Исследование систем методом моделирования
Кафедра
«Теплофизика, автоматизация и экология печей»
Лабораторная
работа
Исследование
систем методом моделирования
Нижний
Новгород 2013
. Цель работы
ознакомиться с методикой математического
моделирования переходных процессов;
определить характеристики переходного процесса:
степень затухания, время регулирования, перерегулирование, период и частоту
колебаний.
. Теоретическая часть
Структурная схема для моделирования переходного
процесса имеет вид, представленный на рис. 1:
Рис 1. Структурная схема
Хвх Х=Хвх-Хвых
Хвых
Система, будучи замкнутой, представляет собой
колебательное звено. Для характеристики переходного процесса применяют
следующие характеристики:
Х1 - динамическое отклонение в единицах
регулируемой величины;
ХСТ - статическое отклонение, в нашем
случае равное нулю;
tР
- время регулирования, т.е. время установления нового значения величины,
заданного с некоторой точностью ± ε ( в
работе ε
=
5%).
Для характеристики затухания колебаний применяют
также другие величины:
степень затухания в долях единицы или в
процентах - ψ = (Х1-Х3)/Х1
- перерегулирование в долях единицы или в
процентах - η = Х2/Х1
3. Задание
Рассчитать переходный процесс при Коб=0,8;
Тоб=2; Кр=5,0(2 вар.). Построить график переходного
процесса. Сравнить полученные параметры с расчётными.
. Расчёт
Т2=1/(Коб∙ Кр)=0,25
Т1=
=0,71
моделирование переходный колебание
затухание
Проверим условие Т2< 2Т1:
,25<0,71*2=0,142
условие выполняется, значит, решением
дифференциального уравнения данной системы при ХВХ = 1 будет ХВЫХ
= 1 - е - αt
(cos (ωt)
- α·sin (ωt)/ω)
Найдем ω и
α
для
построения графика
α =
= 0,248
ω = 
=
1,303
С помощью. Microsoft
Excel получим таблицу
данных и график функции, являющейся решением дифференциального уравнения
|
i
|
t,с
|
exp(-αt)
|
cos
ωt
|
sin
ωt
|
exp(-αt)[cos
ωt-α/ω∙sin ωt]
|
Xвых
|
|
0
|
0
|
1,000
|
1,000
|
0,000
|
1,000
|
0,000
|
|
1
|
0,5
|
0,883
|
0,795
|
0,606
|
0,600
|
0,400
|
|
2
|
1,0
|
0,780
|
0,265
|
0,964
|
0,063
|
0,937
|
|
3
|
1,5
|
0,689
|
-0,374
|
0,927
|
-0,380
|
1,380
|
|
4
|
2,0
|
0,609
|
0,510
|
-0,583
|
1,583
|
|
5
|
2,5
|
0,538
|
-0,993
|
-0,116
|
-0,522
|
1,522
|
|
6
|
3,0
|
0,475
|
-0,720
|
-0,694
|
-0,279
|
1,279
|
|
7
|
3,5
|
0,420
|
-0,151
|
-0,988
|
0,015
|
0,985
|
|
8
|
4,0
|
0,371
|
0,479
|
-0,878
|
0,240
|
0,760
|
|
9
|
4,5
|
0,328
|
0,913
|
-0,407
|
0,325
|
0,675
|
|
10
|
5,0
|
0,289
|
0,973
|
0,230
|
0,269
|
0,731
|
|
11
|
5,5
|
0,256
|
0,635
|
0,773
|
0,125
|
0,875
|
|
12
|
6,0
|
0,226
|
0,036
|
0,999
|
-0,035
|
1,035
|
|
13
|
6,5
|
0,199
|
-0,577
|
0,816
|
-0,146
|
1,146
|
|
14
|
7,0
|
0,176
|
-0,954
|
-0,178
|
1,178
|
|
15
|
7,5
|
0,156
|
-0,940
|
-0,341
|
-0,136
|
1,136
|
|
16
|
8,0
|
0,138
|
-0,541
|
-0,841
|
-0,052
|
1,052
|
|
17
|
8,5
|
0,121
|
0,080
|
-0,997
|
0,033
|
0,967
|
|
18
|
9,0
|
0,107
|
0,668
|
-0,744
|
0,087
|
0,913
|
|
19
|
9,5
|
0,095
|
0,982
|
-0,187
|
0,097
|
0,903
|
|
20
|
10,0
|
0,084
|
0,894
|
0,447
|
0,068
|
0,932
|
|
21
|
10,5
|
0,074
|
0,440
|
0,898
|
0,020
|
0,980
|
|
22
|
11,0
|
0,065
|
-0,195
|
0,981
|
-0,025
|
1,025
|
|
23
|
11,5
|
0,058
|
-0,750
|
0,662
|
-0,051
|
1,051
|
|
24
|
12,0
|
0,051
|
-0,997
|
0,072
|
1,052
|
|
25
|
12,5
|
0,045
|
-0,837
|
-0,548
|
-0,033
|
1,033
|
|
26
|
13,0
|
0,040
|
-0,333
|
-0,943
|
-0,006
|
1,006
|
|
27
|
13,5
|
0,035
|
0,307
|
-0,952
|
0,017
|
0,983
|
|
28
|
14,0
|
0,031
|
0,821
|
-0,571
|
0,029
|
0,971
|
Найдем по графику переходного процесса ряд
характеристик:
. t1
- период: t1
= 8,3 с - 3,5 с = 4,8 с;
2. ω - частота; ω
= 2·π/ t1
= 2·3,14/4,8 = 1,301 (1/c);
. K
= 1;
. Т = 1/α = 4 с;
. tP
-
время регулирования; tP
= 11,8 c;
. ψ
- степень затухания; ψ = (0,6 - 0,3)/0,6 = 0,5 (50%);
. η
- перерегулирование; η = 0,28/0,6 = 0,47 (47%).
. X1=0,6
Сравним t1
и
ω
с
полученными расчетным путем значениями:
ω = 1,303-1,301 = 0,002 (1/с);
εω
= 0,002/1,303 = 0,0015 (0,15%);
t1
= 4,8 - 2·3,14/1,301 = 0,027 (с);
ε t1
=
0,027/4,8 = 0,0056 (0,56%).
Вывод
В ходе работы был изучен метод математического
моделирования переходных процессов и рассчитаны важнейшие характеристики
переходных процессов:
степень затухания ψ = 50%;
перерегулирование η = 47%;
время регулирования tP
= 11,8 с;
период колебаний: t1
= 4,8 с;
частота ω = 1,301 1/с.
При этом рассчитанные аналитически значения
частоты и периода мало отличаются от найденных на основе графика - на 0,15% и
0,56% соответственно.