Теория вероятностей и математическая статистика
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
РОССИЙСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ТУЛЬСКИЙ
ФИЛИАЛ
(Тульский
филиал РГТЭУ)
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
«Теория
вероятностей и математическая статистика»
Вариант
№ 5
Выполнила:
Студентка 3 курса
Заочного отделения
специальности
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит.»
Серкина И.А.
Проверил:
Глаголева Марина
Олеговна
Тула
2014год
Задание №1
Бросаются два игральных кубика. Найти
вероятность того, что сумма выпавших очков
) равна 6;
) не превосходит 7;
) больше 7.
Решение.
Используем классическое определение
вероятности . В нашем
случае общее число исходов равно .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Задание №2
В ящике находится 7 гвоздей, 7
шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают две детали. Найдите вероятность того, что
достали
) два болта;
) два шурупа;
) гвоздь и болт;
) болт и шуруп.
Решение.
Используем классическое определение
вероятности . В нашем
случае общее число исходов равно .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Задание №3
В ящике находится 7 гвоздей, 7
шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают три детали. Найдите вероятность того, что
достали
) три болта;
) один болт и два шурупа;
) болт, гвоздь и шуруп.
Решение.
Используем классическое определение
вероятности . В нашем
случае общее число исходов равно .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Благоприятное число исходов равно и искомая
вероятность .
Задание №4
Пассажир может приобрести билет в
одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во
вторую - 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему
билеты будут распроданы, будет равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй.
Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он
приобрел его во второй кассе?
Решение.
А - пассажир посетил одну из касс и
приобрел билет
- пассажир посетил первую кассу,
- пассажир посетил вторую кассу,
Условные вероятности , .
Тогда по формуле полной вероятности .
Вероятность того, что пассажир
приобрел билет во второй кассе находим по формуле Байеса: .
Задание №5
Производятся четыре выстрела по
мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,5 . Найдите
вероятность того, что
будет хотя бы одно попадание;
будет два попадания;
будет не менее трех попаданий.
Решение.
В данном случае необходимо
использовать формулу Бернулли:
при .
)
)
)
Задание №6
По данным телеателье установлено, что
в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного
срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных цветных телевизоров будут
работать исправно в течение гарантийного срока:
а) 164 телевизора;
б) от 172 до 184 телевизоров?
Решение.
а) Используем локальную теорему
Муавра-Лапласа:
. Тогда .
б) Используем интегральную теорему
Муавра-Лапласа: тогда .
Задание №7
Задан закон распределения дискретной
случайной величины Х:
вероятность комбинация теорема
отклонение
Найти:
а) математическое ожидание , дисперсию и среднее
квадратическое отклонение данной
случайной величины;
б) отразить математическое ожидание
и СКО на многоугольнике распределения.
Решение.
Задание №8
Математическое ожидание нормально
распределенной случайной величины равно m=8, ее среднее квадратичное отклонение
. Выполните
следующие задания:
) напишите формулу функции плотности
распределения вероятности и схематично постройте ее график;
) найдите вероятность того, что X
примет значения из интервала .
Решение.
- формула функции плотности
распределения вероятности
Задание №9
Дана выборка объемом N= 38 значений
дневной выручки магазина (в тыс. руб.). На основании этих данных:
. построить интервальный
статистический ряд;
. построить функцию распределения и
гистограмму;
. вычислить среднее значение , среднее
квадратическое отклонение S;
. получить точечные и интервальные
оценки математического ожидания и дисперсии генеральной
совокупности. (Доверительная вероятность равна 0,95)
. проверьте гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона при уровне
значимости .
Исходные данные:
19,713
|
22,441
|
18,747
|
22,470
|
20,531
|
16,982
|
20,895
|
17,744
|
19,678
|
19,212
|
23,248
|
18,388
|
21,814
|
18,085
|
22,692
|
17,318
|
22,079
|
17,861
|
19,783
|
21,060
|
22,072
|
19,519
|
21,954
|
20,433
|
16,788
|
18,320
|
22,060
|
16,595
|
19,225
|
20,182
|
23,155
|
19,550
|
22,814
|
17,332
|
19,419
|
|
21,624
|
18,413
|
20,129
|
|
Решение.
Число групп определим по формуле
Стэрджесса: .
Ширина интервала составит: .
Результаты группировки оформим в
виде таблицы:
Интервалы
группировки
|
Частота
|
16,592-17,702
|
5
|
17,702-18,812
|
7
|
18,812-19,922
|
8
|
19,922-21,032
|
5
|
21,032-22,142
|
7
|
22,142-23,252
|
6
|
Сумма
|
38
|
Таблица для расчета показателей.
Интервалы
|
Середины
интервалов, Частоты,
|
|
|
|
16,592-17,702
|
17,147
|
5
|
85,735
|
39,31208
|
17,702-18,812
|
18,257
|
7
|
127,799
|
20,087452
|
18,812-19,922
|
19,367
|
8
|
154,936
|
2,728448
|
19,922-21,032
|
20,477
|
5
|
102,385
|
1,38338
|
21,032-22,142
|
21,587
|
7
|
151,109
|
18,735472
|
22,142-23,252
|
22,697
|
6
|
136,182
|
45,243096
|
Итого
|
|
38
|
758,146
|
127,489928
|
Выборочное среднее определим по формуле средней
арифметической взвешенной, в качестве вариант используя середины интервалов:
.
Определим дисперсию: и среднее
квадратическое отклонение .
И несмещенные оценки: и .
Доверительный интервал для
генерального среднего имеет вид:
Определяем значение t по таблице
распределения Стьюдента tтабл (n-1;α/2) = (37;0,025) =
2,021.
и доверительный интервал имеет вид:
.
Определим доверительный интервал для
дисперсии.
Вероятность выхода за нижнюю границу
равна P(χ2n-1
< hH) = (1-γ)/2 = (1-0,95)/2 = 0,025. Для количества степеней свободы
k = 37 по таблице распределения χ2 находим: χ2(37;0,025) =
55,668.
Случайная ошибка дисперсии:
Вероятность выхода за верхнюю границу
равна P(χ2n-1
≥ hB) = 1 -
P(χ2n-1 < hH)
= 1 - 0,025 = 0,975. Для количества степеней свободы k = 37, по таблице
распределения χ2
находим:
χ2(37;0,975) =
22,106.
Случайная ошибка дисперсии: .
Тогда доверительный интервал имеет
вид: .
Проверим гипотезу о том, что Х
распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона , где pi -
вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по
гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi
применим формулу и таблицу функции Лапласа .
Интервалы
|
ni
|
Ф(x1)Ф(x2)pi38piKi
|
|
|
|
|
|
|
16,592-17,702
|
5
|
-1,81
|
-1,21
|
-0,46
|
-0,39
|
0,0766
|
2,91
|
1,5
|
17,702-18,812
|
7
|
-1,21
|
-0,61
|
-0,39
|
-0,23
|
0,16
|
5,92
|
0,2
|
18,812-19,922
|
8
|
-0,61
|
-0,0157
|
-0,23
|
-0,008
|
0,22
|
8,53
|
0,0325
|
19,922-21,032
|
5
|
-0,0157
|
0,58
|
-0,008
|
0,22
|
0,23
|
8,76
|
1,61
|
21,032-22,142
|
7
|
0,58
|
1,18
|
0,22
|
0,38
|
0,16
|
6,1
|
0,13
|
22,142-23,252
|
6
|
1,18
|
1,78
|
0,38
|
0,46
|
0,0795
|
3,02
|
2,94
|
Сумма
|
38
|
|
|
|
|
|
|
6,41
|
Определим границу критической области. Так как
статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим
распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод
против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики
всегда правосторонняя: [Kкp;+∞).
Её границу Kкp = χ2(k-r-1;α)
находим
по таблицам распределения χ2 и
заданным значениям s, k, r=2. кp = 11,345; Kнабл = 6,54
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не
попадает в критическую область, поэтому нет оснований отвергать основную
гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное
распределение.
Задание №10
По данным, приведенным ниже:
. определить выборочный коэффициент корреляции;
. получить уравнение регрессии Y=A*X+B;
. наложить прямую регрессии на поле рассеивания.
Решение.
X
|
Y
|
0,304
|
2,518
|
0,135
|
2,185
|
0,443
|
2,413
|
0,883
|
3,244
|
0,341
|
2,481
|
0,681
|
2,758
|
0,205
|
2,204
|
0,346
|
2,517
|
0,492
|
2,495
|
0,161
|
2,485
|
0,740
|
3,053
|
0,670
|
2,740
|
0,532
|
2,507
|
0,192
|
2,363
|
0,122
|
2,189
|
0,036
|
2,345
|
0,275
|
2,497
|
0,160
|
2,558
|
0,154
|
2,358
|
0,110
|
2,301
|
0,884
|
2,836
|
0,149
|
2,470
|
0,041
|
2,058
|
0,826
|
2,801
|
0,876
|
2,939
|
0,959
|
3,130
|
0,102
|
2,366
|
0,377
|
2,795
|
2,740
|
0,862
|
3,076
|
Построим поле корреляции
С помощью метода наименьших квадратов найдем
линейную зависимость между X и Y:
Для расчетов параметров a и b
линейной регрессии решаем
систему нормальных уравнений относительно a и b:
Строим рабочую таблицу
Номер
|
х
|
у
|
х2
|
ху
|
у2
|
1
|
0,304
|
2,518
|
0,092416
|
0,765472
|
6,340324
|
2
|
0,135
|
2,185
|
0,018225
|
0,294975
|
4,774225
|
3
|
0,443
|
2,413
|
0,196249
|
1,068959
|
5,822569
|
4
|
0,883
|
3,244
|
0,779689
|
2,864452
|
10,523536
|
5
|
0,341
|
2,481
|
0,116281
|
0,846021
|
6,155361
|
6
|
0,681
|
2,758
|
0,463761
|
1,878198
|
7,606564
|
7
|
0,205
|
2,204
|
0,042025
|
0,45182
|
4,857616
|
8
|
0,346
|
2,517
|
0,119716
|
0,870882
|
6,335289
|
9
|
0,492
|
2,495
|
0,242064
|
1,22754
|
6,225025
|
10
|
0,161
|
2,485
|
0,025921
|
0,400085
|
6,175225
|
11
|
0,74
|
3,053
|
0,5476
|
2,25922
|
9,320809
|
12
|
0,67
|
2,74
|
0,4489
|
1,8358
|
7,5076
|
13
|
0,532
|
2,507
|
0,283024
|
1,333724
|
6,285049
|
14
|
0,192
|
2,363
|
0,036864
|
0,453696
|
5,583769
|
15
|
0,122
|
2,189
|
0,014884
|
0,267058
|
4,791721
|
16
|
0,036
|
2,345
|
0,001296
|
0,08442
|
5,499025
|
17
|
0,275
|
2,497
|
0,075625
|
0,686675
|
6,235009
|
18
|
0,16
|
2,558
|
0,0256
|
0,40928
|
6,543364
|
19
|
0,154
|
2,358
|
0,023716
|
0,363132
|
5,560164
|
20
|
0,11
|
2,301
|
0,0121
|
0,25311
|
5,294601
|
21
|
0,884
|
2,836
|
0,781456
|
2,507024
|
8,042896
|
22
|
0,149
|
2,47
|
0,022201
|
0,36803
|
6,1009
|
23
|
0,041
|
2,058
|
0,001681
|
0,084378
|
4,235364
|
24
|
0,826
|
2,801
|
0,682276
|
2,313626
|
7,845601
|
25
|
0,876
|
2,939
|
0,767376
|
2,574564
|
8,637721
|
26
|
0,959
|
3,13
|
0,919681
|
3,00167
|
9,7969
|
27
|
0,102
|
2,366
|
0,010404
|
0,241332
|
5,597956
|
28
|
0,377
|
2,795
|
0,142129
|
1,053715
|
7,812025
|
29
|
0,383
|
2,74
|
0,146689
|
1,04942
|
7,5076
|
30
|
0,862
|
3,076
|
0,743044
|
2,651512
|
9,461776
|
Сумма
|
12,441
|
77,422
|
7,782893
|
34,45979
|
202,475584
|
Среднее
|
0,415
|
2,581
|
0,259
|
1,149
|
6,749
|
.
Т.е. уравнение линейно регрессии
имеет вид: .
Найдем коэффициент корреляции.
,
т.е. связь между рассматриваемыми
показателями положительная, тесная.