Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона, а также графических методов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экономический факультет

Кафедра аналитической экономики и эконометрики

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

По теме: Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона, а также графических методов

Студентки 3 курса А.В. Пашкевич

дневного отделения «Международный менеджмент»

Минск, 2013

Содержание

Введение

1. Теоретическое и статистическое обоснование модели

1.1 Теоретическое описание модели

1.2 Статистическое обоснование модели

2. Построение и анализ эконометрической модели

2.1 Статистическая адекватность и проверка модели на мультиколлинеарность

2.2 Исследование автокорреляции графическим методом

2.3 Исследование автокорреляции с помощью статистики Дарбина-Уотсона

2.4 Исследование автокорреляции с помощью теста Сведа-Эйзенхарта

2.5 Исследование модели с помощью теста Бреуша-Годфри и анализ гетероскедастичности

3. Корректировка автокорреляции случайных отклонений

Заключение

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Введение

Данный курсовой проект подразумевает под собой построение экономической модели и, в соответствии с темой, её исследование на автокорреляцию первого порядка и коррекцию на основании полученных данных.

Понятие экономической модели, а именно модели множественной линейной регрессии, возникает тогда, когда мы говорим об воздействии нескольких экзогенных факторов (Х ≥ 2) на эндогенную переменную. Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными (Х) и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.

Целью курсового проекта является выполнение эконометрического моделирования в соответствии с выбранной темой на основании выбранных данных.

В качестве оцениваемых параметров я использовала оборот розничной торговли в текущих ценах под воздействием средней номинальной заработной платы, инвестиций в основной капитал и импорта товаров и услуг.

Выборку производила по временным поквартальным данным с 2004 по 1ый квартал 2013 года. В качестве исследуемой страны я выбрала Россию.

Соответствующие статистические данные представлены в приложении 1.

Для анализа модели будет использоваться эконометрический пакет Eviews. При помощи теста Сведа-Эйзенхарта, статистики Дарбина-Уотсона и графического метода будут проверены остатки построенной модели на наличие автокорреляции.

Итак, первоначальная модель множественной линейной регрессии переменной Y будет основываться на следующих объясняющих переменных X₁, X₂, Х_3:

X_{1 -} IMPORT, импорт товаров и услуг, млрд. руб

X_{2 -} INVEST, инвестиции в основной капитал, млрд (трлн) руб

Х_{3 -} ZP, средняя номинальная зарплата, руб/месяц

Наша зависимая переменнаяY обозначает:

Y - Rozn, оборот розничной торговли в текущих ценах, млрд.руб

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

построение исходной модели

оценка общего качества регрессии

анализ нарушения предпосылок МНК

выявление автокорреляции при помощи теста Сведа-Эйзенхарта

выявление автокорреляции при помощи статистики Дарбина-Уотсона

выявление автокорреляции при помощи графических методов

корректировка модели

1. Теоретическое и статистическое обоснование модели

.1 Теоретическое описание модели

Практически любой экономический показатель ощущает на себе влияние нескольких других факторов. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. В рамках нашей темы, мы будем говорить об множественной линейной регрессии. Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров - b₀, b₁, b₂, b_m. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). [1, стр.91-100]

Существует ряд предпосылок относительно случайного отклонения, при выполнении которых по МНК получаются наилучшие результаты.

Предпосылки МНК (условия Гаусса−Маркова):

1. Математическое ожидание случайного отклонения  равно нулю:(  ) = 0 для всех наблюдений.

Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом конкретном наблюдении случайный член может быть либо положительным, либо отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения.

. Дисперсия случайных отклонений  постоянна:( ) = D( ) = для любых наблюдений i и j.

Здесь мы говорим о гомоскедастичности отклонений модели (в случае соблюдения предпосылки) или о гетероскедастичности отклонения модели

. Случайные отклонения  и  являются независимыми друг от друга для i ≠ j. Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Другими словами, величина и определенный знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения. Поэтому, если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции.

. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных. Обычно это условие выполняется автоматически при условии, что объясняющие переменные не являются случайными в данной модели. Следует отметить, что выполнимость данной предпосылки не столь критична для эконометрических моделей.

. Модель является линейной относительно параметров.

Рассмотрим подробнее автокорреляцию случайных отклонений как нарушение предпосылки МНК.

Автокорреляция - это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.

Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами имеющими различную природу:

) наличие ошибок измерения в значениях результативного признака;

) модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

) модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;

) неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, изменить переменные, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.[1, с. 228]

Обнаружить автокорреляцию в модели можно различными способами:

.Графический метод;

.Метод рядов Сведа-Эйзенхарта;

.Критерий Дарбина-Уотсона;

.Тест Бреуша-Годфри;

.Графики автокорреляционных функций.

.2 Статистическое обоснование модели

Итак, как уже говорилось ранее, модель множественной линейной регрессии будет содержать следующие переменные:

X_{1 -} IMPORT, импорт товаров и услуг, млрд. руб₂ - INVEST, инвестиции в основной капитал, млрд (трлн) руб

Х₃ - ZP, средняя номинальная зарплата, руб/месяц

Y - Rozn, оборот розничной торговли в текущих ценах, млрд.руб

Оборот розничной торговли - стоимость товаров, проданных населению за наличный расчет для личного потребления или использования в домашнем хозяйстве. В оборот розничной торговли не включается стоимость товаров, отпущенных из розничной торговой сети юридическим лицам (в том числе организациям социальной сферы, спецпотребителям и т.п.) и индивидуальным предпринимателям, и оборот общественного питания.

Этот показатель формируется под влиянием множества факторов. Главным из них является спрос потребителей, который в свою очередь зависит от изменения доходов населения (показатель ZP). Мы предполагаем, что при увеличении доходов населения соответственно будет наблюдаться и увеличение оборота розничной торговли.

Объем товарооборота должен обосновываться, с одной стороны, спросом, который необходимо прогнозировать, а с другой стороны - должен формироваться с учетом критериев выгодности, так как от него зависят финансовое состояние предприятия и работников.

Поэтому я предполагаю, что инвестиции в основной капитал (показатель INVEST) сыграют положительную роль в создании и воспроизводстве основных средств (новое строительство, расширение, приобретение оборудования и т. д.), а это позволит улучшить качество и объем выпускаемой продукции, что приведет к увеличению оборота розничной торговли.

Я считаю, что влияние импорта товаров и услуг (показатель IMPORT) будет оказывать положительный эффект на оборот розничной торговли, так как с увеличением импорта увеличивается и персональный спрос на предлагаемые товары и услуги.

Итак, на основе данных по России в период с первого квартала 2004 года по первый квартал 2013 года, представленных в Приложении А, мы получаем следующие расчеты в программе Eviews 5 (рис. 1.1):

Рисунок 1.1 - Расчеты модели

Примечание - Источник: собственная разработка.

По этим данным строим регрессионную модель и анализируем её впоследствии:

ROZN = 33.23 + 3.83 IMPORT + 0.13 INVEST + 0.17 ZP

автокорреляция регрессия гетероскедастичность

2. Построение и анализ эконометрической модели

2.1 Статистическая адекватность и проверка модели на мультиколлинеарность

Задача состоит в оценке параметров множественной линейной регрессии, а также проверке как индивидуальной статистической значимости коэффициентов, так и общего качества модели.

1.  Гипотеза о статистической значимости коэффициента детерминации.

Для характеристики общего качества модели регрессии вводится величина, называемая коэффициент детерминации, равный в нашем случае R² = 0.996602. Эта величина показывает, какую долю общей вариации эндогенной переменной Rozn объясняет построенная модель. Иными словами, модель объясняет до 99% правильности модели, а 1% составляют ошибки.

Анализ происходит на основе F-статистики, для этого выдвигаются две гипотезы:

Н₀: R²= 0 [статистически незначим]

Н₁: R² ≠ 0 [статистически значим]

Вначале определяем наблюдаемую точку:

F_н = (R²/m) / (1- R²/ n-m-1) = 3226.198

Затем сравниваем её с критической: F_0.05;3;33 = 2.92. Мы видим, что F_н> F_кр. Эти результаты говорят о том, что мы принимаем гипотезу Н₁ о значимости коэффициента.

Однако R² увеличивается при введении в модель экзогенной переменной, даже если последняя не коррелирует с переменной Rozn ( это показывает коэффициент при ней). Следовательно, необходимо проверить на значимость коэффициенты при объясняющих переменных.

2.  Гипотеза о статистической значимости коэффициентов.

Анализ происходит на основе Т-статистики, для этого выдвигаются две гипотезы:

Н₀: b_i = 0

Н₁: b_i ≠ 0

Наши наблюдаемые параметры:

Наша критическая точка высчитывается по таблице распределения Стьюдента:

t _0.025;33= 2.042.

Она больше, чем наблюдаемые t-статистики, следовательно мы принимаем гипотезу Н₁ о том, что коэффициенты являются статистически значимыми , а значит, переменные IMPORT, INVEST и ZP влияют на Rozn .

3.    Проверка модели на мультиколлинеарность.

Cуществуют некоторые признаки наличия мультиколлинеарности в модели:

1.  Коэффициент детерминации R² высок, все объясняющие переменные в модели значимы, однако коэффициент “с” имеет низкую t-статистику (0.83).

2.      Анализ коэффициента корреляции

Таблица 1

Чем ближе коэффициент к |1|, тем теснее линейная связь. При величине коэффициента корреляции менее 0,3 связь оценивается как слабая, от 0,31 до 0,5 - умеренная, от 0,51 до 0,7 - значительная, от 0,71 до 0,9 - тесная, 0,91 и выше - очень тесная. Как мы видим, связь между переменными тесная.

Один из методов выявления - это метод инфляционных факторов VIF. Вычисляется по формуле:

,

где R^{2 -} коэффициент детерминации вспомогательной модели.

Для этого строятся вспомогательные модели регрессии для каждой экзогенной переменной на остальные (см. Приложение В) Итак, мы рассчитали, что:

VIF( IMPORT) = 4.77

VIF (INVEST) = 3.24

VIF (ZP) = 5.06

Отсюда можно заключить, что мультиколлинеарность в модели почти не определяется, так как по разным источникам можно утверждать о её присутствии в модели при VIF >5 или при VIF >10.

2.2 Исследование автокорреляции графическим методом

Этот метод подразумевает под собой анализ корреляционного поле для переменных в момент времени t и t(-2). Для этого необходимо взять переменную RESID, отражающую отклонения модели, и ёё же с лагом -2 (см. Приложение Б).

На риснке 2.1. изображена данная зависимость:

Рисунок 2.1 - корреляционное поле

Источник: собственная разработка

Точки распределились следующим образом:

четверть - 11

четверть - 8

четверть - 12

четверть - 8.

По этим данным нельзя сделать точный вывод о наличии автокорреляции, так как данные распределены равномерно, но есть вероятность положительной автокорреляции из-за немного большего количества точек в 1ой и 3ей четвертях корреляционного поля.

2.3 Исследование автокорреляции с помощью статистики Дарбина-Уотсона

Данная статистика выявляет автокорреляцию первого порядка. Для этого выдвигаются две гипотезы:

Н₀: автокорреляции остатков нет

Н₁: автокорреляция остатков есть

Выводы осуществляются по следующей схеме.

Если DW < d, то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW > 4 - d, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков,

При d< DW < 4 - d, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Если d < DW < d или 4 - d < DW < 4 - d, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не может быть ни принята, ни отклонена.

Согласно данным, полученным в Eviews, наблюдаемая точка DW = 2.188630

Затем, опираясь на данные, что количество объясняющих переменных в уравнении регрессии m=3, a объем выборки n=37, находим критические точки по таблице распределения Дарбина-Уотсона:

d= 1.307, d=1.655

Согласно полученным данным, нарисуем следующую схему:

Рис. 1

Следовательно, автокорреляции остатков первого порядка в модели не обнаружено.

.4 Исследование автокорреляции с помощью теста Сведа-Эйзенхарта

Этот метод основан на определении знаков отклонений RESID (см. Приложение Б).

На примере нашей модели:

“+“, 1“-“, 7“+“, 1“-“, 2“+“, 2“-“, 1“+“, 3“-“, 3“+“, 1“-“, 1“+“, 3“-“, 1“+“, 1“-“, 1“+“, 1“-“, 1“+“, 3“-“, 2“+“, 1“-“ при 37 наблюдениях.

Рядом называется непрерывная последовательность одинаковых знаков, то есть количество рядов в данной модели k=20.

«Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция» [1, с.232]

По таблице критических значений количества рядов при n наблюдениях определяем нижнее k₁ = 13 и верхнее k₂ = 26. Наша переменная k = 20 находится в промежутке k₁ < k < k_2, что говорит об отсутствии автокорреляции или о её слабом проявлении.

2.5 Исследование модели с помощью теста Бреуша-Годфри и анализ гетероскедастичности

Так как с помощью тестов, предусмотренных в рамках моей темы автокорреляция обнаружена не была, я рассмотрела коррелограмму остатков модели:

Рисунок 2.2 - Коррелограммы временных рядов

Источник: собственная разработка

Здесь мы видим, что в модели присутствует автокорреляция четвертого порядка.

Подтвердим ее с помощью теста Бреуша-Годфри.

Тест предполагает построение вспомогательной модели регрессии, остатков исходной модели на все её экзогенные переменные и лаги остатков по четвертый порядок включительно (к=4).

Выдвигаем следующие гипотезы:

Н₀: автокорреляции остатков нет

Н₁: автокорреляция остатков есть

Согласно расчетам, приведенным в приложении 4, R²_всп = 0.437081.

Рассчитываем по формуле BG(4) = (37-4)*0.437081 = 14.423673 и сравниваем с χ²(4) = 11.14. Наблюдаемая точка попадает в промежуток гипотезы Н_1, следовательно, мы подтверждаем присутствие в модели автокорреляции четвертого порядка.

Проведем анализ гетероскедастичности с помощью теста Вайта, который выявляет любую её форму. В тесте строится вспомогательная регрессия квадратов остатков исходной модели на все её экзогенные переменные и их квадраты (см. Приложение Д).

Выдвигаются две гипотезы:

Н₀: гомоскедастичность

Н₁: гетероскедастичность

Далее расчеты производятся по формуле: W_h = n*R²_всп = 9.44 и сравниваются с показателем χ²(k) = 14.45. На основе полученных данных можно определить, что W_h < χ²(k), а значит, мы принимаем гипотезу Н₀ об отсутствии гетероскедастичности в модели, так как в модели с временными рядами она встречается довольно редко.

3. Корректировка автокорреляции случайных отклонений

Чтобы избавиться от автокорреляции 4-го порядка в данной модели:

= 33.22575891 + 3.832811814*IMPORT + 0.1331377079*INVEST + 0.1694193907*ZP, я решила использовать переменную ROZN с лагом (-1) в качестве экзогенной и построить регрессионную модель:

ROZN = 40.90793344 + 3.795118177*IMPORT + 0.1820442964*INVEST + 0.1364985929*ZP + 0.1407374593*ROZN(-1)

Однако, согласно коррелограмме остатков, изображенной на рисунке 3.1, корректировка не прошла успешно. По-прежнему сохраняется автокорреляция 4ого порядка.

Рисунок 3.1 - коррелограмма остатков после первой корректировки

Источник: собственная разработка

Следовательно, я решила прибегнуть к другому способу: изменения спецификации модели, что должно привести к сглаживанию тренда.

Уравнение принимает следующую форму:

ROZN/ROZN(-1) = 0.1097837715 + 0.07334928698*IMPORT/IMPORT(-1) + 0.05134863316*INVEST/INVEST(-1) + 0.2579609857*ZP/ZP(-1) + 0.5047305475*ROZN(-4)/ROZN(-5)

Однако на этот раз ситуация меняется: автокорреляция четвертого порядка сглаживается, но появляется на «пограничном» состоянии на пятом порядке (Рисунок 3.2)

Рисунок 3.2 - коррелограмма остатков после второй корректировки

Источник: собственная разработка

Так же снизились показатель R-squared = 0.958833 и F-statistic = 157.2148, что говорит об ухудшении качества модели.

Так как после рада некоторых усовершенствований регрессии (изменения формы зависимости) автокорреляция по-прежнему присутствует, но уже на другом уровне, «то, возможно, это связано с внутренними свойствами ряда отклонений {ε₁}» [1, с. 240]. Поэтому можно вернуться к нашему первоначальному уравнению.

Заключение

В рамках предусмотренной темы я построила регрессионную модель ROZN = 33.23 + 3.83 IMPORT + 0.13 INVEST + 0.17 ZP, в которой ROZN - оборот розничной торговли в текущих ценах, ZP - средняя номинальная заработная платы, INVEST - инвестиции в основной капитал и IMPORT - импорт товаров и услуг.

В данном уравнении наблюдается положительная зависимость между переменными. При увеличении импорта на 1 млрд. $ оборот розничной торговли увеличивается на 3.83 млрд. руб. При увеличении инвестиций - на 0.13 млрд. руб. При увеличении средней номинальной заработной платы - на 0.17 млрд. руб.

Статистическую значимость коэффициентов полученного уравнения проверим на основе t-статистики: t-статистики высока для всех показателей (t_стат>t_кр), что свидетельствует о значимости данных коэффициентов (t_кр=2.042).

Коэффициент детерминации высок (R²=0,996602), что свидетельствует о высоком общем качестве уравнения регрессии. Это позволяет говорить, что изменение эндогенной переменной y объясняется экзогенными переменными x.

Затем я проверила эту модель на статистическую значимость и нарушения предпосылок МНК, а именно исследование проблемы автокорреляции. Была замечена минимальная мультиколлинеарность, однако исправлять её не было необходимости. Впоследствии были проведены тесты на обнаружение автокорреляции, и один из методов показал АК 4-го порядка, исправление которой впоследствии не привела к улучшению качества модели. Согласно тесту Вайта, модель гомоскедастична, а значит оценки МНК являются эффективными.

Из этого можно заключить, что построенная модель является корректной, с наличием небольших ошибок спецификации.

Список использованных источников

1. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учеб. пособие. - Мн.:БГУ, 2000. - 354 с.

. Министерство финансов Российской Федерации / Инвестиции в основной капитал.

. РБКQuote / Росстат: Оборот розничной торговли в 2012г. вырос на 5,9% и составил 21,32 трлн руб.

. Федеральная служба государственной статистики / Внешнеторговый оборот России.

. Федеральная служба государственной статистики / Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников в целом по экономике Российской Федерации в 2000-2013гг.

Приложение А

Описательная статистика временного ряда

Приложение Б

Отклонения модели с лагом -2

Приложение В

Вспомогательные модели регрессии для каждой экзогенной переменной

В1.1 - Вспомогательная модель регрессии для IMPORT

В1.2 - Вспомогательная модель регрессии для INVEST

В1.3 - Вспомогательная модель регрессии для ZP

Приложение Г

Проверка автокорреляции в модели при помощи теста Бреуша-Годфри

Приложение Д

Проверка модели на гетероскедастичность с помощью теста Вайта