , принимает три значения: 1, r и 0 с вероятностями 0,002,
0,0005 и 0,9975 соответственно. Ее среднее значение и дисперсия равны
,
.
Среднее значение и дисперсия суммарных выплат по всему портфелю, 
, есть:
,
.
Для перестраховочной компании среднее значение выплаты по одному договору
есть
.
Поэтому плата за перестрахование одного договора равна
.
Общая плата за перестрахование всего портфеля есть
и поэтому после перестрахования премия, собранная компанией, уменьшится
до величины
Для вероятности 
того, что суммарные выплаты страховой компании, 
, больше, чем активы компании, 
, с помощью гауссовского приближения
имеем:
страховой риск математический моделирование
.
Таким образом, если мы хотим минимизировать вероятность , нужно выбрать параметр r таким
образом, чтобы функция
принимала наибольшее значение. Поскольку
,
оптимальное значение r=1,605, что в абсолютных цифрах соответствует
160500 руб.
Поскольку 
, вероятность разорения при этом пределе удержания равна
приблизительно 1,6%. Ожидаемый доход компании до перестрахования был равен
3750000 руб. (он подсчитывается как разность между собранными премиями и
ожидаемыми выплатами). После перестрахования ожидаемый доход компании стал
1230000 руб. Таким образом, уменьшение вероятности разорения достигнуто ценой
уменьшения ожидаемого дохода на 2520000 руб. Отметим, кроме того, что для
достижения такой же вероятности разорения без перестрахования необходимо
увеличить премию до величины
условных единиц,
или 1202 руб., то есть на 12%. Это означает увеличение общей премии по
всему портфелю до 12020000 руб., а ожидаемого дохода компании до 5020000 руб.
Конечно, с точки зрения страховой компании это гораздо лучше, чем 1230000 руб.
ожидаемого дохода в случае приобретения перестраховочного покрытия, но не надо
забывать о рыночных факторах - страхователи могут не согласиться приобретать
более дорогой продукт.
3. Компьютерное моделирование процесса
индивидуального риска и процесса перестрахование рисков в среде Delphi
В дипломной работе осуществляется компьютерное моделирование процесса
индивидуального риска и процесса перестрахования рисков в среде Delphi.
В ходе выполнения дипломной работы в программной среде Delphi было
разработано приложение, решающее в рамках модели индивидуального риска,
следующие задачи:
нахождения величины премии;
нахождения размера страхового портфеля
в модели индивидуального риска.
На рисунке 3.1 иллюстрируется выбор одной из двух рассматриваемых
моделей.
Рисунок 3.1 - Выбор модели
Рассмотрим реализацию задачи нахождения суммарных премий. При выборе
первой модели на экран выводится постановка задачи, что показано на рисунке
3.2.
Рисунок 3.2 - Модель вычисления суммарных премий
Рассмотрим данную модель при следующих исходных данных:
количество застрахованных 
,
вероятность смерти в течение года 
,
страховая сумма 
руб.,
вероятность разорения %.
Определяются:
суммарная премия,
суммарная нетто-премия,
суммарная защитная надбавка.
Ввод исходных данных показан на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 - Ввод исходных данных
Результаты, полученные с использованием приложения, приведены на рисунке
3.4.
Рисунок 3.4 - Результаты моделирования
Рассмотрим теперь реализацию задачи о нахождении количества договоров.
При выборе второй модели на экран также выводится постановка модели (рисунок
3.5).
Рисунок 3.5 - Модель нахождения количества договоров
Рассмотрим данную модель при следующих исходных данных.
Страховая компания предлагает договора страхования жизни на один год.
Информация относительно структуры покрытия приведена в таблице 3.1.
Таблица 3.1 - Структура страхового покрытия
|
Страховая сумма
|
Причина смерти
|
Вероятность
|
|
|
естественная
|
|
|
|
несчастный случай
|
|
Относительная защитная надбавка равна %.
Определяется количество договоров необходимое для обеспечения вероятности
разорения порядка %.
Ввод исходных данных в приложение показан на рисунке 3.6.
Рисунок 3.6 - Ввод исходных данных
Результаты, полученные с использованием приложения, приведены на рисунке
3.7.
Рисунок 3.7 - Результат моделирования
При неизменной структуре страхового покрытия и неизменной вероятности
разорения будем изменять величину защитной надбавки. Получаем график
зависимости количества договоров от защитной надбавки (рисунок 3.8).
Рисунок 3.8 - График зависимости размера портфеля от величины защитной
надбавки
Этот график показывает, что даже при незначительном увеличении величины
защитной надбавки происходит значительное уменьшение необходимого количества
договоров 
.
В ходе выполнения дипломной работы в программной среде Delphi было
разработано приложение, решающее задачу нахождения распределения и среднего
ожидаемого дохода страховой компании после перестрахования чрезмерных потерь.
На рисунке 3.9 иллюстрируется исходный интерфейс программы.
Рисунок 3.9 - Исходный интерфейс программы
Рассмотрим данную модель при следующих исходных данных:
количество договоров 
;
защитная надбавка 
;
предел собственного удержания 
;
защитная надбавка перестраховщика 
;
административные затраты 
.
Распределение индивидуальных потерь задается в таблице 3.2.
Таблица 3.2 - Распределение индивидуальных потерь
|
Величина потерь
|
0
|
a=1
|
b=8
|
|
Вероятность
|
1-(p+q)=0,5
|
p=0,35
|
q=0,15
|
Определяется:
распределение дохода;
средний ожидаемый доход.
Ввод исходных данных показан на рисунке 3.10.
Рисунок 3.10 - Ввод исходных данных
Результаты, полученные с использованием приложения, приведены на рисунке
3.11.
Рисунок 3.11 - Анализ доходов страховщика
В ходе выполнения дипломной работы в программной среде Delphi было
разработано приложение, решающее задачу определения предела собственного
удержания при перестраховании рисков. Рассмотрим данную модель при следующих
исходных данных.
Компания заключает N=10000 однотипных договоров страхования жизни сроком
на 1 год. Структура страхового покрытия приведена в таблице 3.3.
Таблица 3.3 - Структура страхового покрытия
|
Вероятность
|
Страховая сумма
|
|
Смерть по естественным причинам
|
p=0,0002
|
a=100000
|
|
Смерть от несчастного случая
|
q=0,0005
|
b=1000000
|
Компания устанавливает плату за страховку, исходя из вероятности
разорения R=5%.
Страховая компания предполагает заключить договор перестрахования
чрезмерных потерь с пределом удержания r ().
Перестраховочная компания устанавливает относительную страховую надбавку
равную =60%. Определяется значение предела собственного удержания r, которое бы
минимизировало вероятность того, что для выплат по рассматриваемому портфелю
будет нужно привлекать дополнительные средства (вероятность разорения). На рисунке 3.12 иллюстрируется исходный интерфейс программы.
Рисунок 3.12 - Исходный интерфейс программы
Ввод исходных данных показан на рисунке 3.13.
Рисунок 3.13 - Ввод исходных данных
Результаты, полученные с использованием приложения, приведены на рисунке
3.14.
Рисунок 3.14 - Результаты моделирования
Заключение
В дипломной работе в рамках модели индивидуального риска было проведено
математическое и компьютерное моделирование процесса перестрахования рисков.
Было проведено математическое моделирование:
величины премии в модели индивидуального риска;
размера страхового портфеля в модели индивидуально риска;
доходов страховой компании при перестраховании рисков;
предела собственного удержания при перестраховании рисков.
Опираясь на полученные математические модели, в программной среде Delphi
были разработаны компьютерные модели, позволяющие находить стоимость страхового
полиса и размера портфеля, анализировать доходы страховой компании и определить
оптимальный предел собственного удержания при перестраховании рисков.
Разработанное программное обеспечение, в рамках которого была реализована
компьютерная модель процесса страхования и перестрахования рисков может
использоваться на практике страховыми компаниями.
Список
использованных источников
1. Фалин Г.И. Актуарная математика в
задачах / Г.И. Фалин, А.И. Фалин. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 192 с.
. Медведев Г.А. Математические модели
финансовых рисков. Риски страхования /
Г.А. Медведев. - Мн.: БГУ, 2001. - 278 с.
. Buhlmann H. Mathematical Methods in
Risk Theory / H. Buhlmann. - Berlin:
Springer-Verlag, 1996. - 324 с.
. Ротарь В.И Введение в математическую
теорию страхования / В.Е. Бенинг, В.И. Ротарь // Обозрение прикладной и
промышленной математики, 1994. - №5. - С. 698-779.
. Gerber H. An Introduction to
Mathematical Risk Theory/ Н. Gerber. Homewood: Irwin Inc., 1979. - 285 p.
. Daykin C. Practical Risk Theory for
Actuaries / C. Daykin, T. Pentikainen, M.
Pesonen. - London: Chapman & Hall, 1994. - 574 p.
. Эмбрехтс П. Некоторые аспекты страховой математики / П. Эмбрехтс, К. Клюппельберг // Теория вероятностей и её
применения. 1993. - Т. 38, вып. 2. С. 374-416.