ln(y)6.826.1346.4537.6241.86.76.2644.8339.2141.936.625.743.7932.4637.76.745.8645.4534.3539.516.996.4448.8841.42456.986.3748.7140.5844.466.535.6242.5831.6336.76.555.7742.8633.3137.787.136.3550.8640.3345.296.876.3647.2540.443.6967.9260.86461.66371.3413.86
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Таким образом, в данном пункте контрольной работы были получены уравнения парной регрессии: линейной и степенной с использованием метода наименьших квадратов. Далее, согласно варианта задания, проведем оценку уравнений регрессии.
3. Показатели корреляции и детерминации
Линейной парной регрессии
Опираясь на вспомогательные данные, которые рассчитаны в табл. 2, рассчитываем показатель тесноты связи.
Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, рассчитываемый с использованием формулы.
По результатам расчета коэффициента корреляции можно сделать вывод, что связь между факторным и результативным признаком прямая и сильная (по шкале Чеддока).
Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Обычно, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.2= 0.8472 = 0.7181
т.е. в 71.81% случаев изменения факторного признака приводит к изменению и результатирующего признака. Точность подбора уравнения регрессии довольно высокая. Остальные 28.19% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.
Тесноту связи результатирующего и факторного признака для степенной парной регрессии определим с использованием коэффициента корреляции:
Подставив известные данные, получим:
Показатель детерминации.
= 0,69
т.е. в 69% случаев изменения факторного признака приводит к изменению и результатирующего признака. Точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 31% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.
4. Средняя ошибка аппроксимации
Линейной парной регрессии
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.
Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
Степенной парной регрессии
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.
Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
5. Оценка с помощью F-критерия Фишера статистической надежности результатов регрессионного моделирования
Линейной парной регрессии
Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m - число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.
. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы:1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
Степенной парной регрессии
Аналогично линейной парной регрессии проведем оценку степенной парной регрессии
где m - число факторов в модели.
. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.
. Определяем фактическое значение F-критерия:
;
где m=1 для парной регрессии.
. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы:1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
По результатам анализа делаем вывод, что коэффициенты детерминации как для линейной парной регрессии, так и для степенной парной регрессии являются статистически значимыми.
Поскольку линейная парная регрессии имеет выше коэффициент (показательно) детерминации, считаем, что именно она адекватно описывает зависимость между факторным и результатирующим признаком.
6. Прогнозное значение для среднего значения
Выборочное среднее для линейной парной регрессии составляет 907,4 тыс. руб. Подставляя данное значение в уравнение линейной регрессии y = 0,61 x - 94,7, получим прогнозное значение для среднего значения:
,61*907,4-94,7=458,8 тыс. руб.
Выводы
Для представленных исходных статистических данных был проведен расчет параметров уравнения регрессии (линейной и степенной). Результаты расчетов приведены в итоговой таблице 4.
Таблица 4 - Итоговая таблица расчета
ПоказательЛинейная зависимостьСтепенная зависимостьУравнениеy = 0,61 x - 94,7y = 0,05x1.3Коэффициент корреляции0,8470,83Коэффициент детерминации0,71810,69Ошибка аппроксимации12,8212,09Фактическое значение F-критерия20,3817,81
Таким образом, по результатам работы выяснено, что между средней заработной платой, выплатами социального характера и потребительскими расходами на душу населения существует прямая положительная связь, которая описывается линейной зависимостью.
Список использованной литературы
1. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. - М., Советское радио, 1964. - 390 с.
. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. - 912 е.
. Бережная E.В. Математические методы моделирования экономических систем: учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.
. Питере Т.В поисках эффективного управления / Т. Питере, Р.В. Уотер-ман. - М.: Прогресс, 1986. - 424 с.
. Эддаус М. Методы принятия решений: уч. пособие / М. Эддаус, Р. Стенсфилд. - К.: МАУП, 2000. - 256 с.