Стереометричні задачі на побудову та їх вивчення в старшій профільній школі

Дипломна робота

Тема: «Стереометричні задачі на побудову та їх вивчення в старшій профільній школі»

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теоретичні основи геометричних побудов у курсі стереометрії

1.1 Паралельне і центральне проектування та їх властивості

.2 Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв’язування

Розділ 2. Методика вивчення задач на побудову в старшій профільній школі

.1 Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв’язуванню стереометричних задач на побудову

.2 Спецкурс

.3 Комп’ютерна підтримка навчання учнів розв’язуванню стереометричних задач на побудову засобами пакету GRAN

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Сучасна освіта розглядається в усьому світі як важливий чинник становлення та розвитку особистості, як невід’ємна частина формування соціокультурного середовища. Зміни в науці, техніці й виробництві висувають нові вимоги до математичної підготовки компетентного, конкурентоспроможного випускника у зв’язку з посиленням ролі математики в усіх сферах життєдіяльності людини та актуальністю реалізації одного з важливих завдань навчання геометрії в школі - розвиток просторової уяви та формування просторових уявлень учнів, здатності й умінь здійснювати операції з просторовими об’єктами. Це завдання сучасної школи актуалізує проблему формування конструктивно-геометричних умінь та навичок учнів, яка є важливим фактором, що сприяє загальнокультурному розвитку людини, її готовності до безперервної освіти і професійної діяльності як у технічній, так і будь-якій іншій сфері людської діяльності.

Перші геометричні поняття виникли у доісторичні часи. Людина спостерігала різні форми матеріальних тіл у природі: форму рослин і тварин, кола та серпа Місяця і т.д. Але вона спостерігала не тільки за природою, а й практично освоювала та використовувала її багатства. У процесі практичної діяльності людство накопичувало геометричні знання.

Початок геометрії було закладено в стародавності при розв’язанні чисто практичних задач. З часу, коли було зібрано велику кількість геометричних фактів, у людей з’явилась потреба узагальнення, з'ясування залежності одних елементів від інших, встановлення логічних зв’язків та доведень. Поступово створювалась геометрична наука.

Приблизно у XVIII-XIX ст. розвиток військової справи та архітектури привів до розробки методів точного зображення просторових фігур на плоскому кресленні, у зв’язку з чим з’являється нарисна геометрія, наукові основи якої заклав французький математик Г. Монж, і проективна геометрія, основи якої були створені в трудах французького математика Ж. Дезарга.

Однією з найважливіших задач викладання геометрії у школі є формування і розвиток в учнів просторових уявлень, а також способи та вміння виконувати операції над просторовими об'єктами.

Спочатку, основним джерелом геометричних уявлень і понять є навколишні предмети, які дитина не тільки бачить, але й порівнює, торкаючись до них або пересовуючи, щоб краще встановити форму і відносне положення предметів в просторі.

Важливо, щоб учень умів розрізняти предмети, які мають однакову або схожу форму.

Здатність бачити геометрію навколо себе - є цінною якістю, яку потрібно підтримувати і розвивати, оскільки вона приводить до створення абстрактних понять геометричних фігур, таких, як прямокутник, коло, призма, циліндр та ін. Велику допомогу в цьому процесі можуть надати моделі найпростіших геометричних тіл. Однак більш доречно починати цю роботу з вправ про уявлення геометричних фігур по їх зображенням (кресленням).

На цьому етапі учні повинні вміти уявляти геометричні фігури та розв'язувати різні питання, які стосуються їх взаємного розташування та розмірів.

Проекційне креслення на папері особливо корисне, оскільки воно полегшує виконання будь-яких завдань з різними фігурами, допомагає розвивати просторове уявлення учнів. Таким чином, креслення немов би заповнює пробіл між предметними моделями і абстрактними уявленнями просторових фігур.

Але найбільша перевага проекційних креслень полягає в тому, що на таких кресленнях можна "ефективно" розв’язувати задачі з просторовими фігурами, фактично будуючи на кресленні шукані елементи та виконуючи необхідні операції, майже зовсім так, як це повинно було б виконуватися в самому просторі. Цього неможливо досягти на моделях з тієї причини, що на них неможливо виконувати геометричні побудови. Уявлювані побудови без моделей також не дадуть повного ефекту, тому що положення фігур і їх елементів при цьому не фіксується в просторі, і геометричні образи виявляються неозначеними. До того ж такі побудови майже недосяжні для більшості учнів.

Не випадково і в практичному житті це питання вирішується таким же чином: просторові об'єкти зображуються на проекційних кресленнях, які є найбільш точними та зручними описаннями даного об'єкту. Значення та розповсюдження їх велике.

З усього вищесказаного зрозуміло, що вправи на проекційних кресленнях, розв'язування задач на таких кресленнях повинні складати суттєву частину викладання стереометрії. При цьому проекційні креслення, які використовуються в стереометрії, не повинні виходити за рамки матеріалу звичайного шкільного курсу, тобто не повинні містити специфічних прийомів нарисної геометрії, які викликаються інженерно-технічними міркуваннями. Такі побудови повинні бути віднесені до курсу креслення, де вони знайдуть своє справжнє місце.

В викладанні стереометрії роль проекційного креслення повинна бути дуже значною. Від цього в більшій мірі залежить досягнення мети, яка ставиться в курсі стереометрії. Проекційні креслення виконують двояку роль. З одного боку, викладач ілюструє своє мистецтво викладення кресленням на дошці, щоб викликати в учнів наочне та просторове уявлення геометричних образів, які вони вивчають, з'єднати з ними теоретичні судження і пояснення. Таке викладання предмета дає більш стійке, конкретне засвоєння курсу стереометрії, яке відповідає практичним задачам. Але неможливо забути про другу задачу курсу стереометрії: навчити учнів оперувати над просторовими образами та формами, розв'язувати задачі з просторовими фігурами, тобто знаходити розв'язок фактичною побудовою.

В підручниках та книгах для вчителя значно більше уваги приділяється методиці вивчення планіметричних задач на побудову, ніж методиці навчання учнів розв'язуванню стереометричних задач на побудову, а тому необхідно звертати значно більшу увагу на їх викладання.

Про актуальність обраної теми свідчить наявність завдань зі стереометрії у програмах ЗНО та державної підсумкової атестації.

Мета роботи - розробити спецкурс для підготовки учнів розв’язувати стереометричні задачі на побудову.

Для досягнення цієї мети було поставлено такі завдання:

. Розглянути теоретичні основи геометричних побудов в стереометрії та основні методи розв’язування стереометричних задач на побудову.

. Проаналізувати, які методи і в якому обсязі вивчаються в шкільному курсі стереометрії

. Розглянути ряд задач на побудову з курсу стереометрії в шкільних підручниках профільної школи.

. Розробити зміст та методичні рекомендації щодо проведення спецкурсу для підготовки учнів розв’язувати задачі на побудову у просторі з використанням засобів пакету GRAN.

Робота складається із вступу, двох розділів, висновків і списку використаної літератури.

Розділ 1. Теоретичні основи геометричних побудов у курсі стереометрії

.1 Паралельне і центральне проектування та їх властивості

Задачі на уявлювані побудови

Задачі на побудову в просторі розв‘язуються двома принципово різними способами: в уяві та в задачах на побудову на площині.

В процесі розв‘язання задач на уявлювану побудову встановлюється лише факт існування розв‘язку, сама ж побудова шуканого елемента так і не виконується. За ідеєю метода елементи, визначаються умовою задачі, не задаються ні безпосередньо в просторі, ні на плоскому кресленні, а утримуються в уяві. Розв‘язок задачі зводиться до перерахування такої сукупності геометричних операцій, фактичне виконання яких (у випадку, якщо їх можна було б виконати) зводиться до побудови шуканого елемента. Задача вважається розв‘язаною, якщо вдається відшукати розглянуту сукупність побудов.

Проілюструємо прийом розв‘язання задач на уявлювану побудову на прикладі розв’язання наступної задачі.

Приклад 1.

Побудувати площину, паралельну даній площині , яка проходить через дану точку .

Розв‘язання.

Нехай точка  не лежить в площині . Розв‘язок в цьому випадку звівся би до наступної сукупності побудов:

)  ,

) через пряму  і точку проведемо площину ,

) в площині , через точку  проведемо пряму , паралельну прямій ,

) через пряму і точку  проведемо площину ,

) в площині  через точку  проведемо пряму , паралельну прямій ,

) через прямі, які перетинаються  та  проводимо площину .

Площина  - шукана.

Наведені операції не тільки не виконуються, але деякі з них навіть не можуть бути виконаними. Справді, якщо прямі  та  у початковій площині могли б бути проведені за допомогою лінійки та олівця, то для побудови площин ,  та  на практиці не існує інструментів, за допомогою яких можна було б накреслити безпосередньо в просторі площини і проводити в них побудови. Неможливо, отже, в площинах  та  провести і прямі  та .

З наведеного приклада можна побачити, що в уяві утримуються не тільки задані елементи, але й елементи отримані в процесі побудови, а також розв’язуванні задачі. В цьому випадку уявлюваною являється і сама побудова.

Креслення при розв‘язанні задач на побудову може й не виконуватися. У тих же випадках, коли його застосовують, воно грає допоміжну роль: креслення необхідне для полегшення праці уяви, коли просторова уява погано розвинена або, коли побудови виявляються громіздкими.

У курсі геометрії середньої школи задачі на побудову розв‘язуються переважно в уяві. Такий підхід до розв’язання задачі на побудову становить деякий інтерес. У процесі розв‘язування задач на побудову розвивається просторова уява, це в свою чергу полегшує учням проходження всього останнього навчального матеріалу.

В цей же час необхідно мати на увазі, що оволодіння методами розв‘язування задач на побудову допускає вже достатньо високий рівень розвитку просторової уяви учнів.

Крім того, розв‘язування задач на побудову при традиційній методі закінчуються доведенням існування та єдності розв‘язку і не доводиться до фактичного відшукання розв’язання побудовою, як це робиться, наприклад, у планіметрії, коли практична ціль задачі на побудову в планіметрії та стереометрії складається з відшукання розв‘язку фактичною побудовою інструментами.

Відмічені недоліки традиційної системи навчання розв‘язуванню задач вдається заповнити при навчанні учнів розв’язанню задач на побудову на проекційному кресленні.

Проекційне креслення у викладанні стереометрії.

У викладанні стереометрії роль проекційного креслення повинна бути дуже значною. Від цього у великій мірі залежить досягнення тих цілей, які ставляться в курсі стереометрії. Варто підкреслити велику роль проекційного креслення при навчанні стереометрії - навчити учнів оперувати над просторовими образами і формами, вирішувати задачі з просторовими фігурами, тобто знаходити рішення фактичною побудовою.

Зображення будь-якої просторової форми на площині є плоскою фігурою, що складається з точок та ліній, розміщення яких створює уявлення зображуваної форми. Під плоскою фігурою розумітимемо будь-яку сукупність точок, розміщених у площині. Взагалі, будь-яку геометричну фігуру ми уявляємо як таку, що складається з точок.

Зображення просторової фігури на площині дістають за допомогою відображення цієї фігури шляхом проектування. Проектуванням називають процес побудови зображення (проекції) предмета на площині за допомогою проектуючих прямих.

Основними методами (способами) проектування є центральне і паралельне проектування. Креслення, одержані за допомогою центрального і паралельного проектування, називають проекційними.

Розв’язання стереометричних задач на побудову пов’язане з необхідністю виконання наочних зображень просторових фігур на деяку площину шляхом центрального або паралельного проектування.

Обґрунтування побудови проекційних креслень виконують на основі математичних тверджень, якими є аксіоми, теореми, означення та властивості геометричних фігур, що вивчаються в курсі геометрії. З цією метою користуються аксіомами стереометрії С₁, С₂, С₃ та їх наслідками [15].

Наслідки цих аксіом в стереометрії в посібнику О.В. Погорєлова подані у вигляді теорем 15.1, 15.2, 15.3.

Як для центрального, так і для паралельного проектування є поняття початкової відповідності між зображуваним об’єктом (оригіналом) і його проекцією. Це означає, що кожній точці фігури-орігіналу відповідає одна і тільки одна точка, яка належить проекції цієї фігури на площині.

Центральне проектування визначається заданими площиною  і центром  проекцій, причому .

Приклад 2.

Нехай у просторі задано деяку точку  (мал. 1), зображення якої треба побудувати на площині  і точку . Яку назвемо центром проекцій. Точка  не суміщається з точкою .

Провівши через точку  пряму  до перетину з площиною , дістанемо точку , яка і є центральною проекцією заданої точки на площину .

Паралельне проектування визначається площиною  і напрямом  проектування на цю площину,  не паралельно .

Приклад 3.

Нехай у просторі задано деяку точку  (мал. 2), зображення якої треба побудувати на площині  в заданому напрямі  проектування.

Провівши через точку  пряму, паралельну , до перетину з площиною  дістанемо точку , яка і є паралельною проекцією заданої точки  на площину .

В обох випадках площину  називають площиною проекцій,  або  (мал. 3) - проектуючи прямою або проектуючим променем, точку  - центральною (паралельною) проекцією точки . Точку  - називають оригіналом або проектуючою фігурою. Точка  - єдина.

Означення. Пряма, що проходить через центр проекцій  (при центральному проектуванні) або паралельна напряму проектування  (при паралельному проектуванні), називається проектуючою прямою.

Означення. Проекцією  будь-якої точки  називають точку перетину проектуючої прямої з площиною проекцій .

Те що точка  є проекцією точки  на площину , скорочено записуємо так: . Якщо точка-оригінал, наприклад , суміщається зі своєю проекцією , на площину проекцій, то записують: .

Приклад 4.

Для побудови центральної проекції відрізка  прямої на площину  достатньо побудувати центральні проекції його кінців - точок та

(мал. 3). Тоді дістанемо: , . Сполучимо точки  та  відрізком прямої, маємо .

Приклад 5.

Для побудови паралельної проекції відрізка  прямої на площину  достатньо побудувати паралельні проекції його кінців - точок та  (мал. 4). Тоді дістанемо: , .

При сполученні точок  та  відрізком прямої, маємо .

Після побудови центральної проекції відрізка прямої ми дістали новий геометричний образ - площину. Вона визначається двома прямими  і , які мають спільну точку .

Тоді площини  та  перетинаються по прямій: .

Площина  проходить через центр  проекцій, її називають проектуючою.

Не важко помітити, що за способом проектування, описаним у прикладі 5, , . На основі транзитивності паралельності прямих, , і тому ці прямі визначають єдину площину. Оскільки вона паралельна напряму , то її (як і у випадку центрального проектування) називають проектуючою.

Описаний процес становить суть методу зображень центрального (паралельного) проектування.

Якщо напрям паралельного проектування перпендикулярний до площини проекцій, то таке проектування називають прямокутним (ортоганальним). При цьому запис  означає, що точка  - ортогональна проекція точки  на площину проекцій . Малюнок 5 є ілюстрацією побудови ортогональної проекції відрізка  на площину . Зображенням фігури називається “будь-яка” проекція її (або фігура, їй подібна) на деяку площину. Під словами “будь-яка” розумітимемо центральну або паралельну проекції.

Властивості проекцій.

Щоб грамотно будувати зображення геометричної фігури в центральній чи паралельній проекціях, треба знати властивості цих проекцій.

Центральна проекція має властивості, які випливають з описаного способу побудови.

1.      Проекцією точки є точка.

2.      За даних умов проектування (задані площина  і центр  проектування) кожна точка простору за винятком точки  має не більше однієї проекції, оскільки через дану точку і центр проекцій можна провести єдину проектуючу пряму.

Проектування можна виконати для будь-якої точки простору, за винятком точок, що лежать у площині, яка проходить через центр проекцій  і паралельна площині проекцій .

Означення. Пряма, похилена до площини називається прямою загального положення.

.        Поекцією прямої загального положення є пряма (мал. 5). Справді, площина, яка визначається точкою  і прямою , перетинає площину проекцій  по прямій . Якщо пряма проходить через центр  проекцій, то вона проектується в точку, оскільки в цьому випадку ця пряма є проектуючою.

.        Якщо точка належить будь-якій лінії (прямій чи кривій), то проекція цієї точки належить проекції цієї лінії, тобто, якщо , то  (мал. 6).

Паралельна проекція має властивості, які випливають з описаного способу побудови.

1.      Проекцією точки є точка.

2.      За даних умов проектування (задані площина  і напрям  проектування), кожна точка простору, яка не належить напряму , має не більше однієї проекції.

Справді, через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині на більше як одну пряму, паралельну даній (аксіома паралельних прямих).

3.       Проекцією прямої загального положення є пряма.

Справді, нехай  і  - дві різні точки даної прямої  і  - напрям паралельного проектування (мал. 7). Побудувавши паралельні проекції  та  точок  і  прямої , ми дістали проектуючі прямі  та . Через те, що , то через прямі  та  можна провести площину і до того ж тільки одну. Позначимо цю площину через . Тоді  і  переринаються по прямій. Яка і є проекцією даної прямої.

Якщо пряма паралельна напряму  проектування, то вона проектується в точку, оскільки в цьому випадку ця пряма є проектуючою.

4.  Проекції паралельних прямих паралельні.

Так площини  і  (мал. 8) проведені в просторі через паралельні прямі  і , паралельні між собою. Ці площини перетинаються третьою (у даному випадку площиною ) по прямих  і , які паралельні між собою.

5.  При паралельному проектуванні відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих дорівнює відношенню проекцій відповідних відрізків (мал. 9).

Наслідок. Середина відрізка прямої при паралельному проектуванні проектується в середину проекції цього відрізка.

6.  Якщо точка належить прямій, то проекція цієї точки належить проекції даної прямої.

Ця властивість, яку називають властивістю належності, випливає з означення проекції фігури як сукупності проекцій усіх її точок.

7.      Якщо відрізок  паралельний площині проекцій , то довжина його проекції  на цю площину дорівнює довжині даного відрізка.

Справді, нехай , тоді відрізок  однаково віддалений від площини проекцій (мал. 10), і тому , де  та  - відповідно паралельні проекції кінців відрізка  на площину проекцій . Внаслідок побудови проекції відрізка  дістанемо чотирикутник , який є паралелограмом, отже .

Тобто можна зробити такі висновки.

Зображення побудова в центральній або паралельній проекціях, мають свої позитивні якості та свої недоліки. Наше око бачить всі предмети в центральній проекції. Вона дає чудове загальне уявлення про зображені предмети. Але її властивості та закони її побудови досить складні і це створює певні труднощі для детального вивчення зображених предметів за їх зображенням. Ці проекції використовуються, наприклад, архітектурі, коли треба виконати зображення населених пунктів та будівель.

Стосовно паралельної проекції, то ми ніколи не бачимо предмети такими, якими вони зображуються в цій проекції. Проте її властивості і закони її побудови простіші ніж для центрального проекції. Через те паралельна проекція (а точніше - ортогональна проекція) широко використовується в техніці. Всі технічні креслення виконуються в ортогональній проекції.

Співставлення та протиставлення центрального та ортогонального способів проектувань легко показує те спільне і відмінне, що їм притаманне, спільні і відмінні властивості відповідних проекцій. Учні приходять до висновку про незмінні властивості проектуючих об’єктів відносно проекційних відображень:

a)        Проекцією точки є точка.

b)      Проекцією прямої (в загальному випадку) є пряма.

c)       Якщо пряма паралельна напряму  проектування або проходить через центр  проекцій, то її проекцією є точка.

При розгляді властивостей паралельно проектування, слід звернути увагу учнів на зображення взаємозалежності точки і прямої.

Із властивості збереження при паралельному проектуванні випливає досить важливий наслідок: проекція середини відрізка-оригіналу є серединою його проекції на площину (тобто середина переходить у середину).

У підсумковій бесіді з учнями доцільно розглянути проектування на площину кривих ліній. Внаслідок чого центральне проектування інколи називають - конічним, а паралельне - циліндричним.

Поняття проекційного креслення можна дати учням після вивчення аксіом стереометрії та їх наслідків, перпендикулярності та паралельності прямих та площин. Тільки після цього можна перейти до розв’язання відповідних стереометричних задач на побудову.

.2 Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв’язування

Стереометричні задачі на побудову можна систематизувати за такою схемою (стор. 20).

Розв‘язання задач на уявлювану побудову

Незважаючи на те, що шкільна практика накопичила великий досвід навчання розв‘язуванню задач на уявлювану побудову, математична постановка розв‘язування цих задач не досить відпрацьована на теперішній час. Для строгої постановки проблеми на побудову в уяві зводиться до перерахування геометричних операцій, кожна з яких визнається “виконуваною”. Для строгої постановки проблеми розв’язування задач цим методом повинен бути складений точний перелік “виконуваних” (конкретних) операцій. Задача на уявлювану побудову після цього вважалась би розв‘язаною, якщо б побудова шуканого елемента зводилась до “виконання” тільки прийнятих конструктивних операцій.

На даний момент не тільки не складене необхідне перерахування “виконуваних” операцій, але й не знайдено критеріїв для його складання.

Однак і при такій невизначеній математичній постановці проблеми розв‘язання задач на уявлювану побудову, навчання розв‘язуванню цих задач в середній школі корисно та необхідно.

В процесі розв‘язування задач на побудову учні освоюються з розумінням і виконанням ілюстрованого креслення, навичка володіння яким необхідна для вивчення всього програмного матеріалу.

Прийнята така система виконуваних операцій:

). Площину можна провести:

·   через три точки,

·        через пряму і точку,

·        через дві паралельні прямі.

). Лінія перетину двох площин, які перетинаються може бути побудована.

). У побудованих площинах виконувані всі побудови, проведені циркулем, лінійкою та транспортиром.

Найбільш слушний момент для початку систематичного навчання розв‘язуванню задач на уявлювану побудову являється закінчення практики по розв‘язанню задач на побудову точок і ліній перетину ліній та площин. До цього моменту учні встигають освоїтись з ефективними методами розв‘язання задач і поняття нового методу розв‘язання задач на побудову, який вводиться у порівнянні зі старим, зазвичай не викликає утруднень.

Приклад 6.

Через дану точку  провести площину, паралельну даній площині .

Розв‘язання.

Аналіз. Нехай  - дана площина (мал. 11), тобто  та . Побудуємо в площині  різні прямі  та , які проходять через точку , а в площині візьмемо точку . Побудуємо площини  і . Так як  і , то , і тому . Аналогічно .

Так як  однозначно визначається прямими  та , то задачу можна звести до побудови прямих  та , які проходять через точку  і паралельні .

Побудова.

) .

) , .

)  і .

) , .

)

(мал. 11)

Доведення.

Так як за побудовою  і , то . Аналогічно . Тоді  і , тобто  - шукана площина.

Дослідження.

Покажемо, що задача має єдиний розв‘язок. Підемо від противного, тобто, що існує ще  і , . Тоді , і отримаємо, що в площині  через точку  можна провести дві прямі  та  паралельні прямій , що є протиріччям аксіомі о паралельних. Отримане протиріччя показує, що задача має один розв’язок.

Розв‘язання задач на уявлювану побудову розкривається учням як доведення існування розв‘язку, а розв‘язання на проекційному кресленні - як його фактична побудова. Ця різниця особливо успішно устоюється учнями, якщо на перший крок навчання розв’язанню задач на уявну побудову кожну з розглянутих задач розв‘язувати обома способами.

Приклад 7.

Через точку, розташовану поза даною прямою, провести пряму, паралельну даній прямій.

Розв‘язання 1.

Точка  і пряма  визначають площину . В цій площині через точку  проведемо пряму , паралельну прямій (мал. 12).

Розв‘язання 2.

Через точку  проведемо пряму , паралельну прямій , і пряму  паралельну прямій . Задавши на прямій () яку-небудь точку  закінчуємо розв‘язання задачі на побудову (мал. 13).

Увага учнів звертається на те, що в першому розв‘язанні ні побудова площини , ні побудова прямої  фактично не виконувалося, що в наведених операціях признається тільки факт існування площини  і прямої .

Ще слід звернути увагу учнів на те, що не визначає рішення виконане ілюстративне креслення, так як на ньому пряма  служить зображенням не тільки прямої, паралельної прямій .

Далі як розв‘язання так і аналіз наступних задач вони можуть виконати самостійно.

). Через точку, яка розташована поза даною площиною, провести пряму, паралельну даній площині.

). Через пряму, паралельну даній площині, провести площину, паралельну даній.

). Через точку, яка не належить двом мимобіжним прямим, провести площину, паралельну цим прямим.

При дотриманні «методичних мір» у навчанні розв‘язанню задач на уявлювану побудову їх кількість можна збільшити у порівнянні з кількістю задач, які рекомендовані для розв‘язання програмами.

). Через дану пряму провести площину, паралельну іншій даній прямій.

). Через дану точку в просторі провести площину, перпендикулярну даній прямій.

). Через дану точку провести пряму, перпендикулярну даній площині.

Розділ 2. Методика вивчення задач на побудову в старшій профільній школі

.1 Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв’язуванню стереометричних задач на побудову

При розв’язуванні задач на проекційному рисунку вважається, що ми вміємо виконувати всі відомі нам планіметричні задачі на побудову.

Задача вважається розв’язаною, якщо вказано спосіб побудови фігури і доведено, що в результаті отримали дійсно фігуру, необхідну нам.

Паралельні проекції деяких плоских фігур

(площина фігури не паралельна напряму проектування)

Задачі на проекційному рисунку - 2^х видів:

1)      Дано проекційне зображення фігури і треба побудувати якісь елементи,

2)      Побудова перерізів.

Побудова зображень плоских многокутників

У 10 класі при вивченні теми: “Паралельне проектування та його властивості” корисно поповнити невелику кількість задач діючого підручника задачами на зображення правильних многокутників та їх комбінацій з колом.

Користуючись властивостями паралельного проектування, з’ясувати алгоритм зображення та виконати зображення:

. 1. Трикутника,

. Паралелограма,

. Шестикутника.

1.      Зображення трикутника.

З теореми існування випливає, що будь-якій трикутник, зображений на малюнку, можна прийняти (з точності до подібності) за проекцію трикутника будь-якої наперед заданої форми. Тому зображення трикутника на площині довільне. Наприклад, маючи зображення АВС (мал. 14), ми можемо прийняти його за проекцію правильного трикутника або за проекцію прямокутного трикутника тощо. Така невизначеність трикутника пояснюється тим, що величини кутів і сторін трикутника не інваріантні при паралельному проектуванні. Тому за зображенням не можна визначити вид трикутника (таке зображення називається необоротним).

На основі властивостей паралельних проекцій на зображенні трикутника можна побудувати медіану (оскільки медіана ділить сторону навпіл). Можна побудувати точку D на будь-якій стороні трикутника АВС, наприклад на стороні АВ, коли відомо, в якому відношенні точка D ділить сторону  в оригіналі. Можна побудувати в площині трикутника АВС точки Е, яка є паралельною проекцією точки , оригіналу. Якщо знаємо відношення  і  в оригіналі.

Із сказаного випливає, що після того, як виконано побудову зображення трикутника-оригіналу, всі дальші побудови в його площині виконуються на основі властивостей паралельного проектування.

2.      Зображення чотирикутника.

Зображення будь-якого паралелограма можна виконати у вигляді зображення будь-якого паралелограма. Справді, у паралелограма  можна виділити трикутник  і виконати його зображення довільним трикутником АВС. Потім цей трикутник слід добудувати до паралелограма. Щоб виконати зображення квадрата, а також ромба і прямокутника, слід накреслити довільний паралелограм.

Зображенням трапеції є довільна трапеція з тим самим відношенням основ, що й в оригіналі.

Для побудови зображення трапеції на площині проекцій a досить у цій площині вибрати довільний базисний трикутник і визначити на його стороні положення зображення точки перетину діагоналей трапеції.

3.      Зображення довільного многокутника.

Побудова зображення довільного многокутника аналогічна до побудови чотирикутника. Вона зводиться до вибору базисного трикутника і наступного визначення зображення вершин многокутника.

Покажемо три способи побудови правильного шестикутника.

Побудувати шестикутник .

1.      Побудувати зображення трикутника  довільним трикутником АВС (мал. 15).

.        Виконати зображення трикутника  (утвореного малими діагоналями правильного шестикутника) довільним трикутником АСЕ (мал. 16).

.        Виконати зображення прямокутника  паралелограмом  (мал. 17).. Виконаємо зображення трикутника  довільним трикутником АВС (мал. 15). Точка  - середина відрізка . Ця властивість зберігається, тому точка  повинна бути серединою відрізка АС. Тепер можна провести пряму ВЕ. На ній будуємо точки О і Е, користуючись тим, що відношення відрізків зберігається: . Точку D можна побудувати різними способами: а) , б) , в) проводимо пряму АО.

Аналогічно будуємо точку .. Побудову зображення шестикутника  за базисами трикутника  можна зрозуміти з малюнка 16.. Цей спосіб найпростіший. Його суть полягає в тому, що на оригіналі  виділено не трикутник, як базисну фігуру, а прямокутник, наприклад  (мал. 17а). Цю побудову виконуємо, враховуючи, що протилежні сторони правильного шестикутника паралельні його більшим діагоналям. Цей спосіб лає деякі переваги перед двома іншими: відразу маємо можливість побудувати не три, а чотири вершини шуканого шестикутника, решту - дві вершини С і F знаходимо досить простими побудовами, проводячи через кожну з побудованих чотирьох вершин прямі, паралельні діагоналям паралелограма  до взаємного перетину.  шукана точка,  шукана точка.

2. круга і двох спряжених діаметрів до горизонтального (мал. 18, 19)

. правильних вписаних в коло:

1.  Трикутника (мал. 20, 20а),

2.  Чотирикутника (мал. 21, 21а),

3.  Шестикутника (мал. 22, 22а).

У збірнику завдань для державної атестації під редакцією Г.М. Литвиненко, Л.Я. Федченко, В.О. Швець є такі завдання:

1.      Завдання обов’язкового рівня.

№ 199.

а) Побудуйте у рівнобічній трапеції зображення висот, проведених із вершин тупих кутів.

б) Трикутник А₁В₁С₁ є паралельною проекцією рівностороннього трикутника АВС на площину a. Побудуйте проекції на площину a прямих, перпендикулярних до сторін трикутника АВС, і проведених через точку М, взяту на стороні трикутника АВС.

Приклад 8 (№ 199 а)).

Побудувати у рівнобічній трапеції зображення висот, проведених з вершин тупих кутів (мал. 23).

Дано: ABCD - трапеція,

Побудувати:

Побудова:

I.       Спосіб (мал. 24)

1) ,

) M - середина ,

) ,

)  і  

Доведення (мал. 24): 1) Трикутники рівні (за двома сторонами і кутом між ними), тоді ,

) Оскільки  (за умовою), то ,

) BCMK - паралелограм (за побудовою)

,

) , .

II.  Спосіб (мал. 25)

1) ,

) К - середина ,

) ВК - висота,

)

Доведення (мал. 25а): 1) , ( - паралелограм:  - за побудовою).

) Трикутник  - рівнобедрений, ВК - медіана (висота), .

III.     Спосіб (мал. 26)

1)           Р - середина ВС, Q - середина AD,

2)

Доведення (мал. 26а): 1) Трикутники  - рівні (за двома сторонами і кутом між ними, ), тоді .

)  - січна),

 - січна), тоді .

) Трикутник  - рівнобедрений,  - медіана (висота).

) . .

2.2 Спецкурс

Одним з ефективних засобів формування в учнів просторової уяви і просторового уявлення є розв‘язання задач на побудову перерізів многогранників і тіл обертання, обґрунтування форм цих перерізів.

Неважко зрозуміти, що така навчальна робота є, так би мовити, пропедевтикою, вступом до розв‘язування стереометричних задач із застосуванням тригонометрії.

Досвід показує, що саме побудова наочних зображень на площині стереометричних форм та ще й с перерізом, створює учням певні труднощі, які є причиною небажаних помилок при розв‘язанні відповідних сюжетних задач із застосуванням стереометрії.

Допомогти учням усунути згадані тут труднощі можна, якщо залучити їх до розв‘язування системи задач на побудову перерізів многогранників та тіл обертання.

1.      Побудувати переріз трикутної піраміди площиною, що проходить через три точки , , , які розміщені на бічних ребрах піраміди.

.        Побудувати переріз трикутної піраміди площиною, яка проходить через її висоту, і одну з вершин основи.

.        Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, яка поділяє пополам кут, утворений бічною гранню і площиною основи піраміди.

.        У трикутній піраміді побудувати переріз площиною, яка проходить через її висоту паралельно одній з сторін основи.

.        Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, яка проходить через сторону основи перпендикулярно до протилежного ребра.

.        Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, яка проходить через точку , задану на бічному ребрі , перпендикулярно до висоти  основи .

.        Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, яка проходить через точку на ребрі , паралельно площині, протилежній ребру бічної грані .

.        Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, яка проходить через центр основи паралельно бічній грані.

.        Побудувати переріз правильної трикутної піраміди площиною, яка проходить через середню лінію  основи, паралельно бічному ребру.

Робота по ознайомленню учнів з проекційним кресленням може бути продовжена у 10 класі при навчанні учнів розв‘язанню задач на побудову перерізів многогранників. Особливу увагу при цьому треба звернути на наступність розглянутих вище методів побудови точок перетину прямих та площин, ліній перетину площин і методів побудови перерізів геометричних тіл.

Важливий момент у навчанні розв‘язку задач на побудову перерізів при розгляданні методики складає виділення в умові задач елементів, які задають січну площину. Якщо умовою задачі січна площина задана точкою і прямою або прямими, які перетинаються, або паралельними прямими, то, обираючи на них три точки, зводимо розв‘язання задачі до побудови перерізу площиною, яка задана трьома точками.

Задачі, пов‘язані з необхідністю зображення перерізів ми розіб‘ємо на два випадки. До першого відносяться задачі, в яких потрібно побудувати переріз, а до іншого - ті з них, в умові яких обумовлюється (або мається на увазі), що переріз проведено.

Для розв‘язання задач, які потребують побудову перерізів використовують процес побудови за схемою вирішення цих задач (аналіз, побудова, доведення, дослідження), або, в більш простих випадках, за декілька спрощеною схемою (наприклад, опускається аналіз, побудова поєднується з доведенням). Дослідження задач на побудову перерізів не треба змішувати з дослідженням розв‘язання задач на обчислення яких-небудь величин, пов‘язаних з існуванням перерізу.

При розв‘язанні задач як першого, так і другого типів необхідно переконатися у вичерпності зображення, на якому повинен бути побудований переріз (для задач першого типу) або на якому переріз зображено (для задач другого типу).

Перейдемо до розглядання задач першого типу. Зупинимось спочатку на побудові перерізів методом сліду січної площини.

Побудова перерізів геометричних тіл методом слідів

Слідом січної площини називають пряму, утриману при перетині січної площини з якою-небудь площиною, яка задана на зображенні.

Цей метод полягає в побудові слідів площини перерізу на гранях даної фігури.

Приклад 9. Побудувати лінію перетину (слід) площини  з основною площиною , якщо площина  задана точками  які не належать площині .  - проекції точок  на площину .

Розв‘язання.

Коли дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Отже треба побудувати такі дві точки  та , які визначають єдину пряму , що належить площині  (мал. 27). Такими точками будуть точки перетину прямих  і  з пл. . З цього випливає така побудова: визначаємо точку , в якій пряма  перетинає площину проекцій , і точку , в якій пряма  перетинає ту саму пл. . Оскільки знайдені точки  та  одночасно належать і площині , і площині , і ці точки різні, то  - шукана пряма, яка і слідом перетину площини  і площини .

Зауваження.

Пряма  - не лише слід, а й носій точок перетину нескінченої сукупності прямих, які належать площині  і перетинають основну площину . Це положення є одним з головних під час розв‘язання задач на побудову перерізів геометричних тіл методом слідів.

Розв‘яжемо кілька задач на побудову перерізів геометричних тіл методом слідів.

Приклад 10. На ребрах куба  дані точки ,  і такі, що ,  і . Побудувати переріз куба площиною .

Розв‘язання:

Вияснимо спочатку, чи має розв’язок ця задача. Нехай фігура  являється зображенням куба (мал. 28). Це зображення повне. Зрозуміло також, що, маючи на зображенні точки ,  і  - проекції точок ,  і ми можемо знайти і вторинні проекції точок ,  і . Для цього достатньо виконати в площині зображення внутрішнє паралельне проектування, наприклад, в направленні паралельному (). Таким чином ми знайдемо точки ,  і  і прийдемо до висновку, що зображення січної площини являється заданим. Тоді задача о знаходженні перетину площини заданої точками ,  і з поверхністю куба розв'язана.

Перейдемо безпосередньо до побудови перерізу (звичайно говорять о побудові перерізу, хоча мова йде о побудові зображення перерізу). Перший етап в загальній схемі розв‘язання задачі на побудову - аналіз - у розглянутому прикладі опускається, а другий і третій етапи - побудова та доведення - проводяться одночасно.

По-перше знайдемо слід січної площини - лінію перетину площини  з площиною .

) .

Так як , а , то . Так як , а , то . Таким чином точка  являється спільною точкою двох площин  та . Точка  також являється спільною точкою двох площин. Тоді  - пряма, по якій перетинаються площини  та , тобто

)  - слід січної площини.

Далі: 3) ,

) ,

) .

Так як , а  і , то  і . Так як , а , то . Таким чином точка являється спільною точкою площин  і . Точка  також являється спільною точкою площин. Тому  - пряма, по якій перетинаються січна площина  з площиною бокової грані  куба.

) ,

) ,

) .

Аналогічно знаходимо точку  та виконуємо подальші побудови:

) ,

) ,

) .

Оскільки за побудовою вершини многокутника  являються точками, які лежать в січній площині  і належать ребрам куба, то многокутник  - шуканий переріз.

Так як за змістом задачі точки ,  і  не лежать на даній прямій, то задача має єдине рішення.

Змінемо умову задачі.

Приклад 11.

Дано куб  і точки ,  і такі, що , , а точка  - центроїд грані . Побудувати переріз куба площиною .

Розв‘язання.

Як і в попередньому прикладі, знаходимо точки ,  і . Аналогічно попередньому прикладу знаходимо слід січної площини (мал. 29), отримаємо шуканий переріз.

Побудову перерізу циліндра і конуса виконуємо за аналогією до побудови перерізу призми і піраміди площиною. якщо уявити, що в циліндр (конус) вписано n-кутну призму (піраміду), то бічні ребра призми (піраміди) - є не що інше, як твірні циліндра (конуса). Отже, вершини шуканого перерізу будуть розміщені на твірних циліндра (конуса): це точки перетину січної площини  з твірними циліндра чи конуса.

Щоб побудувати лінію перерізу циліндра (конуса) площиною, слід визначити точки перетину контурних прямих з даною площиною.

Приклад 12.

Побудувати переріз циліндра площиною, яка задана слідом а в нижній основі і точкою  на видимій частині циліндричної поверхні.

Розв‘язання.

За умовою точка  належить бічній поверхні циліндра, отже, вона належить і шуканій лінії перерізу. Щоб побудувати ще кілька точок, які визначають контур перерізу, міркуватимемо так. Січна площина перетинає контурні прямі  і  в деяких точках  і , ортогональні проекції яких на основній площині  відомі , якщо , то , , якщо , то (мал. 30).

Пряма  належить основній площині , тому . Знаючи проекцію прямої-оригіналу на пл.  і одну точку  цієї прямої, можна визначити другу її точку, яка належить і прямій а, по якій січна площина перетинає пл. .

. .

Через те що пряма  і відрізок  належать одній площині, і не паралельні між собою, то:

. ,

. .

Через те що точки  і твірна  належать одній площині, то:

. .

Коли січна площина перетинає всі твірні циліндра, то перерізом буде еліпс. Трьох точок  і  не достатньо для його побудови. Треба побудувати ще кілька точок, які належать еліпсу перерізу. Кожна з цих точок належить твірним циліндра, які. Проекції цих точок належать колу, що є основою циліндра і одночасно є основами твірних циліндра, які проходять через зазначені точки.

Вибравши довільно точки  на основі циліндра, проводимо через них твірні, які “несуть” на собі точки-оригінали .

. ,

. ,

. .

. ,

. .

. ,

. ,

. .

Побудовані точки , як і задана точка , належать поверхні циліндра, а тому і визначають лінію, по якій січна площина перетинає його. Сполучивши точки  плавною кривою дістанемо наочне зображення фігури перерізу - еліпс.

Приклад 13.

Побудувати переріз циліндра (конуса) площиною, заданою трьома точками, дві з яких належать бічній поверхні, а третя розміщена поза циліндром (конусом).

Розв’язання.

Нехай заданими точками будуть  дві з яких  і  розміщені на поверхні циліндра (мал. 31), (для конуса мал. 32), а точка - поза циліндром (конусом).

Будуємо слід  перетину січної площини з площиною основи циліндра (конуса):

. , , ,

. .

. , , ,

. ,

. .

 - пряма перетину (слід) січної площини з площиною основи циліндра (конуса).

Точка  не належить бічній поверхні і не належить шуканому перерізу циліндра (конуса), точки ж  і  належать лінії перерізу, але їх не достатньо для лінії побудови. Тому будуємо ще кілька точок, що належать лінії, по якій січні площина перетинає поверхні даних тіл обертання. Для цього визначимо місце положення точок-оригіналів  і , які належать контурним твірним циліндра (конуса), їх проекції на площину наперед знаємо. Для циліндра: , , . , , .

. ,

. ,

. .

. ,

. ,

. .

Сполучивши плавною кривою точки , дістанемо шукану лінію перерізу - еліпс.

1. Задача на побудову точки перетину прямої з площиною є основою методу розв‘язання задач на побудову перерізів многогранників та тіл обертання методом слідів.

2.      Побудова сліду (прямої) перетину січної площини якщо його не задано з основною площиною є головним етапом в розв‘язанні задач на знаходження лінії перерізу.

.        Побудова сліду можлива, якщо задана січна площина не паралельна основній площині і не виходить за межі аркуша паперу.

Побудова перерізів геометричних тіл методом внутрішнього проектування.

Між точками будь-якої площини, яка не є проектуючою відносно основної площини, і точками основної площини існує взаємно однозначна відповідність. Це означає, що коли на малюнку задано якусь площину (наприклад, двома точками), то для кожної точки цієї площини можна побудувати її проекцію, і навпаки, знаючи проекцію точки даної площини, можна побудувати цю точку.

Метод відповідності або внутрішнього проектування ґрунтується на взаємно однозначній відповідності між точками січної площини та їх проекціями на основну площину.

Розглянемо задачу на побудову точки перетину січної площини з проектуючою прямою. Її розв’язання розглянемо для випадку паралельного і центрального проектування.

Приклад 14.

Площину  задано трьома точками . Задано також проектуючи пряму  слідом . Побудувати точку  перетину площини  з прямою .

Розв’язання.

Для зручності виконання запису позначимо площину  через , а площину  через . Тоді площина  - січна, площина  - основна. За умовою чотири точки  і  повинні належати одній площині. Тому розв’язання даної задачі можна звести до побудови точки перетину прямих  і .

Проектування паралельне.

Виконуємо такі побудови:  (мал. 33). Далі: .

Беручи до уваги властивість інцидентності точки і прямої, виконуємо такі побудови:

, пряма  - заданий напрям проектування, .

.

Отже, за відомими чотирма проекціями, з яких відомі три їх оригінали, ми побудували і четверту точку-оригінал.

(мал. 33)

Приклад 15.

Дано куб  і точки ,  і такі, що , , а точка  - центроїд грані . Побудувати переріз куба площиною .

Розглянемо на прикладі 11 метод внутрішнього проектування.

Виконаємо побудову (мал. 34):

)  і ,

) ,

) , ,

) ,

) .

Ясно, що . Дійсно, , тобто , і тому . Але , тобто . Після знаходження четвертої точки, яка належить січній площині, і поверхні перерізу куба, побудову можна виконати наступним чином:

) ,

) ,

) ,

) ,

) .

Отриманий многокутник  являється шуканим перерізом.

Приклад 16.

На бічній поверхні циліндра позначено три точки . Побудувати переріз циліндра площиною, яка проходить через ці точки.

Розв’язання.

За площину проекцій візьмемо площину  основи циліндра (мал. 35). Внутрішнім проектуванням є паралельне проектування, напрям якого визначається контурною твірною циліндра, наприклад, .

Побудова перерізу виконується аналогічно до побудови перерізу прямої призми. Для побудову перерізу циліндра треба визначити точку перетину контурних твірних циліндра з січною площиною. Такі точки називаються базисними.

Описані вище методи сліду січної площини і внутрішнього проектування застосовується і при побудові перерізів піраміди. В цьому випадку існує центральне проектування.

Застосування центрального проектування

Позначимо через точку S довільну точку простору, обрану нами в якості центра проекцій. Основну площину позначимо . Тоді, точка А простору, буде зображатися на кресленні разом зі своєю “основою” , яка являється проекцією точки із центра S на площину основи . Таким чином, запропонований метод зображення допускає, крім тієї паралельної проекції, яка служить власне для побудови креслення, ще деякі попередні проектування з центра S на площину .

Приклад.

Площину  задано трьома точками . Задано також проектуючи пряму  слідом . Побудувати точку  перетину площини  з прямою .

Розв’язання.

Для зручності виконання запису позначимо площину  через , а площину  через . Тоді площина  - січна, площина  - основна. За умовою чотири точки  і  повинні належати одній площині. Тому розв’язання даної задачі можна звести до побудови точки перетину прямих  і .

Проектування центральне.

Виконуємо такі побудови:  (мал.). Далі: .

 точка  - заданий центр проекцій, .

Отже, за відомими чотирма проекціями, з яких відомі три їх оригінали, ми побудували і четверту точку-оригінал.

Беручи до уваги властивість інцидентності точки і прямої, виконуємо такі побудови:

, пряма  - заданий напрям проектування, .

.

Приклад.

На бічній поверхні циліндра позначено три точки . Побудувати переріз циліндра площиною, яка проходить через ці точки.

Приклад.

На бічній поверхні конуса позначено три точки . Побудувати переріз циліндра площиною, яка проходить через ці точки.

На малюнку (мал. 22) переріз піраміди площиною  побудовано за допомогою сліду  січної площини, а на малюнку (мал. 23) - методом внутрішнього проектування.

(мал. 22)

(мал. 23)

Приклад 1.

Побудувати переріз піраміди, який проходить через точки ,  і .

метод - метод сліду.

Розв‘язання.

Знайдемо проекції точок ,  і на площину : , , точка  проектується в точку .

Знайдемо слід січної площини - лінію перетину площини  з площиною .

)

Так як , а , то . Так як , а , то . Таким чином точка  являється спільною точкою двох площин  та .

)

Точка  також являється спільною точкою двох площин. Тоді  - пряма, по якій перетинаються площини  та , тобто

)  - слід січної площини.

Далі:

) ,

) ,

) .

Так як , а  і , то  і . Так як , а , то . Таким чином точка являється спільною точкою площин  і . Точка  також являється спільною точкою площин. Тому  - пряма, по якій перетинаються січна площина  з площиною бокової грані  піраміди.

)

) .

Оскільки за побудовою вершини чотирикутника  являються точками, які лежать в січній площині  і належать ребрам піраміди, то многокутник  - шуканий переріз.

Так як за змістом задачі точки ,  і  не лежать на одній прямій, то задача має єдине рішення.

метод - метод внутрішнього проектування.

Розв‘язання.

Як і в попередньому прикладі знайдемо проекції точок ,  і - точки ,  і .

) і ,

) ,

) ,

)

Ясно, що . Дійсно, , тобто , і тому . Але , тобто .

) ,

) ,

) .

Отриманий чотирикутник  - шуканий.

Засоби завдання перерізів многокутників дуже різноманітні. Січна площина може бути задана двома точками та якоюсь прямою, якою заданий переріз паралельно або перпендикулярно, двома точками і площиною, якою задано переріз паралельно або перпендикулярно, і т. д.

Приклад 2.

В правильній трикутній піраміді  проведено переріз, паралельно ребру , який проходить через точки  і  - середини ребер  і  відповідно.

Розв‘язання.

Нехай чотирикутник  з його діагоналями  та  являється зображенням даної піраміди (мал. 14). Зрозуміло, що двома точками  і  та прямою цілком визначається положення січної площини. Таким чином, задача о побудові перерізу на цьому зображенні виконувана. Перейдемо до зображення січної площини.

Позначимо січну площину через .

Так як , , , , то , . Але , і . Тоді . Далі,

) .

Так як , то площина , яка проходить через ребро , перетне  по прямій, яка проходить через точку  і паралельній ребру . Тому

) . Аналогічно

) , після цього

) .

Ясно, що чотирикутник  задовольняє умові задачі і тому являється шуканим перерізом. Не важко переконатися, що потрібний переріз існує, при тому тільки один.

Зауваження.

Метод відповідності зручно застосовувати тоді, коли слід січної площини у площині основи многогранника або тіл обертання лежить за межами креслення цих фігур. Незручність цього методу полягає в тому, що велика кількість штрихових ліній, які доводиться проводити в процесі розв‘язання задачі, викликає помітні труднощі в читанні креслень.

За допомогою цього ж прикладу розглянемо другий тип задач, тобто задач в умові яких обумовлюється (або мається на увазі), що переріз проведено.

Нехай в прикладі 12 сторона основи піраміди дорівнює , а бічне ребро дорівнює . Знайдемо площину перерізу.

Для цього нам треба вияснити форму перерізу (вид чотирикутника ).

Так як за побудовою  і , то .  - середня лінія трикутника , тобто . Аналогічно , тому , и тоді чотирикутник  - паралелограм, причому , . Для знаходження площі паралелограма цих даних, однак, не достатньо, тому уточнимо форму паралелограма . Побудуємо  - медіану трикутника . Ясно, що , точка  - основа висоти  піраміди.

Так як  і  - проекція відрізка  на площину , то  (за теоремою о трьох перпендикулярах).

Таким чином,  і . Але тоді . (Ми довели, що мимобіжні ребра правильної трикутної піраміди взаємно перпендикулярні).

Далі, так як  і , то і , тобто паралелограм  - прямокутник.

Таким чином отримаємо:

.

Приклад 3.

В основі піраміди  лежить прямокутний трикутник . Ребро  перпендикулярно площині основи, . Через середину ребра  перпендикулярно до ребра  проведемо січну площину і знайдемо площу отриманого перерізу.

Побудуємо зображення.

Нехай чотирикутник  з його діагоналями  і  являється зображенням даної піраміди (мал.).

)  медіана трикутника ,

) точка  - середина ребра ,

) ,

)  - медіана трикутника ,

) .

Для того щоб побудувати , спочатку побудуємо . Зазначимо, що в прямокутному трикутнику   і тому . Тоді з трикутника , де , знаходимо, що . Таким чином, для того щоб відрізок  було зображенням перпендикуляра до ребра , повинна виконуватись рівність:

, або , звідси знаходимо, що , тобто .

Далі ми продовжимо побудову в такій послідовності:

) точка  така, що ,

) ,

) ,

) .

Доведемо, що площина чотирикутника  перпендикулярна ребру . Дійсно, , тобто . Крім того, за побудовою . Тоді  і . Далі  і , тобто . Таким чином, переріз  задовільняє умовам залачі і, тому, являється шуканим.

Зрозуміло, що так як січна площина перпендикулярна даній прямій і проходить через дану точку, яка належить поверхні піраміди, визначена цими умовами, існує і при тому тільки одна.

Побудову зображення закінчено, і можна перейти до подальших етапів розв’язання.

Дано:

- піраміда,  - вершина, , , , ,  - переріз піраміди, .

Знайти:  

Розв’язання:

Для того щоб розрахувати дану площу, визначимо спочатку вид чотирикутника .

З прямокутних трикутників  і маємо відповідно:

 і .

Але . Таким чином, .

Оскільки , то  - проекція ребра  на площину . Але . Тоді і .

З подібності трикутників  і  

,

звідси .

З подібності трикутників  і  

,

звідси .

Але , тобто , а тоді .

Таким чином, чотирикутник  має ту особливість, що в нього

Далі не важко побачити, що трикутники  і  і тому . Але  і , тобто .

Звідси, ,

а тоді, .

Навчання розв‘язку задач на проекційному кресленні служить активним та гнучким засобом розвитку просторової уяви. При елементарній старанності у викладанні вдається настільки розвинути просторову уяву всіх учнів, що вони вільно вирішують задачі на уявну побудову.

Практика розв‘язання задач на побудову на проекційному кресленні полегшує учням засвоїти стереометрію, розвиває навички на побудову зображень. Знання та вміння, отримані учнями, виявляються корисними для продовження освіти, для застосування отриманих знань у повсякденному житті. Особливо це стосується тієї частини учнів, яка йде на виробництво.

.3 Комп’ютерна підтримка навчання учнів розв’язуванню стереометричних задач на побудову засобами пакету GRAN

Ефективність засвоєння знань учнями за умов широкого впровадження засобів нових інформаційних технологій навчання (НІТН) при вивченні геометрії в значній мірі залежить від педагогічних програмних засобів (ППЗ), що дозволяють поєднати високі обчислювальні можливості при дослідженні різноманітних геометричних об’єктів з унаочненням результатів на всіх етапах розв’язування задач.

Використання спеціалізованих програмних засобів надає можливість учневі розв’язувати окремі задачі, не знаючи відповідного аналітичного апарату (наприклад, обчислювати об’єми та площі поверхонь довільних многогранників, не знаючи формул для їх обчислення).

На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, орієнтованих на використання при вивченні математики. Це такі програми як DERIVE, GRAN1, GRAN2, GRAN3, Maple, MathCAD, Mathematika, MathLab. Але, програм, призначених для підтримки шкільного курсу геометрії розроблено досить мало. Більшість з наявних програмних засобів означеного типу мають англомовний інтерфейс та розроблені без врахування особливостей програми шкільного курсу геометрії в Україні.

При вивченні в школі курсу алгебри та початків аналізу, а також деяких розділів геометрії, для аналізу функціональних залежностей та статистичних закономірностей доцільно використовувати ППЗ GRAN1, GRAN2, GRAN3, та DERIVE. У нашій роботі розглянуто можливості програми GRAN-3D. ППЗ GRAN-3D надає учням змогу оперувати моделями просторових об’єктів, що вивчаються в курсі стереометрії, а також забезпечує засобами аналізу та ефективного отримання відповідних числових характеристик різних об’єктів у тривимірному просторі. D не вимагає стійких вмінь роботи з комп’ютером і має зручний україномовний інтерфейс, розроблений з врахуванням сучасних вимог до педагогічних програмних засобів.

Комп’ютерна підтримка вивчення геометрії з використанням програмного засобу типу GRAN-3D дає значний педагогічний ефект, полегшуючи, розширюючи та поглиблюючи вивчення і розуміння методів геометрії на відповідних рівнях в середніх навчальних закладах з найрізноманітнішими ухилами навчання - гуманітарного спрямування, середніх загальноосвітніх школах, гімназіях, ліцеях, класах і закладах з поглибленим вивченням природничо-математичних дисциплін.

Такий підхід до вивчення геометрії дає наочні уявлення про поняття, що вивчаються, що в свою чергу значно сприяє розвиткові образного мислення, оскільки усі рутинні обчислювальні операції та побудови виконує комп’ютер, залишаючи учневі час на дослідницьку діяльність.

Разом з тим очевидною є потреба розвиваючих вправ із залученням традиційних засобів навчання, гармонійного і педагогічно доцільного поєднання нових інформаційних технологій і традиційних методичних систем навчання.

Початок роботи з програмою. Звернення до послуг програми

Активізація програми

Програма GRAN-3D призначена для графічного аналізу просторових (тривимірних) об’єктів, звідки і походить її назва (GRaphic Analysis 3-Dimension).

Програма функціонує під управлінням операційної системи Windows9x. Для встановлення програми слід запустити на виконання файл SETUP.EXE з диску дистрибутива. Після успішного встановлення у вказаному каталозі буде створено файл GRAN3D.EXE - основна програма, та у додатковому підкаталозі HELP буде створено допоміжні файли допомоги. Далі при натисненні кнопки Пуск назва програми GRAN-3D з’являтиметься як пункт меню Програми, при зверненні до якого відбуватиметься запуск ППЗ GRAN-3D.

Позначення, що використовуються в тексті

Обумовимо позначення, що використовуються. В тексті курсивом виділяються написи та послуги, що належать до інтерфейсу програми. Надалі вказати на деякий об’єкт чи послугу означатиме підвести вказівник мишки до відповідної назви чи зображення та натиснути ліву клавішу мишки. “Звернутися до послуги”, “Активізувати послугу” означатиме встановити вказівник на назву потрібної послуги головного меню програми (за допомогою використання клавіш управління курсором або вказівника мишки) та натиснути клавішу Enter або ліву клавішу мишки. Запис у вигляді “звернутися до послуги Обчислення\Кут\за трьома точками” означатиме “звернутися до пункту головного меню Обчислення, далі до підпункту Кут, і потім до підпункту За трьома точками ”.

Основні елементи інтерфейсу. Звернення до послуг програми

Після активізації ППЗ GRAN-3D на екрані з’явиться головне вікно програми, подане на рисунку. Розглянемо основні елементи інтерфейсу програми.

Зверху під заголовком головного вікна подано головне меню - перелік послуг, до яких можна звернутися в процесі роботи з програмою. При зверненні до певного пункту головного меню з’являється перелік пунктів (послуг) відповідного підменю. Пункти підменю в свою чергу можуть розгалужуватись на підпункти, перелік яких з’являється при зверненні до відповідного пункту підменю.

Під час роботи з програмою у деяких ситуаціях використання певних послуг меню не є коректним. Такі пункти виділятимуться блідішим кольором, а звернення до них не призведе до яких небудь дій. Наприклад, використання послуг пункту головного меню Об’єкт - Змінити чи Вилучити на початку роботи з програмою, поки ще не створено жодного об’єкта, не є коректним, оскільки ще немає чого змінювати чи вилучати.

Якщо необхідно відмовитися від роботи із щойно обраною послугою, слід звернутися до послуги Об’єкт\Припинити виконання операції, або натиснути клавішу ESC.

Звернення до окремих послуг програми (без перебирання пунктів головного меню і підпунктів відповідних підменю) при необхідності можна здійснити за допомогою функціональних клавіш або комбінацій клавіш, вказаних справа біля назв пунктів головного меню.

Панель інструментів

Для активізації деяких послуг можна скористатись кнопками швидкого виклику операцій на панелі інструментів, що розміщена під головним меню програми. Для цього треба натиснути відповідну кнопку (тобто встановити вказівник мишки на позначення кнопки і натиснути ліву клавішу мишки). “Кнопки” оснащено системою оперативної підказки, тому під час знаходження вказівника мишки над певною “кнопкою” на екрані з’являються короткі відомості про призначення даної “кнопки”.

Поле підказки

Під панеллю інструментів розміщено підказку - поле, де виводяться короткі повідомлення про те, яку дію необхідно виконати на поточному етапі роботи

Поле зображення

Поле зображення - частина головного вікна програми, де зображаються створені об'єкти та осі координат. З правого та нижнього краю цього поля розміщено смуги повороту зображення, за допомогою яких здійснюється поворот зображень об'єктів у полі зображення. При змінюванні положення вказівника вертикальної смуги повороту відбуватиметься поворот зображення навколо горизонталі, що проходить через центр повороту (центр повороту може знаходитись у будь-якій точці простору, а його координати можна встановити на вкладинці Загальні вікна Налагодження, а при змінюванні положення вказівника горизонтальної смуги повороту відбуватиметься поворот зображення навколо осі 0Z. Щоб змінити положення вказівника смуги повороту, слід підвести до нього вказівник мишки, далі, натиснувши і утримуючи ліву клавішу мишки, перемістити вказівник у потрібне положення та відпустити ліву клавішу мишки.

Поле характеристик об’єкта

Поле характеристик об’єкта - частина головного вікна, куди виводяться деякі параметри поточного об'єкта: його назва, координати його крайніх вершин, кількість вершин Поле звіту

Поле звіту - частина головного вікна, де фіксується протокол роботи програми та куди виводяться результати усіх вимірювань та обчислень. Для очищення поля звіту потрібно звернутися до послуги головного меню Налагодження\Очистити звіт, або, встановивши вказівник мишки над цим полем, натиснути праву клавішу мишки і у випадаючому меню, що з'явиться, вибрати відповідну послугу.

Поле інформування

Поле інформування - поле (внизу екрану), де виводяться просторові координати точки, що відповідає поточному положенню вказівника мишки у полі зображення (якщо координати такої точки можна визначити однозначно), назва об'єкта, якому ця точка належить, довжина відрізка (якщо вказівник знаходиться на зображенні відрізка тощо. У полі інформування виводиться також коротка інформація про елементи інтерфейсу ППЗ GRAN-3D, над якими знаходиться вказівник мишки.

Створення моделей просторових об’єктів

Загальні відомості

ППЗ GRAN-3D дозволяє створювати та оперувати моделями геометричних об’єктів поданих нижче типів: точка, відрізок, ламана, площина, многогранник, поверхня обертання та довільна поверхня, що визначається рівнянням виду z=f(x,y). При цьому можливе завдання об’єктів у різний спосіб.

Точка задається своїми просторовими координатами x, y та z, відрізок - двома точками або точкою і напрямним вектором, ламана - координатами вузлів або точкою та впорядкованим набором векторів (ламана може бути замкненою чи незамкненою), площина - трьома точками, точкою і вектором нормалі або коефіцієнтами A, B, C, D рівняння площини виду Ax+By+Cz+D=0.

Многогранник задається сукупністю граней, де кожна грань - трикутник, що визначається деякими трьома вершинами многогранника, а кожна вершина задається своїми просторовими координатами.

Поверхня - просторовий об’єкт, що описується сукупністю рівнянь виду z=f(x,y), для кожного з яких вказується область задання у вигляді системи нерівностей виду g(x,y)£0 або як многокутник у площині xOy.

Поверхня обертання - поверхня, що утворюється обертанням навколо осі Ox або Oy деякої плоскої кривої чи ламаної, що лежать в площині xOy. При цьому криву можна задати аналітично явною залежністю між змінними x і y у вигляді y=f(x) або ж параметрично у вигляді x=f(t), y=g(t), а ламану можна задати або ввівши координати її вершин, або вказавши вершини на екрані за допомогою мишки.

Створення об’єкта типу Многогранник

Для cтворення об’єкта типу Многогранник потрібно звернутись до послуги меню Об’єкт\Створити\Многогранник, що призведе до появи вікна Конструювання об’єкта з вкладинкою Многогранник.

Засобами ППЗ GRAN-3D можна створити довільний многогранник. Для цього необхідно у відповідних полях вказати кількість вершин многогранника та кількість трикутних граней (не трикутні грані потрібно поділити на трикутники), ввести координати вершин многогранника у таблиці Вершини, а також вказати по три вершини на кожній грані.

Для опуклих многогранників можна не вказувати кількість трикутних граней та номери вершин для кожної грані. Досить спочатку ввести вершини многогранника, а потім скористатися послугою Сформувати грані опуклого об’єкта - кількість граней і відповідні номери вершин для кожної грані буде встановлено автоматично. Для підтвердження введення даних слід натиснути кнопку Виконати.

Графічне завдання об’єктів типу Точка, Ламана, Площина

Об’єкти типу Точка, Ламана та Площина можна задавати з екрана графічно, вказавши точки, що визначають ці об’єкти, безпосередньо у полі зображення за допомогою мишки. Для створення об’єктів вказаних типів описаним способом слід звернутися до послуги меню Oб’єкт\Створити з екрану\Точка, Oб’єкт\Створити з екрану\Ламана або Oб’єкт\Створити з екрану\Площина, в залежності від того, об’єкт якого типу необхідно створити. За відповідним запитом програми, що з’явиться у полі підказки, необхідно у полі зображення вказати (за допомогою вказівника мишки) точки, що визначатимуть об'єкт, після чого у вікні Конструювання об'єкта, що з'явиться (після вказування останньої точки), відкоригувати деякі параметри об'єкта (якщо це необхідно) і натиснути кнопку Виконати.

Для створення об'єкта типу Точка слід вказати лише одну точку.

Для створення об'єкта типу Ламана слід вказати стільки точок, скільки вершин має ламана. Задавши останню вершину ламаної, слід натиснути праву кнопку мишки.

Для створення об'єкта типу Площина слід вказати три точки, через які має проходити площина.

“Вказати точку” означає підвести вказівник мишки у полі зображення до зображення будь-якої вершини або лінії (ребра) будь-якого створеного об'єкта так, щоб у полі інформування з'явилися координати точки та назва об’єкта, якому вона належить, та натиснути ліву клавішу мишки. Якщо одна з координатних площин розміщена (за допомогою смуг повороту зображення) паралельно до площини зображення, тоді слід курсор мишки підвести до будь-якої точки площини так, щоб у полі інформування з'явилися координати цієї точки, та натиснути ліву клавішу мишки. При створенні координата точки вздовж виродженої осі вважатиметься рівною 0.

Перерізи многогранників площинами

ППЗ GRAN-3D дозволяє виконувати перерізи опуклих многогранників площиною. Для виконання перерізу призначено послугу Операції\Виконати переріз. Необхідно вказати у полі зображення (за допомогою вказівника мишки) площину (об’єкт типу Площина), якою перерізається многогранник, та многогранник (об’єкт типу Многогранник), що перерізається.

У разі позитивної відповіді на запит Створити ламану, що відповідає контуру перерізу?, що з’явиться після вказування площини та многогранника буде створено об’єкт типу Ламана, що відповідатиме контуру перерізу.

Далі з’явиться додатковий запит Створити об’єкти, що відповідають частинам вихідного многогранника у різних півпросторах відносно площини перерізу? У разі стверджувальної відповіді автоматично буде створено два нових об'єкти типу Многогранник, що матимуть таку ж назву, як і базовий, але з помітками ч.1 та ч.2 відповідно, та відповідатимуть частинам вихідного об’єкта у різних півпросторах відносно площини перерізу. Надалі новоутвореними многогранниками можна оперувати, як окремими об’єктами. У полі звіту з'явиться площа та довжина периметра утвореного перерізу.

Слід наголосити, що програма дозволяє виконувати переріз лише опуклих многогранників.

Обчислити площу перерізу правильної п’ятикутної прямої призми ABCDEFGHIJ площиною, що проходить через сторону AB та вершину I. Перш за все необхідно створити модель вказаної призми, для чого зручно скористатися послугою Об’єкт\Створити базовий об’єкт (вкладинка Пряма правильна призма вікна Завдання базових просторових об’єктів). У полі зображення з’явиться зображення призми ABCDEFGHIJ, подане на рис. Далі необхідно створити модель площини перерізу. Для цього зручно скористатися послугою Об’єкт\Створити з екрану\Площина, після чого за відповідним запитом програми (що з’явиться у полі підказки) необхідно вказати у полі зображення три точки, що визначатимуть площину. Послідовно вкажемо на зображенні призми на її вершини A, B та I, після чого буде створено модель площини, що проходить через вказані точки.

Далі залишилось застосувати операцію перерізу, для чого необхідно скористатися послугою програми Операції\Виконати переріз. За запитом, що з’явиться у полі підказки, необхідно послідовно вказати у полі зображення (за допомогою мишки) площину перерізу та многогранник, для чого необхідно послідовно вказати на зображення площини та многогранника. Після цього на запит Створити ламанану, що відповідає контуру перерізу? відповімо Ні, а на запит Створити об’єкти, що відповідають частинам вихідного многогранника у різних півпросторах відносно площини перерізу? відповімо Так. При цьому буде створено два нових об’єкти-многогранники, що відповідають частинам призми у різних півпросторах відносно площини перерізу, а у полі звіту з’явиться значення площі перерізу.

В нашій роботі у прикладах 11 та 15 на рисунках 29, 34 зображено два способи перерізу куба площиною, що проходить через задані точки P, Q, R - методом слідів і методом внутрішнього проектування.

При розв’язанні задач такого типу доцільно використання пакету GRAN-3D на етапі пошуку плану розв’язання та на етапі контролю за правильністю виконання дій.

Висновки

У викладанні стереометрії роль проекційного креслення повинна бути дуже значною. Від цього суттєво залежить досягнення мети, яка ставиться в курсі стереометрії. Треба підкреслити подвійну роль проекційного креслення при вивченні стереометрії. З одного боку, викладач ілюструє своє викладення кресленням на дошці, щоб викликати в учнів наочне просторове уявлення геометричних образів, які вони вивчають, поєднати з ними теоретичні судження і пояснення. Таке викладання предмету дає більш пручне, конкретне засвоєння курсу стереометрії, яке і відповідає практичним задачам. Друга задача курсу стереометрії: навчити учнів оперувати над просторовими образами та формами, розв’язувати задачі з просторовими фігурами, тобто знаходити розв’язок фактичною побудовою.

Вправа на проекційних кресленнях, розв’язування задач на таких кресленнях повинні складати суттєву частину викладання стереометрії. При цьому проекційні креслення, які використовуються в стереометрії, не повинні виходити за рамки матеріалу звичайного курсу стереометрії, тобто не повинні містити специфічних прийомів нарисної геометрії, які викликаються інженерно-технічними міркуваннями. Такі побудови повинні бути віднесені до курсу креслення, де вони знайдуть своє справжнє місце.

Невід'ємною частиною процесу розв’язування стереометричних задач на побудову на проекційних кресленнях є потреба визначити контури відповідних побудов, які видні та невидні. Це сприяє розвитку просторових уявлень і просторової уяви учнів, допомагає наочному оформленню розв'язування відповідної задачі і швидкому та безпомилковому читанню цього розв'язування. стереометричний задача комп’ютерний навчання

Одночасно з проходженням розділу про паралельні прямі в стереометрії можна показати спосіб зображення точок простору і ввести необхідну термінологію (основна площина, проектуючі прямі і площини, основа точки). Значна частина задач може бути введена в звичайний матеріал занять по стереометрії. Задачі можна запропонувати учням як для класної, так і для домашньої роботи. При цьому треба зважити, що варіанти таких задач надзвичайно різноманітні і можуть дути без зайвих зусиль розмножені. Далі, по ходу проходження курсу стереометрії можна запропонувати досить корисні задачі на перерізи. Більш важкі задачі можуть бути використані для факультативних занять або можуть бути запропоновані окремим, більш сильним учням, які проявляють великий інтерес до цих питань. Для доповіді на факультативному занятті можна дати більш важкі задачі на перерізи.

Суттєво привчити учнів акуратно виконувати кожну задачу, піклуючись про її графічне оформлення. Такі роботи дадуть учням значне естетичне задоволення і допоможуть вихованню в них корисних навичок.

В цій роботі були розглянуті теоретичні основи геометричних побудов у стереометрії та основні методи розв'язування стереометричних задач на побудову; проаналізовано, які методи і в якому обсязі вивчаються в шкільному курсі стереометрії; проаналізовані задачі на побудову у підручниках профільної школи; розроблено зміст та методичні рекомендації для проведення спецкурсу по навчанню учнів розв’язуванню задач на побудову у просторі з використанням засобів пакету GRAN.

Література

1.     Александров И. Геометрические задачи на построение и методы их решения, М., 1950.

2.      Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. М., Просвещение, 1976, ч. 2.

.        Базилев В.Т. Дуничев К.И. Геометрия. М., Просвещение, 1975, ч. 2.

.        Бевз Г.П. Методика викладання математики. К., 1989.

.        Василевкий А.В. Методы решения задач. - Минск: Вища школа, 1974.

.        Грузин О.І., Неліна О.Є. Система опорних фактів шкільного курсу геометрії. - Х.: Світ дитинства, 2010.

.        Жовнір Я.М. 500 задач з методики викладання математики. - Х., 2007.

.        Жовнір Я.М. Позиційні задачі в стереометрії. - К., 1991.

.        Збірник екзаменаційних завдань в 10-11 кл. Геометрія.

.        Литвиненко В.М. Практикум по решению задач школьной математики. - Москва: Просвещение, 1982.

.        Лоповок Л.М. Сборник задач по стереометри. Пособие для учителей средних школ. - Москва, 1959.

.        Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение. - Москва, 1962.

.        Нілін Є.П. Геометрія в таблицях. Х.: Мир детства, 2008.

.        Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе, М., 1954.

.        Погорєлов О.В. Геометрія: Підручник для 7-11 кл. - К.: Освіта, 2010.

.        Семушин А.Д. Методика обучения решению задач в стереометрии. - Москва, 1959.

.        Смогоржевський О.С. Дослідження задач на побудову. - Х., 1952.

.        Четверухин Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. - Москва. Учпедгиз, 1954.

.        Четверухин Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии. - Москва. Учпедгиз, 1958.

.        Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений. - Москва. Учпедгиз, 1952.

.        Четверухин Н.Ф. Стереометрия. Задачи на проекционном чертеже. - М., 1954.

.        Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике (решение задач). - Москва: Просвещение, 1991.

23.   Моторіна В.Г. Технології навчання математики в сучасній школі. - Харків, 2009. - 262 с.