Теорія ймовірностей та математична статистика

Теорія ймовірностей та математична статистика

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ СТАТИСТИКИ, ОБЛІКУ ТА АУДИТУ

БІЛОЦЕРКІВСЬКИЙ КОЛЕДЖ ФІНАНСІВ, ОБЛІКУ ТА АУДИТУ

Кафедра інформаційних систем та технологій

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

З ПРЕДМЕТУ Математика для економістів

Теорія ймовірностей та математична статистика

Студентки заочної форми навчання

Гребень Олени Геннадіївни

Викладач Дядченко Людмила Вікторівна

м. Біла Церква

р.

Завдання 1

Із 20 банків 10 розташовані за межами міста. Для дослідження випадково обрано 5 банків. Яка ймовірність того, що серед обраних у межах міста виявиться 3 банки?

Розв’язок. Для розв’язку скористаємося формулою визначення кількості сполучень:

,

де n - кількість елементів множини,- кількість елементів сполучення.

Усього наслідків тут - кількість сполучень із 20 банків по 5. Тих, що сприяють події -  наслідків обрання трьох банків у межах міста і одночасно  наслідків обрання двох банків за межами міста. Тоді шукана ймовірність є:

Відповідь. Ймовірність того, що серед п’яти обраних банків у межах міста виявляться три становить 34,83%.

Завдання 2

1.  Знайти та зобразити графічно функцію розподілу.

2.      Знайти М(х), середнє квадратичне відхилення.

Розв’язок. Знайдемо . Оскільки

, то 0,002+0,007+0,012+0,022+0,001(2+у)=1,

,001(2+у)=1-0,043,

+у=0,957/0,001,

у=955.

Отже, .

. Знайдемо :

Компактно  матиме запис:

Графік функції розподілу F(x) зображено на мал..1.

. Знайдемо математичне сподівання:

Мал.1. Графік функції розподілу F(x)

Відповідь: математичне сподівання рівне 10,855, середнє квадратичне відхилення - 0,772.

Завдання 3

Дано функцію розподілу величини Х

Знайти щільність розподілу ймовірностей f(x), обчислити М(х), D(x), побудувати графіки функцій f(x), F(x).

Розв’язок. 1. Знайдемо щільність розподілу ймовірностей

,

. Обчислимо М(х):

Обчислимо D(x):

Проінтегруємо почленно:

. Побудуємо графіки функцій f(x), F(x).

Мал.2. Графік функції розподілу F(x)

Мал.3. Графік щільності розподілу f(x)

Відповідь. Математичне сподівання М(х) рівне 2,0, дисперсія D(x)=0,5, щільність розподілу ймовірностей

Завдання 4

ймовірність випадкова величина відхилення

Закон неперервної випадкової величини Х задано щільністю ймовірностей

Знайти а. Побудувати графіки функцій f(x), F(x).

Розв’язок. 1. Значення сталої а визначаємо з умови нормування:

При знайденому значенні а щільність ймовірностей буде мати вигляд:

. Функція розподілу ймовірностей визначається інтегруванням:

Записуємо загальний вигляд функції F(x):

Графіки функцій розподілу ймовірностей та її щільності показані на малюнках 4 та 5.

Мал.4. Графік функції розподілу F(x)

Відповідь. а = 0,5.