Приложение теории сравнений при проверке результатов арифметических действий

Приложение теории сравнений при проверке результатов арифметических действий

ВВЕДЕНИЕ

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества в процессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появляющееся как результат постепенного абстрагирования, является основой всего дальнейшего развития математики.

Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной форме математиками давно ушедших поколений, занимает большое место в современной математике, составляя основное содержание одного из ее ведущих разделов, который мы называем теорией чисел.

В теории чисел, естественно, выделяются и рассматриваются в первую очередь те проблемы, которые глубоко и достаточно непосредственно связаны с изучаемыми объектами и важны для построения математики в ее целом. Некоторые теоретико-числовые задачи возникают уже в рамках школьного курса арифметики. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а также множество рациональных чисел.

Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов вида  с целыми коэффициентами.

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. В теорию чисел включают также вопросы, связанные с приближением действительных чисел рациональными дробями. Такие приближения называют обычно диофантовыми приближениями, по имени великого греческого математика Диофанта.

Для современной теории чисел характерно применение весьма разнообразных методов исследований; так, например, многие проблемы теории чисел могут быть, естественно, сформулированы в геометрической форме, и к решению такого рода задач применяют геометрические соображения (геометрическая теория чисел). В современной теории чисел широко пользуются методами математического анализа; в частности, при изучении вопросов, связанных с распределением простых чисел, особенно часто приходится применять теорию функций комплексного переменного. Теоретико-числовые исследования, в которых существенно используются методы математического анализа, являются содержанием весьма значительного раздела теории чисел, получившего наименование «Аналитическая теория чисел».

Развитие теории чисел тесно и непосредственно связано с развитием целого ряда разделов математики.

Теория чисел не только широко использует методы, разработанные в смежных математических дисциплинах, но и сама влияет на формирование этих дисциплин. Так, например, начало глубоких исследований в теории алгебраических чисел было связано с так называемой проблемой Ферма о возможности существования целых положительных решений неопределенного уравнения  при п>2; дальнейшее развитие этой теории оказало решающее влияние на современную алгебру, а возникшие в теории чисел понятия «кольца», «идеала» являются одними из основных понятий всей математики нашего времени. Ряд вопросов теории чисел находит себе применение на практике, например в теории телефонных сетей (кабелей), в кристаллографии, при решении некоторых задач теории приближенных вычислений. Современную теорию чисел можно в основном разбить на следующие разделы:

Элементарная теория чисел (теория сравнений, теория форм, неопределенные уравнения). К этому разделу относят вопросы теории чисел, являющиеся непосредственным развитием теории делимости, и вопросы о представимости чисел в определенной форме. Более общей является задача решения систем неопределенных уравнений, т. е. уравнений, в которых значения неизвестных должны быть обязательно целыми числами. Неопределенные уравнения называют также диофантовыми уравнениями, так как Диофант был первым математиком, систематически рассматривавшим такие уравнения. Мы условно называем этот раздел «Элементарная теория чисел», поскольку здесь часто применяются обычные арифметические и алгебраические методы исследования.

Алгебраическая теория чисел. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел,

Диофантовы приближения. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением приближения действительных чисел рациональными дробями. К диофантовым приближениям примыкают тесно связанные с этим же кругом идей вопросы изучения арифметической природы различных классов чисел.

Аналитическая теория чисел. К этому разделу относят вопросы теории чисел, для изучения которых приходится применять методы математического анализа.

Конечно, разделение теории чисел на такие разделы не является стандартным. Иногда выделяют как особую часть теории чисел геометрическую теорию чисел или из общего круга вопросов теории диофантовых приближений выделяют теорию трансцендентных чисел. Надо, кроме этого, иметь в виду, что часто приходится иметь дело с исследованиями, которые нельзя ограничивать рамками одного определенного раздела.

Целью данной курсовой работы является изучение темы «Приложение теории сравнений при проверке результатов арифметических действий», выработка навыков проверки результатов выполнения арифметических действий, используя сравнения.

1.  СРАВНЕНИЯ

1.1 Определение сравнения

Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений. Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык для делимости, основного понятия теории чисел. Понятие сравнения впервые ввел Гаусс.

Прежде чем мы обратимся к понятию сравнения, сделаем одно замечание о числах, которые будем изучать в этой главе. Мы начали эту книгу, заявив, что будем рассматривать целые положительные числа 1, 2, 3…, и в предыдущих главах мы ограничивались только этими числами и дополнительным числом 0. Но теперь мы достигли стадии, на которой целесообразно расширить наши границы, рассматривая все целые числа:

, ±1, ±2, ±3….

Это никоим образом не повлияет на наши предыдущие понятия; далее, когда мы будем говорить о простых числах, делителях, наибольших общих делителях и тому подобном, мы будем считать их целыми положительными числами.

Теперь вернемся к языку сравнений. Если а и b - два целых числа и их разность а - b делится на число m , мы выражаем это записью

ab(mod m ) (1.1.1)

которая читается так:

а сравнимо с b по модулю m.

Делитель m мы предполагаем положительным; он называется модулем сравнения.

Наше высказывание (1.1.1) означает, что- b = mk ,

где k - целое число. (1.1.2)

Примеры.

) 238 (mod 5), так как 23 - 8 = 15 = 53;

) 4711 (mod 9), так как 47-11 = 36 = 94;

) -115 (mod 8), так как - 11- 5 = -16 = 8(-2);

) 810 (mod 27), так как 81 - 0 = 81 = 273.

Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать

0 (mod m ),

так как это означает, что

а - 0 = а = mk ,

где k - некоторое целое число. Например, вместо того, чтобы сказать, что а - четное число, мы можем записать

0 (mod 2).

Таким же образом видно, что нечетное число является числом, удовлетворяющим сравнению

а 1 (mod 2).

Эта несколько странная терминология является довольно обычной для математических работ.

.2 Свойства сравнений

Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает нам уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические уравнения имеют много общих свойств. Простейшими из них являются три следующих свойства:

a (mod m ); (1.2.1)

это является следствием того, что

а - а = m - 0,b (mod m ) означает, что и ba (mod m ). (1.2.2)

Это следует из того, что b - a = - (а - b ) = m (-k ).

Из

а b (mod m ) и b c (mod m ) (1.2.3)

следует, что аc(mod m), потому что первые два утверждения означают, что

а - b = mk, b - с = ml ,

поэтому

а - с = (а - b ) + (b - с ) = m (k + l ).

Пример . Из того, что 1335 (mod 11) и 35- 9 (mod 11) следует, что 13 - 9 (mod 11).

Мы говорили, что сравнения похожи по своему свойству на равенства. В действительности, мы можем рассматривать равенства как тип сравнения, а именно, сравнения по модулю 0. По определению,

а b (mod 0)

означает, что

- b = 0 k = 0

или

а = b.

Вы почти никогда не встретите такую форму сравнения для записи уравнений в математической литературе. Но существует другое сравнение, очевидно, довольно тривиальное, которое иногда используется. Когда модуль есть число m = 1, мы имеем, что

b (mod 1) (1.2.4)

для любой пары целых чисел а и b , так как это означает, что

- b = 1 k = k (1.2.5)

есть целое число. Но предположим теперь на мгновение, что а и b - произвольные вещественные числа, необязательно целые. Тогда тот факт, что они сравнимы по модулю 1, означает, что их разность есть целое число, т. е. эти два числа имеют одинаковую дробную часть.

Вернемся к свойствам обычных сравнений целых чисел; с этого момента мы будем всегда считать, что модуль является целым числом т.

Мы можем разделить числовую ось, начиная от начала координат в обоих направлениях на отрезки длиной m , как на рис. 1. Тогда каждое целое число а положительное или отрицательное, попадает на один из этих отрезков или на одну из точек деления; таким образом, мы можем записать

= km + r , (1.2.6)

, 1, 2…, m - 1. (1.2.7)

Рис. 1.

Это является незначительным обобщением деления положительных чисел. Здесь мы также называем число r в формуле (1.2.6) остатком при делении числа а на число m или остатком по модулю m.

Примеры.

) а = 11, m = 7, 11 = 7  1 + 4,

) а = -11, m = 7, -11 = 7 (-2) + 3.

Деление (1.2.6) может быть также записано как сравнение

а r (mod m ). (1.2.8)

Таким образом, каждое число сравнимо со своим остатком по модулю m . В приведенных выше примерах мы имеем

4 (mod 7), - 113 (mod 7).

Никакие два остатка в (1.2.7) не сравнимы по (mod m), так как разность между любыми двумя из них меньше, чем m . Поэтому два числа, которые не сравнимы по (mod m), должны иметь разные остатки. Итак, мы делаем вывод: сравнение а b(mod m) выполняется тогда и только тогда, когда числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на число m.

Существует другой способ представления этого сравнения. Предположим на мгновение, что а и b - целые положительные числа. Когда число а записано при основании m, а = (аn …, а1, а0)m ,

то последняя цифра а0 является остатком числа а при делении его на число m. Если мы используем этот факт, чтобы иначе выразить нашу интерпретацию сравнения, то можно сказать:

сравнение а b (mod m) выполняется для целых (положительных) чисел а и b тогда и только тогда, когда числа а и b имеют одинаковые последние цифры в записи при основании m.

Например,

 87 (mod 10),

так как эти два числа имеют одну и ту же последнюю цифру в десятичной системе чисел.

1.3    Алгебра сравнений

Из алгебры мы помним, что уравнения можно складывать, вычитать, умножать. Точно такие же правила справедливы для сравнений. Предположим, что мы имеем сравнения

a  b (mod m), с d (mod m). (1.3.1)

По определению, это означает, что

= b + mk, c = d + ml , (1.3.2)

где k и l - целые числа. Сложим уравнения (1.3.2).

В результате получаем

а + с = b + d + m (k + l),

что можем записать как

теория число сравнение арифметика

а + с b + d (mod m); (1.3.3)

другими словами, два сравнения можно складывать. Таким же образом можно показать, что одно сравнение можно вычитать из другого, т. е. что

- c  b - d (mod m). (1.3.4)

Пример.

-5 (mod 8) и 7  - 9 (mod 8). (1.3.5)

Складывая их, получаем

- 14 (mod 8),

а вычитая,

 4 (mod 8).

Оба эти сравнения справедливы.

Можно также перемножить два сравнения. Из (1.3.1) и (1.3.2) следует, что ac = bd + m (kd + bl + mkl),

таким образом,

ас bd (mod m). (1.3.6)

Пример. Когда два сравнения из (1.3.5) перемножены, получается

= 45 (mod 8).

Сравнение a b (mod m) может быть умножено на любое целое число с , при этом получаем

ас  bc (mod m). (1.3.7)

Это можно рассматривать как частный случай умножения сравнений (1.3.6) при с = d. Его можно также рассматривать как прямое следствие из определения сравнения.

Пример. Когда первое сравнение из (1.3.5) умножается на 3, получаем, что 33 = -15 (mod 8).

Возникает естественный вопрос: в каком случае можно в сравнении (1.3.7) сократить общий множитель с и получить при этом верное сравнениеb (mod m)?

Именно здесь сравнения отличаются от уравнений. Например, верно, что 22 -2 (mod 8),

но сокращение на множитель 2 дало бы сравнение

-1 (mod 8),

которое неверно.

В одном важном случае сокращение допустимо:

если ас bc (mod m), то a b (mod m) при условии, что числа m и с взаимно просты.

Доказательство. Первое сравнение означает, что

ас - bc = (а - b ) с = mk .

Если D (m, с ) = 1, то отсюда следует, что а - b делится на m.

Пример. В сравнении

48 (mod 11)

мы можем сократить на множитель 4, так как D (11, 4) = 1. Это дает

2   12 (mod 11).

3      

2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ

.1 Арифметические действия

К арифметическим действиям относятся:

Сложение является начальным понятием, для которого невозможно дать строгое формальное определение. Тем не менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное представление, мы скажем, что сложение - это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 11 + 6 = 17. Здесь 11 и 6 - слагаемые, 17 - сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), êîٍîًîه ïًè ٌëîوهيèè ٌ âû÷èٍàهىûى نàهٍ َىهيüّàهىîه: 17 - 6 = 11. انهٌü 17 - َىهيüّàهىîه, 6 - âû÷èٍàهىîه, 11 - ًàçيîٌٍü.

سىيîوهيèه. سىيîوèٍü îنيî ÷èٌëî n (ىيîوèىîه) يà نًَمîه ِهëîه ÷èٌëî m (ىيîوèٍهëü) - çيà÷èٍ ïîâٍîًèٍü ىيîوèىîه n â êà÷هٌٍâه ٌëàمàهىîمî m ًàç. ذهçَëüٍàٍ َىيîوهيèے يàçûâàهٌٍے ïًîèçâهنهيèهى. اàïèٌü îïهًàِèè َىيîوهيèے: n x m èëè n ∙ m . حàïًèىهً, 12 x 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. زàêèى îلًàçîى, 12 x 4 = 48 èëè 12 ∙ 4 = 48. انهٌü 12 - ىيîوèىîه, 4 - ىيîوèٍهëü, 48 - ïًîèçâهنهيèه. إٌëè ىيîوèىîه n è ىيîوèٍهëü m ïîىهيےٍü ىهٌٍàىè, ٍî ïًîèçâهنهيèه يه èçىهيèٌٍے. حàïًèىهً, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 è ٌîîٍâهٌٍٍâهييî, 4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. دî‎ٍîىَ ىيîوèىîه è ىيîوèٍهëü ÷àٌٍî يàçûâà‏ٌٍے ٌîىيîوèٍهëےىè.

ؤهëهيèه ےâëےهٌٍے نهéٌٍâèهى, îلًàٍيûى ê َىيîوهيè‏, ٍàê êàê ‎ٍî îïهًàِèے يàُîونهيèے îنيîمî èç ٌîىيîوèٍهëهé ïî ïًîèçâهنهيè‏ è نًَمîىَ ٌîىيîوèٍهë‏: ذàçنهëèٍü îنيî ÷èٌëî (نهëèىîه) يà نًَمîه (نهëèٍهëü) - çيà÷èٍ يàéٍè ٍàêîه ًٍهٍüه ÷èٌëî (÷àٌٍيîه), êîٍîًîه ïًè َىيîوهيèè يà نهëèٍهëü نà¸ٍ نهëèىîه: 48 : 4 = 12. انهٌü 48 - نهëèىîه, 4 - نهëèٍهëü, 12 - ÷àٌٍيîه. ×àٌٍيîه îٍ نهëهيèے îنيîمî ِهëîمî ÷èٌëà يà نًَمîه ِهëîه ÷èٌëî ىîوهٍ è يه لûٍü ِهëûى ÷èٌëîى. زîمنà ‎ٍî ÷àٌٍيîه ïًهنٌٍàâëےهٌٍے â âèنه نًîلè. إٌëè ÷àٌٍيîه - ِهëîه ÷èٌëî, ٍî مîâîًےٍ, ÷ٍî ‎ٍè ÷èٌëà نهëےٌٍے يàِهëî. آ ïًîٍèâيîى ٌëَ÷àه ىû âûïîëيےهى نهëهيèه ٌ îٌٍàٍêîى. دًèىهً: 23 يه نهëèٌٍے يà 4, â ‎ٍîى ٌëَ÷àه ىû ىîوهى çàïèٌàٍü: 23 = 5 · 4 + 3. انهٌü 3 - îٌٍàٍîê.

آîçâهنهيèه â ٌٍهïهيü. آîçâهٌٍè ÷èٌëî (îٌيîâàيèه ٌٍهïهيè) â ِهëَ‏ ٌٍهïهيü (ïîêàçàٍهëü ٌٍهïهيè) - çيà÷èٍ ïîâٍîًèٍü همî ٌîىيîوèٍهëهى ٌٍîëüêî ًàç, êàêîâ ïîêàçàٍهëü ٌٍهïهيè. ذهçَëüٍàٍ يàçûâàهٌٍے ٌٍهïهيü‏. اàïèٌü âîçâهنهيèے â ٌٍهïهيü:

انهٌü 3 - îٌيîâàيèه ٌٍهïهيè, 5 - ïîêàçàٍهëü ٌٍهïهيè, 243 - ٌٍهïهيü.

آٍîًàے ٌٍهïهيü ë‏لîمî ÷èٌëà يàçûâàهٌٍے êâàنًàٍîى, ًٍهٍüے - êَلîى. دهًâîé ٌٍهïهيü‏ ë‏لîمî ÷èٌëà ےâëےهٌٍے ٌàىî ‎ٍî ÷èٌëî.

بçâëه÷هيèه êîًيے ےâëےهٌٍے نهéٌٍâèهى, îلًàٍيûى ê âîçâهنهيè‏ â ٌٍهïهيü, ٍàê êàê ‎ٍî îïهًàِèے يàُîونهيèے îٌيîâàيèے ٌٍهïهيè ïî ٌٍهïهيè è ه¸ ïîêàçàٍهë‏. بçâëه÷ü êîًهيü n-îé ٌٍهïهيè (n - ïîêàçàٍهëü êîًيے) èç ÷èٌëà a (ïîنêîًهييîه ÷èٌëî) - çيà÷èٍ يàéٍè ًٍهٍüه ÷èٌëî, n-àے ٌٍهïهيü êîٍîًîمî ًàâيà à . ذهçَëüٍàٍ يàçûâàهٌٍے êîًيهى. حàïًèىهً:

رëîوهيèه è âû÷èٍàيèه, َىيîوهيèه è نهëهيèه, âîçâهنهيèه â ٌٍهïهيü è èçâëه÷هيèه êîًيے ےâëے‏ٌٍے ïîïàًيî âçàèىيî-îلًàٍيûىè îïهًàِèےىè.

2.2 خٌيîâيûه çàêîيû àًèôىهٍèêè

دًî ٌâîéٌٍâà àًèôىهٍè÷هٌêèُ îïهًàِèé ٌôîًىَëèًîâàيû ïےٍü çàêîيîâ, êîٍîًûه ٌ÷èٍà‏ٌٍے îٌيîâيûىè çàêîيàىè àًèôىهٍèêè:

تîىىٍَàٍèâيîٌٍü: ïهًهىهٌٍèٍهëüيûé çàêîي مëàٌèٍ, ÷ٍî îٍ ïهًهىهيû ىهٌٍ ٌëàمàهىûُ ٌَىىà يه ىهيےهٌٍے. ہيàëîمè÷يûé çàêîي èçâهٌٍهي è نëے َىيîوهيèے, يî îي, êîيه÷يî, مîâîًèٍ î ىيîوèٍهëےُ è ïًîèçâهنهيèè. فٍè çàêîيû ىîويî âûًàçèٍü â àëمهلًàè÷هٌêîé ôîًىه ٌ ïîىîùü‏ لَêâهييûُ îلîçيà÷هيèé:

ہٌٌîِèàٍèâيîٌٍü: ٌî÷هٍàٍهëüيûé çàêîي ٌëîوهيèے مëàٌèٍ, ÷ٍî ٌêëàنûâàے يهٌêîëüêî ٌëàمàهىûُ, ىîويî مًَïïèًîâàٍü èُ â ë‏لîى ïîًےنêه. ہيàëîمè÷يûé çàêîي َىيîوهيèے مîâîًèٍ î ïهًهىيîوهيèè ىيîوèٍهëهé. فٍè çàêîيû ٍàêوه ىîويî âûًàçèٍü â àëمهلًàè÷هٌêîé ôîًىه:

ؤèًٌٍèلٍَèâيîٌٍü: ًàٌïًهنهëèٍهëüيûé çàêîي مëàٌèٍ: ÷ٍîلû َىيîوèٍü ٌَىىَ يà ÷èٌëî, ىîويî َىيîوèٍü êàونîه ٌëàمàهىîه يà ‎ٍî ÷èٌëî è ïîٍîى ٌëîوèٍü ïîëَ÷هييûه ïًîèçâهنهيèے. آ àëمهلًàè÷هٌêîé ôîًىه:

.3 دًîâهًêà ًهçَëüٍàٍîâ àًèôىهٍè÷هٌêèُ نهéٌٍâèé

ر ïîىîùü‏ ًٌàâيهيèé ëهمêî َêàçàٍü يهîلُîنèىûه ïًèçيàêè ïًàâèëüيîٌٍè è نîٌٍàٍî÷يûه ïًèçيàêè يهïًàâèëüيîٌٍè ًهçَëüٍàٍîâ âûïîëيهيèے àًèôىهٍè÷هٌêèُ نهéٌٍâèé ٌëîوهيèے, âû÷èٍàيèے è َىيîوهيèے ِهëûُ ÷èٌهë.

زهîًèے ًٌàâيهيèé نàهٍ ٌëهنَ‏ùèé ٌïîٌîل ïًîâهًêè àًèôىهٍè÷هٌêèُ نهéٌٍâèé.

آûلèًàهى يهêîٍîًûé ىîنَëü ٍ è çàىهيےهى لîëüّèه ÷èٌëà à, b, ٌ, ..., يàن êîٍîًûىè يàى يàنî ïًîèçâîنèٍü نهéٌٍâèے (ٌëîوهيèه, âû÷èٍàيèه, َىيîوهيèه, âîçâهنهيèه â ٌٍهïهيü), يهلîëüّèىè ÷èٌëàىè à', b', ٌ', ..., ًٌàâيèىûىè ٌ يèىè ïî ىîنَë‏ ٍ. دًîèçâهنے نهéٌٍâèے يàن à, b, ٌ ىû ٍî÷يî ٍàêèه وه نهéٌٍâèے ïًîèçâîنèى يàن à', b', ٌ', ... إٌëè نهéٌٍâèے ïًîèçâهنهيû ïًàâèëüيî, ٍî ًهçَëüٍàٍû ‎ٍèُ نهéٌٍâèé يàن à, b, ٌ, ... è يàن à', b', ٌ', ... نîëويû لûٍü ًٌàâيèىû ïî ىîنَë‏ ٍ.

إٌëè aa'(mod m), bb'(mod m),…,

ٍî a+b+… a'+ b'+…(mod m), ab… a' b'…(mod m).

ؤëے ïًîâهًêè ٌîîٍيîّهيèے  ïًهنٌٍàâëےهى همî â âèنه a=bc. دًèىهيهيèه ‎ٍîمî ٌïîٌîلà ïًîâهًêè, êîيه÷يî, èىههٍ ٌىûٌë ٍîëüêî ٍîمنà, êîمنà يàُîونهيèه ٍàêèُ ÷èٌهë à', b', c',... ىîوهٍ لûٍü îٌَùهٌٍâëهيî ëهمêî è لûًٌٍî. ؤëے ‎ٍîمî îلû÷يî â êà÷هٌٍâه ىîنَëے ٍ âûلèًà‏ٍ ٍ=9 èëè m=11. تàونîه ÷èٌëî, çàïèٌàييîه â نهٌےٍè÷يîé ٌèٌٍهىه ٌ÷èٌëهيèے, ًٌàâيèىî ٌ ٌَىىîé همî ِèôً ïî ىîنَë‏ 9, ٍàê ÷ٍî ىû ىîوهى ٌôîًىَëèًîâàٍü ٌëهنَ‏ùèé ٌïîٌîل “ïًîâهًêè ٌ ïîىîùü‏ نهâےٍêè”.

ؤëے êàونîمî ÷èٌëà âû÷èٌëےهٌٍے îٌٍàٍîê îٍ نهëهيèے يà 9 ٌَىىû ِèôً. دًîèçâîنے نهéٌٍâèے يàن ÷èٌëàىè, ïًîèçâîنےٍ ٍàêèه وه نهéٌٍâèے يàن ‎ٍèىè îٌٍàٍêàىè. ذهçَëüٍàٍ ًàٌٌىàًٍèâàهىûُ نهéٌٍâèé يàن ‎ٍèىè îٌٍàٍêàىè نîëوهي îٍëè÷àٍüٌے îٍ ٌَىىû ِèôً èٌêîىîمî ًهçَëüٍàٍà يà ÷èٌëî, êًàٍيîه نهâےٍè.

تîيه÷يî, هٌëè îّèلêà ٍàêîâà, ÷ٍî ًàçيîٌٍü ىهونَ يàéنهييîé è èٌٍèييîé âهëè÷èيàىè êًàٍيà 9, ٍî îيà ïًè ‎ٍîى ٌïîٌîله ïًîâهًêè يه لَنهٍ çàىه÷هيà.

دî ىîنَë‏ m = 11 êàونîه ÷èٌëî, çàïèٌàييîه â نهٌےٍè÷يîé ٌèٌٍهىه ٌ÷èٌëهيèے, لَنهٍ ًٌàâيèىî ٌ ٌَىىîé ِèôً, âçےٍûُ ٌïًàâà يàëهâî ïîïهًهىهييî ٌî çيàêàىè „ïë‏ٌ” è „ىèيٌَ”; ïî‎ٍîىَ ىû ىîوهى ٌôîًىَëèًîâàٍü ٌëهنَ‏ùèé ٌïîٌîل „ïًîâهًêè ٌ ïîىîùü‏ îنèييàنِàٍè”. ؤëے êàونîمî ÷èٌëà âû÷èٌëےهٌٍے îٌٍàٍîê îٍ نهëهيèے يà 11 ٌَىىû ِèôً, âçےٍûُ ïîïهًهىهييî ٌïًàâà يàëهâî ٌî çيàêàىè „ïë‏ٌ” è „ىèيٌَ”. ذهçَëüٍàٍ ًàٌٌىàًٍèâàهىûُ نهéٌٍâèé يàن ‎ٍèىè îٌٍàٍêàىè نîëوهي îٍëè÷àٍüٌے îٍ ٌَىىû âçےٍûُ ïîïهًهىهييî ٌî çيàêàىè „ïë‏ٌ” è „ىèيٌَ” ٌïًàâà يàëهâî ِèôً èٌêîىîمî ًهçَëüٍàٍà يà ÷èٌëî, êًàٍيîه 11. إٌëè îّèلêà لَنهٍ êًàٍيà 11, îيà يه لَنهٍ çàىه÷هيà ïًè ‎ٍîى ٌïîٌîله.

دًè ٌëîويûُ âû÷èٌëهيèےُ èىههٍ ٌىûٌë ïًîâîنèٍü نâه ïًîâهًêè: îنيَ ٌ ïîىîùü‏ ىîنَëے 9, à نًَمَ‏ ٌ ïîىîùü‏ ىîنَëے 11. آ ‎ٍîى ٌëَ÷àه îّèلêà يه لَنهٍ çàىه÷هيà ٍîëüêî, هٌëè îيà êًàٍيà 99, ÷ٍî, êîيه÷يî, لûâàهٍ î÷هيü ًهنêî.

دًèىهًû. دًîâهًèى ïًàâèëüيîٌٍü âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé (ٌ ïîىîùü‏ 9 è 11):

1)     

)       

)       

)       

)       

)       

)       

)       

)       

)

رًàâيهيèه ïîنٍâهًونàهٍ, يî يه مàًàيٍèًَهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ ïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

2)

رًàâيهيèه ïîنٍâهًونàهٍ, يî يه مàًàيٍèًَهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ ïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

)

رًàâيهيèه يه ïîنٍâهًونàهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ يهïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

رًàâيهيèه ïîنٍâهًونàهٍ, يî يه مàًàيٍèًَهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ ïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

)

رًàâيهيèه يه ïîنٍâهًونàهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ يهïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

)

رًàâيهيèه ïîنٍâهًونàهٍ, يî يه مàًàيٍèًَهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ ïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

)

رًàâيهيèه ïîنٍâهًونàهٍ, يî يه مàًàيٍèًَهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ يهïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

)

رًàâيهيèه يه ïîنٍâهًونàهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

دًîâهًêà îنèييàنِàٍü‏ ïîنٍâهًونàهٍ يهïًàâèëüيîٌٍü ïîëَ÷هيèے ًهçَëüٍàٍà.

)

رًàâيهيèه ïîنٍâهًونàهٍ, يî يه مàًàيٍèًَهٍ ïًàâèëüيîٌٍè âûïîëيهيèے نهéٌٍâèé.

اہتثق×إحبإ

ہًُهîëîمèے è èٌٍîًèے َ÷àٍ يàٌ, ÷ٍî ÷هëîâهê ًàيî يà÷àë ٌ÷èٍàٍü. ريà÷àëà îي يàَ÷èëٌے ٌêëàنûâàٍü ÷èٌëà, ïîٍîى, ىيîمî ïîçوه, َىيîوàٍü è âû÷èٍàٍü èُ. ؤهëهيèه ÷èٌهë لûëî يهîلُîنèىûى نëے ًàٌïًهنهëهيèے يà ًàâيûه ÷àٌٍè êَ÷è ےلëîê èëè َëîâà ًûلû.

تàê ٍîëüêî ë‏نè يهىيîمî يàَ÷èëèٌü ٌ÷èٍàٍü, ‎ٍîٍ ïًîِهٌٌ ٌٍàë ïًèےٍيûى âًهىےïًîâîونهيèهى نëے ىيîمèُ ë‏نهé, ٌêëîييûُ ê àلًٌٍàêٍيîىَ ٍهîًهٍèçèًîâàيè‏. ايàيèے î ÷èٌëàُ يàêàïëèâàëèٌü â ٍه÷هيèه ىيîمèُ âهêîâ, ïîًîونàے èيٍهًهٌ ê يîâûى èٌٌëهنîâàيèےى, êîٍîًûه â ٌâî‏ î÷هًهنü ïًèَىيîوàëè ‎ٍè يàêîïëهيèے. ب ٌهé÷àٌ, â ٌîâًهىهييîé ىàٍهىàٍèêه, ىû èىههى âهëè÷هٌٍâهييَ‏ êîيًٌٍَêِè‏, èçâهٌٍيَ‏ êàê ٍهîًèے ÷èٌهë. حهêîٍîًûه ÷àٌٍè ‎ٍîé ٍهîًèè âٌه هùه ٌîٌٍàâëے‏ٍ ïًîٌٍûه èمًû ٌ ÷èٌëàىè, à نًَمèه îٍيîٌےٌٍے ê يàèلîëهه ًٍَنيûى è ٌëîويûى ًàçنهëàى ىàٍهىàٍèêè.

آ ًهçَëüٍàٍه âûïîëيهيèے êًٌَîâîé ًàلîٍû ïî نèٌِèïëèيه «زهîًèے ًٌàâيهيèé» لûëà èçَ÷هيà ٍهىà «دًèëîوهيèه ٍهîًèè ًٌàâيهيèے ïًè ïًîâهًêه ًهçَëüٍàٍîâ àًèôىهٍè÷هٌêèُ نهéٌٍâèé», لûëè çàêًهïëهيû çيàيèے è âûًàلîٍàيû يàâûêè ïًîâهًêè ًهçَëüٍàٍîâ âûïîëيهيèے àًèôىهٍè÷هٌêèُ نهéٌٍâèé, èٌïîëüçَے ًٌàâيهيèے.

ردبرخت بردخثـاخآہححغص برزخ×حبتخآ

1. خًه خ. دًèمëàّهيèه â ٍهîًè‏ ÷èٌهë (ïهً. ٌ àيمë.). - جîٌêâà: سذرر, 2003.

. ءٍَُّàل ہ.ہ. زهîًèے ÷èٌهë. - M.: دًîٌâهùهيèه, 1966.

. جèُهëîâè÷ ز.ث. زهîًèے ÷èٌهë. - ج.: حàَêà, 1983.

. ءàييèêîâà ز.ج., ءàًàيîâà ح.ہ. خٌيîâû ٍهîًèè ÷èٌهë (َ÷هليî- ىهٍîنè÷هٌêîه ïîٌîلèه). - بوهâٌê, 2009.

. آهéëü أ. خٌيîâû ٍهîًèè ÷èٌهë. -ج., 2004.

. ثےوهي إ.ر., إâٌههâ ہ.إ. ہëمهلًà è ٍهîًèے ÷èٌهë. -ج.: آûٌّàے ّêîëà, 1978.

. آèيîمًàنîâ ب.ج. خٌيîâû ٍهîًèè ÷èٌهë. - ج.: حàَêà, 1976.

. تَëèêîâ ث.ك. ہëمهلًà è ٍهîًèے ÷èٌهë. - ج.: آûٌّàے ّêîëà, 1979.

. ءهéêهً, ہ. آâهنهيèه â ٍهîًè‏ ÷èٌهë / ہ. ءهéêهً. - جèيٌê: آûّ‎éّàے ّêîëà, 1995.

. ہéهًëهين, ت. تëàٌٌè÷هٌêîه ââهنهيèه â ٌîâًهىهييَ‏ ٍهîًè‏ ÷èٌهë / ت. ہéهًëهين. -ج.: جèً, 1987.

ذàçىهùهيî يà Allbest.ru