Теория погрешностей

Теория погрешностей

Лабораторная работа

Теория погрешностей

Задача 1

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: . Определить номер  первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти  Затем, вычисляя частичные суммы , определить минимальное число  при котором величина  приближающая  содержит  верных цифр.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

. Задать последовательность значений  с помощью формулы общего члена прогрессии.

. Решая неравенство  найти номер  члена этой последовательности, модуль которого меньше 1.

Вычислить само значение  

. Найти сумму ряда  аналитически (по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

. Вычислить значения частичных сумм  ряда  при значениях

Для каждого  найти величину абсолютной погрешности  и количество верных цифр в . Определить при каком минимальном значении N=M частичная сумма  содержит  верных цифр.

. Вычислить относительную погрешность величины

. Оформить отчет по задаче.

Задача 2

Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.

Задача 3

Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

. Раскрыть определитель и получить вид функции . Вычислить значение функции в точке .

. Произвести теоретическую оценку абсолютной погрешности функции в зависимости от погрешности аргумента  по формуле . Считать, что x0 получено в результате округления по дополнению.

. Вычислить определитель матрицы при нескольких различных значениях аргумента в пределах заданной точности.

.Сравнить полученные результаты (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.C).

. Найти относительную погрешность каждого результата задачи.

Приложение 1.А

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1

ВНИМАНИЕ! Номер варианта для лабораторных работ вычисляется по следующей формуле:

)  mod (52) для групп 9-11;

)  mod (50) для групп 12-14

(здесь  - номер группы, а  - индивидуальный номер студента по журналу).

Таблица к задаче 1.1

1.1.1        

1.1.14

1.1.27

1.1.40

1.1.2        

1.1.15

1.2.28

1.1.41

1.1.3        

1.1.16

1.1.29

1.1.42

1.1.4        

1.1.17

1.1.30

1.1.43

1.1.5        

1.1.18

1.1.31

1.1.44

1.1.6        

1.1.19

1.1.32

1.1.45

1.1.7        

1.1.20

1.1.33

1.1.46

1.1.8        

1.1.21

1.1.34

1.1.47

1.1.9        

1.1.22

1.1.35

1.1.48

1.1.10      

1.1.23

1.1.36

1.1.49

1.1.11      

1.1.24

1.1.37

1.1.50

1.1.12      

1.1.25

1.1.38

1.1.51

1.1.13      

1.1.26

1.1.39

1.1.52

Таблица к задаче 1.3

1.3.1         1.3.14 1.3.27 1.3.40

1.3.2        

1.3.15

1.2.28

1.3.41

1.3.3        

1.3.16

1.3.29

1.3.42

1.3.4        

1.3.17

1.3.30

1.3.43

1.3.5        

1.3.18

1.3.31

1.3.44

1.3.6        

1.3.19

1.3.32 1.3.45

1.3.7        

1.3.20

1.3.33

1.3.46

1.3.8        

1.3.21

1.3.34

1.3.47

1.3.9        

1.3.22

1.3.35

1.3.48

1.3.10       1.3.23

1.3.36

1.3.49

1.3.11      

1.3.24

1.3.37

1.3.50

1.3.12      

1.3.25

1.3.38

1.3.51

1.3.13       1.3.26

1.3.39

1.3.52

Приложение 1.В

Ниже приведен фрагмент оформления содержательной части отчета по лабораторной работе 1.

Задача 1.1.0. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: , где , . Определить номер  первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти  Затем, вычисляя частичные суммы  при  определить минимальное число  при котором величина  приближающая  содержит  верных цифр. Вычислить относительную погрешность величины

. Аналитическое решение задачи

Воспользуемся известными формулами для геометрической прогрессии:

) -й (общий) член геометрической прогрессии имеет вид:

) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Номер  для которого найдём, решив неравенство:

    

Наименьшее целое число, удовлетворяющее последнему неравенству, равно

Убедимся в том, что номер  найден верно (учтем 6 знаков после запятой):

Первая часть задачи решена.

. Теоретический материал

Пусть  - точное значение,  - приближенное значение некоторой величины.

 1) Абсолютной погрешностью приближенного значения  называется величина .

) Относительной погрешностью значения  (при  называется величина .

 Так как значение  (как правило) неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

 

При этом величины  и  называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

 Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Нас интересует значение суммы  бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Приближённое значение этой суммы даёт её -ая частичная сумма  Абсолютную погрешность такого приближения найдём по формуле

. Результаты вычислительного эксперимента значение частичной величина абсолютной количество верных суммы ряда  погрешности значащих цифр

  0

   1

   4

  14

Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, то величина абсолютной погрешности не должна превышать значения . Для определения наименьшего значения  проведем дополнительные эксперименты:

   8

   8

  8

  9

Наконец, вычислим относительную погрешность найденного результата:

. ОТВЕТ

) номер  первого из членов заданной прогрессии, для которого, равен  

) при этом

) сумма геометрической прогрессии, вычисленная по аналитической формуле, равна

) частичная сумма  дает 9 верных значащих цифр;

) относительная погрешность этого значения равна

Приложение 1.С

Задача 1.3.0. Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать

поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.

Пусть определитель матрицы имеет вид: . Тогда, раскрывая определитель, получим

следующий вид функции: . Вычислим определитель в точке : . Для получения теоретической оценки учтем, что , то есть погрешность аргумента  для данного варианта равно 0.5. Производная функции монотонно убывает, поэтому (см график).

Таким образом, теоретическая оценка получена: . Сравним теоретическую оценку с погрешностью, полученной с помощью вычислительного эксперимента.

,

, .

 

Получено хорошее соответствие с теоретической оценкой. Заметим, что величина относительной погрешности невелика, например, в последнем эксперименте: .

погрешность аргумент прогрессия

Литература

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.