Математические методы и модели управления
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ
ЗАВЕДЕНИЕ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
НАУЧНО-УЧЕБНЫЙ ИНСТИТУТ
ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ И МЕНЕДЖМЕНТА
ФАКУЛЬТЕТ МЕНЕДЖМЕНТА
КАФЕДРА Экономической кибернетики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине "Прогнозирование
социальных экономических процессов"
на тему: "Математические методы
и модели управления"
Студентки Доронкиной Е.А.
-ий курс группы ЭК - 10 (з)
Экономика предприятия
Специальность
Экономическая_кибернетика
Преподаватель
Горчакова И.А. к. п. н., доц.
г. Донецк - 2013 год
Задание
Экономический показатель У зависит от трех
факторов, на основе статистических данных за 16 периодов
построить корреляционную матрицу. Используя χ2-критерий, с надежностью Р=0,95
оценить наличие общей мультиколлинеарности. Если существует общая
мультикoллинeapноcть, то, используя t-статистику с надежностью Р = 0,95,
обнаружить пары факторов, между которыми существует мультиколлинеарность. Если
таки пары существуют, то один из факторов этой пары исключить из рассмотрения.
Используя F-критерий с надежностью Р=0,95,
проверить статистическую значимость коэффициента детерминации (оценить
адекватность принятой математической модели статистическим данным на основе
критерия Фишера).
Если математическая модель с заданной
надежностью адекватная экспериментальным данным, то используя t-статистику, с
надежностью Р=0,95 оценить значимость параметров регрессии, найти значение
прогноза показателя для заданных значений факторов, его доверительный интервал
с надежностью Р=0,95, коэффициенты, частей эластичности, для точки прогноза. На
основе полученных расчетов сделать экономический анализ.
Ход работы:
Таблица 1. Исходные данные
Общий вид множественной линейной модели:
,
ε - стохастическая компонента (случайная);
У - зависимая
переменная;
Х -
переменная, которая влияет на показатель у;
αi - параметры модели.
Вводится гипотеза, что между показателем У и факторами Х1,
Х2, Х3 существует линейная связь:
У - зависимая
переменная;
Х - переменная,
которая влияет на показатель у;
аi
- оценки параметров модели, найденные по выборке.
Исходные данные факторов размещаем в блоке В3: D18, а показатели в
столбце Е3: Е18. В диапазон А3: А18 вводим единичный вектор, так как у нас
присутствует параметр а0.
Матрица нормализованных статистических данных находится в ячейках
М3: Р18, Утеор - в столбце F3: F18.
Промежуточные расчеты находятся в диапазоне G3: L18. В строке В22:
Е22 находим средние значения, а в строке G22: L18 суммарные значения.
Построение
корреляционной матрицы
Корреляционная матрица имеет вид:
Корреляционная матрица симметрична, по главной диагонали. Все
элементы главной диагонали равны 1.
Расчет корреляционной матрицы:
- При помощи встроенной функции КОРРЕЛ:
Корреляционная матрица рассчитана в блоке A56: C58.
Таблица 2
Корреляционная матрица
1
|
0,992929
|
0,972941
|
|
1
|
0,987018
|
|
|
1
|
- Корреляционную матрицу находят по формуле:
Размер полученной матрицы:
адекватность модель математический метод
- матрица нормализованных статистических данных, которая имеет
вид:
Элементы данной матрицы находятся по формуле:
Таблица 3
Матрица нормализованных статистических данных
Транспонируем матрицу . Для этого выделяем ячейки A56: P58. В ячейку А56 вводим формулу
=ТРАНСП (М3: О18).
Найдем произведение и поместим в ячейки A64: C66. Вводим формулу =МУМНОЖ (А56: Р58;
М3: О18).
В блоке А64: С66 мы получили корреляционную матрицу вторым
способом.
Если > в модели имеется общая мультиколлинеарность с доверительной
вероятностью 0,95.
находят в таблице "Критические точки распределения χ2"
уровень значимости 0,05;
степени свободы 1/2m (m-1) =1/2*3* (3-1) =3.
=7,81.
,
где
n -
количество показателей;
m -
количество факторов;
R=K-1, R - матрица, обратная к матрице К;
К -
корреляционная матрица.
Найдем матрицу обратную к корреляционной. Для этого вводим формулу
=МОБР (A68: C70) в ячейку А68. В ячейке В71 находим определитель матрицы R по
формуле =МОПРЕД (А68: С70).
находим в ячейке В72 по формуле = (16-1-11/6) *LN (В71)
= 106,24.
Так как > в модели имеется общая мультиколлинеарность с доверительной
вероятностью 0,95.
2. Так как в модели имеет место мультиколлинеарность,
необходимо выяснить между какими факторами она присутствует
Если tрасч >tкр, то между
рассматриваемыми двумя факторами имеет место мультиколлинеарность.
tкр находят при помощи функции СТЬДРАСПРОБР:
уровень значимости - 0,05;
степени свободы - n-m-1=16-3-1=12кр= 2,18.
tрасч рассчитывается по
формуле:
;
- частный коэффициент корреляции.
Частный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между первым и вторым фактором,
когда третий фактор зафиксирован, то есть его влияние исключено.
,
- элементы матрицы R (R=K-1)
Таблица 4. Частичный коэффициент корреляции
r12,3=
|
0,878986
|
r13,2=
|
-0,37227
|
r23,1=
|
0,764051
|
На основании частного коэффициента корреляции рассчитаем tрасч
Таблица 5. Т-статистика
t12,3расч=
|
6,385478
|
t13,2расч=
|
-1,38947
|
t23,1расч=
|
4,102499
|
Так как t12.3>tкр, то между 1
и 2 факторами имеет место мультиколлинеарность
Так как t23.1>tкр, то между 2
и 3 факторами имеет место мультиколлинеарность.
Таким образом из модели выбрасываем 2 фактор.
Второй этап
теста на мультиколлинеарность
Оценки параметров модели
) - транспонирование матрицы Х;
Матрицу рассчитываем в блоке А104: Р106. =ТРАНСП
(A86: С101)
) - результат (1) умножить на матрицу Х;
Матрицу рассчитываем в блоке А108: С110.
) - найти обратную матрицу к результату
(2);
Матрицу рассчитываем в блоке А112: С114.
) - результат (1) умножить на матрицу У;
Матрицу рассчитываем в блоке А116: А118.
) - перемножить результаты (3) и (4);
Матрицу рассчитываем в блоке А120: А122.
Таблица 6
3,29020302
|
a0
|
0,86302424
|
a1
|
0,35968142
|
a2
|
Запустим функцию ЛИНЕЙН
Таблица 7
Результат работы функции ЛИНЕЙН
0,35968142
|
0,21878026
|
0,072965
|
0,99646299
|
0,664775
|
1126,89877
|
12
|
1494,01739
|
5,303111
|
F-статистика
Фишера проверки модели на адекватность
Если Fрасч>Fкр, то модель
адекватна статистическим данным (хотя бы один из параметров при Х не равен
нулю).расчетное:
находим в ячейке B129 по формуле = (K22/2) / (J22/12)
= 1822,57критическое
Fкр находится с помощью функции FРАСПОБР
уровень значимости - 0,05;
степень свободы 1 - m=1;
степень свободы 2 - n-m-1=16-1-1=14
Fкр находим в ячейке В128. Fкр= 3,74
Так как Fрасч>Fкр, то модель
адекватна статистическим данным.
Точечный прогноз:
.
В ячейку F19 вводим формулу =$A$46+$A$47*B19+$A$48*C19+$A$49*D19
Расчет доверительного интервала
, где
Найдем
) - транспонирование матрицы Х;
) - результат (1) умножить на матрицу Х;
) - найти обратную матрицу к результату
(2);
) - умножить на результат (3)
) Расчитываем .
) - результат (4) умножить на
) .
) Рассчитываем . В ячейку В141 вводим формулу =КОРЕНЬ (J22/13)
) . В ячейку В142 вводим формулу
=D81*B141*КОРЕНЬ (1+A140)
Доверительный интервал:
min =
38,800;.
мах
=41,856;
Частный коэффициент эластичности для прогноза рассчитываем
по формуле:
Частный коэффициент эластичности показывает на сколько процентов
изменится показатель Y при неизмененных значениях других факторов, если X1
изменится на 1%.
;
.
Система нормальных уравнений представлена ниже:
*а0+300,52*а1+318,16*а2+201,18*а3=384,36
,52*а0+7199,367*а1+6798,608*а2+4283,
19*а3=8742,584
,16*а0+6798,608*а1+6789,212*а2+4273,232*а3=8449,799
,18*а0+4283, 19*а1+4273,232*а2+2702,53ф2*а3=5330,47
Для расчета неизвестных коэффициентов множественной линейной
регрессии используем формулы Крамера:
; ; ; .
Таблица 8
d=
|
595023,1
|
|
|
d0=
|
3819035
|
a0=
|
6,418297
|
d1=
|
616559,5
|
a1=
|
1,036194
|
d2=
|
-316399
|
-0,53174
|
d3=
|
412444
|
a3=
|
0,693156
|
Выводы
Между факторами Х1, Х2 и Х3 существует мультиколлинеарность.
Так как t12.3>tкр, то между 1 и 2 факторами
имеет место мультиколлинеарность.
Так как t23.1>tкр, то между 2
и 3 факторами имеет место мультиколлинеарность.
Таким образом исключаем фактор Х2.
Так как Fрасч>Fкр, то с
надежностью 0,95 можна считать модель адекватной статистическим данным. На основании этой модели можно
делать экономические выводы.
Точечный прогноз =40,328 с надежностью 0,95 покрывается интервалом {38,800; 41,856}
При увеличении фактора Х1р на 1 % показатель Утеор
увеличится на 0,32 % от Ур при элиминировании фактора Х3.
Приложение
Таблица 1
Множественная линейная регрессия
Таблица 2
Режим формул