Элемент
|
1
|
1
|
i
|
-i
|
Нейтрализующий
элемент
|
1
|
-1
|
-i
|
i
|
<А, ·> - подгруппа.
Важным примером мультипликативных подгрупп являются так
называемые мультипликативные циклические подгруппы.
Пусть <А, ·> - группа. Элемент е А - единичный элемент. Элемент а ≠
е, а А.
(а) - множество целых степеней элемента а: (а) = {х = аn: n Z, a A, a ≠ e}
Справедлива
Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы.
) Н = (а) - замкнуто относительно "·":
х = аn, y = al, n,e Z, x, y Н, xy = anal
= an+l H, т.к. n + l Z;
) e = 1 = a0 H, A: x H xa0 = a0x = x;
) x = a H, x-1 = a-n Н: ana-n =
a-nan = a0 = 1.
Из 1) - 3) по определению Н имеем < (а), ·> - подгруппа
мультипликативной группы А.
Определение 3. Пусть <А, ·> - некоторая мультипликативная
группа и
а ≠ е, а А.
Порядком элемента а называется наименьшее натуральное число n такое, что аn = е.
Пример. Найти порядки элементов а = - 1, b = i, c = - i мультипликативной группы А = {1; - 1; i; - i}
1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Следовательно,
n = 2 - порядок элемента - 1.
i: (i) 1 = i, (i) 2
= - 1, (i) 4 = 1 = e. Следовательно,
n = 4 - порядок элемента i.
i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 =
- 1, (-i) 4 = 1 = e. Следовательно,
n = 4 порядок элемента - i.
Теорема 2. Пусть <А, ·> - группа, а А, а ≠ е, а - элемент n-го порядка, тогда:
) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а0 = е, а, а2,
…, аn-1} -
n - элементное множество неотрицательных степеней элемента а;
) Любая целая степень элемента аk, k Z, принадлежит множеству (а) и
ak = e <=> k = nq, n N, q Z.
Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны.
Предположим противное: ak = al, k > l, тогда ak-l = e. k - l < n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве
(а) все элементы различны.
Покажем, что аk, К Z, принадлежит множеству (а).
Пусть
k = n, k: n, ak = anq + r = ak ×
anq + r = (an) q × ar = eq ×
ar = e × ar = ar,
≤ r ≤ n ≤ 1 => ak
(a). Если r = 0, то k = nq <=> ak = e.
Определение 4. Подгруппа < (а), ·>, где (а) = {а0
= е, а, а2, …, аn-1}, группы А, а - элемент n-го порядка, называется циклической подгруппой группы А (мультипликативной циклической подгруппой группы А).
Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой <А,
·>, < (а), ·>, мультипликативной циклической подгруппой, называется циклической
группой.
Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является
абелевой.
Доказательство. А = (а), а ≠ е, а - образующий элемент
группы
ak, al A, ak × al = al ×
ak. Действительно, ak ×
al = ak+l = al+k = al ×
ak, l,k Z.
§ 4.
Аддитивные циклические подгруппы и группы
Определение 1. Пусть <A,+> - аддитивная
группа, Н - подмножество А,
Н ≠.
<Н,+> называется подгруппой аддитивной группы А, если
выполняются следующие условия:
) Н замкнуто относительно "+": a, b H, a + b H;
) Существует еН = еА - нулевой элемент
относительно операции сложения
) а Н существует противоположный - а Н.
Пример 1.
<Q,+>, где Q - множество рациональных чисел, является группой рациональных
чисел. Z Q, Z ≠ .
<Z,+> - подгруппа группы Q. Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:
) Z замкнуто относительно "+": a, b Z, a + b Z;
) Существует еZ = еQ = 0 - нулевой элемент относительно
операции сложения;
) а Z существует противоположный - а Z.
Определение 2. Если Н = А и Н = {е}, то подгруппа <H,+> называется несобственной подгруппой группы А.
Если Н А, то подгруппа <H,+>
называется собственной подгруппой группы А.
Пример 2.
Н1 = Q -
несобственная подгруппа группы Q,
Н2 = {0} - несобственная (нулевая) подгруппа группы Q,
Н3 = Z - собственная
подгруппа группы Q.
Пусть <A,+> -
аддитивная группа.
Через (а) обозначим множество всех кратных элементов а А, а ≠ е:
(а) = {x = na: a Z}.
Справедлива
Теорема 1. < (a),+>, где
(а) = {x = na: a Z}, является подгруппой группы А.
Доказательство.
Проверим выполнение условий аддитивной подгруппы:
) (а) замкнуто относительно "+":
х, у (а) х + у ϵ (а).
Действительно, пусть x = na, y = la, n, l Z.
x + y = na + la = (n + l) a (a), n + l Z.
2) Существует е (а) = еА = 0 × а = 0;
) х (а) существует противоположный - х (а), x = na - x = - (na) = (-n) a (a).
Из 1) - 3) =>по определению < (a),+> - подгруппа группы А.
Определение 3. Пусть А - аддитивная группа, <A,+>, а А, а ≠ е. Порядком элемента а называется наименьшее
натуральное число n, такое что na = e, е - нулевой элемент.
Определение 4. Подгруппа < (a),+> группы <A,+>, а -
элемент n-го порядка, вида (а) = {0а, 1а, …, (n-1) а} называется аддитивной циклической подгруппой
группы А, порожденной элементом а.
Определение 5. Группа <A,+>, совпадающая со своей циклической подгруппой <A,+> = < (a),+>,
называется циклической группой. Элемент а называется образующим
элементом группы.
Теорема 2. Всякая аддитивная циклическая подгруппа абелева.
Доказательство.
<A,+> = < (a),+>, (a) = {na: n Z}.
na, ka (a) справедливо равенство na + ka = ka + na. Действительно,
§ 5.
Теорема Лагранжа и следствия из нее
Теорема Лагранжа. Пусть <А, ·> - конечная
мультипликативная группа порядка n. Н - некоторая ее подгруппа порядка k. Индекс подгруппы Н в
группе А и ее порядок являются делителями порядка группы. Иначе говоря, справедливо
равенство: n
= k×l, l = A: H, l - индекс подгруппы.
Доказательство.
Запишем левостороннее разложение группы А по подгруппе Н.
А = Н а1Н … ае-1Н,
|A| = |H| + |а1Н| + … + |ае-1Н|,
|A| = n, |H| = k, n = k + k + … + k = k×l.
l раз
Следствие 1. Порядок элемента а, а ≠ е, <А, ·> = <
(а), ·> n-го порядка, является делителем порядка
группы.
Следствие 2. Всякая циклическая группа <А, ·> = < (а),
·> простого порядка n = p имеет только две несобственные подгруппы:
Н1 = {e} - единичная
подгруппа,
H2 = A - сама группа.
Следствие 3. Все циклические подгруппы циклической группы
<А, ·> = < (а), ·> n-го порядка имеют вид:
Hi = {a0 = e, ad,
a2d, …, a (k-1) d}, i = 1, 2, …,
где d - любой натуральный делитель порядка
группы n = k×d,
k - порядок подгруппы.
Следствие 4. Все циклические подгруппы аддитивной циклической
группы <Zn, +> n-го порядка имеют вид:
Нi = {0, d, 2d, …, (k-1) d}, i = 1, 2, …,
где d - любой натуральный делитель порядка
группы n = k×d, k - порядок
подгруппы.
Практическая часть.
1. <Z, - > - группа? Если да, то является ли она
коммутативной (абелевой)?
Решение.
1) Бинарная операция "-" не ассоциативна: a, b c Z
(a - b) - c ≠ a - (b - c) => <Z, - > не является группой,
<Z, - > - не группа.
2. А - множество целых чисел, кратных любому
натуральному числу n относительно сложения.
Решение.
А = nZ = {x: x = nk, k Z, n N, n - фиксированное натуральное число}.
<A, +> - группа?
Решение.
1) Проверим, является ли "+" бинарной операцией
на множестве А.
Пусть
x = nk, y = nl, k, l Z x, y A. + y = nk + nl = n (k + l) A, k + l Z =˃ "+" - бинарная операция
на множестве А.
Проверим, является ли "+" ассоциативной операцией на
множестве А.
x, y, z, z = np, p Z,
(x + y) + z = x + (y + z). Действительно,
(nl + nk) + np = nk + (nl + np),
n (l + k) + np = nk + n (l + p) - это равенство выполняется, т.к.
"+" целых чисел - ассоциативная операция => "+"
ассоциативная операция на А.
2) Существует ли нейтральный элемент относительно
"+"?
х А выполняются ли равенства х + е = е + х = х?
Рассмотрим равенство х + е = х
nk + e = nk, e = 0 = n0 A.
е - существует относительно "+".
) Существует ли х` А относительно операции "+"?
х + х` = х` + х = е?
Рассмотрим равенство х + х` = е.
х` = е - nk = n0 - nk = n (0 - k) = n (-k), - k Z => х` A x A
Из 1) - 3), по определению группы, => данная система является
группой, аддитивной группой.
4) Проверим, является ли группа коммутативной.
х, у А выполняется ли равенство х + у = у + х?
nk + nl = nl + nk
n (k + l) = n (l + k) - выполняется, так как "+" -
коммутативная операция на Z.
Из 1) - 4) => алгебраическая система <A, +> - коммутативная аддитивная группа.
3. <Q, ·> - группа?
Q = {x: x = m/n, m Z, n N}.
Решение.
1) Проверим, является ли умножение бинарной операцией на
Q.
y = k/l, k Z, l N.
xy = m/n * k/l = mk/nl Q => "·" - бинарная операция
на Q.
Проверим, является ли "·" ассоциативной операцией на Q.
z = p/q, p Z, q N, x, y, z Q: x · (y · z) = (x · y) · z?
Проверка: x · (y · z) = m/k · (k/l · p/q) = m/n · kp/lq = m/n · (kp/lq) =
"·" ассоциативна на Z, N (mk) p/ (nl) q = mk/nl · p/q = (m/n · k/l) · p/q = (x · y) · z.
"·" ассоциативная операция на Q => 1) условие группы выполняется.
2) Существует ли нейтральный элемент относительно
"·" на Q?
x · e = e · x = x? x Q, x · e = x, e = 1 Q
3) Существует ли х' относительно операции "·"
на Q?
x Q, х · х' = х' · х = е? х · х' = е = 1,х ·
х' = 1,х'= 1/x, x ≠
0 => не выполняется, элемент х = 0 не имеет обратного.
<Q, ·> - не является группой.
4. <R\{0}, ·> - группа? Если да, является ли она
абелевой?
Решение.
1) a, b R\{0} a · b = с R\{0} => "·" - бинарная
операция на множестве R\{0};
2) Существует ли нейтральный элемент на множестве R\{0}?
a R*, а · е = е · а = а.
Рассмотрим равенство а · е = а, е = 1 R\{0} => существует е R\{0}.
3) Существуют нейтрализующий элемент а'?
a R*. а' · а = а' · а
= е = 1, а' = 1/а = х-1 ϵ R\{0}.
Из 1) - 3) => <R\{0},
·> - группа.
4. Найти
порядок a = (1243)
S4
S4 - симметрическая группа подстановок 4 - ой
степени.
an = e, n - натуральное.
a = ≠ e,2 = * = ≠ e,3 = * = ≠ e,4 = * = = e,4 = e, n = 4 - порядок группы.
5. S3 = {0 = e, 1, 2, …, 5}
1 = n = - ?, n = 1, 1 ≠ e, n = 2
12
= = = 2.
2 = n = e- ?, n =
1 - ?, 2 ≠ e, n = 2
22
= * = = e.
Заключение
В заключении своей курсовой работы хочу подвести итог. Работа
выполнена согласно методическому плану. Цели и задачи курсовой работы
достигнуты. Учебные вопросы, предположенные к раскрытию темы "Циклические
подгруппы и группы" отработаны. Теоретическая часть написана с помощью
анализа учебной литературы, приведены примеры, иллюстрирующие теоретический
материал.
Тема "Циклические подгруппы и группы" в настоящее
время является актуальной, т.к. теория групп - один из разделов общей алгебры.
Литература
1. Кострикин
А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: учебник для вузов. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Ильин
В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник - М.: ТК
Велби, издательство Проспект, 2007.
. Нечаев
И.В. Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение, 1983.
. Куликов
Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
. Курош
А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1977.
. Глухов
М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. - М.:
Просвещение, 1993.
. Щипачев
B. C. Основы высшей математики.4-е изд., стереотип. - М.: Высш.
шк., 2001.
. А.М.
Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. - Кр-ск, РИО
КГПУ, 2001.
. Л.Я.
Окунев. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
. Ф.Л.
Варнаховский, А.С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. - М.: Просвещение, 1978.