Исследование динамики системы с использованием математической модели
Оглавление
Введение
. Разработка математических моделей системы с гасителем и без
гасителя
. Решение дифференциальных уравнений математической модели
системы без гасителя
. Решение дифференциальных уравнений математической модели
системы с гасителем
. Статический расчет системы виброизоляции
Заключение
Список литературы
Приложение
Введение
Динамическое гашение колебаний состоит в присоединении к системе массы на
упругом элементе с определенными параметрами, с целью создания силового
воздействия на систему. Этим динамическое гашение отличается от другого способа
уменьшения вибрации, характеризуемого наложением на объект дополнительных
кинематических связей, например, закреплением отдельных его точек.
В данной контрольной работе мы рассмотрим систему с двумя степенями
свободы, представляющую собой объект массы m, установленный на четырех упругих элементах. В начале работы
необходимо исследовать динамику системы с использованием математической модели:
определить собственные частоты системы, построить амплитудно-частотные
характеристики и зависимость перемещений от времени, затем необходимо
рассчитать параметры одномассового инерционного динамического гасителя
колебаний для выбранной частоты настройки.
Для системы с гасителем будут получены амплитудно-частотные
характеристики, зависимости перемещений от времени. После этого будет выполнен
статический расчет системы и выравнивание объекта при помощи вставок. Расчеты
необходимо выполнить на ЭВМ с использованием системы инженерных и научных
расчетов MATLAB.
1. Разработка математических моделей системы с гасителем и
без гасителя
Рисунок 1.1 - Схема системы
уравнение математический гаситель вироизоляция
Для исследования динамики системы необходимо составить математическую
модель. С этой целью следует воспользоваться уравнением Лагранжа II рода в
виде:
(1)
где Т - кинетическая энергия, - потенциальная энергия, - время,
и 
- обобщенные координаты и обобщенные скорости,
-
обобщенные возмущающие силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам, 
- число степеней свободы.
Кинетическая
энергия:
(2)
Потенциальная
энергия:
(3)
Система
имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем вертикальное
перемещение 
центра тяжести объекта тяжести О объекта, угол 
поворота его вокруг оси, проходящей через точку О.
Тогда уравнения Лагранжа можно записать в виде:
(4)
Подставив
производные T и V ,а так же 
мы
получаем систему из трех уравнений:
(5)
Уберем
из системы все связанное с гасителем, и получим математичесскую модель системы
без гаситеся:
(6)
2. Решение дифференциальноых уравнений математической модели системы без
гасителя
Преобразуем математичесскую модель (6). Сгрупируем значения при y и φ.
Разделим первое уравнения
на массу, второе на момент инерции.
(7)
Для
удобства дальнейших преобразований введем обозначения:
(8)
С
учетом обозначений уравнения математической модели примут вид:
(9)
Решения
уравнений будем искать в виде:
(10)
где
А1, А2 - амплитуды колебаний.
Подставив
решение (10) в дифференциальные уравнения (9) получим следующую систему
алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний А1 и А2.
(11)
Отсюда
находим:
(12)
(13)
(14)
(15)
После
вычисления определителей получим следующие формулы для амплитуд:
(16)
(17)
Построим
амплитудно-частотные характеристики и зависимости углового и линейного
перемещения от времени. Для этого разработана программа в программной среде MATLAB
(приложение А).
Рисунок
2.1 - Амплитудно-частотная характеристика линейных колебаний
Рисунок
2.2 - Амплитудно-частотная характеристика угловых колебаний
Рисунок
2.3 - Зависимость линейного перемещения от времени
Рисунок
2.4 - Зависимость углового перемещения от времени
Условие
(18)
определяет
собственные частоты рассматриваемой системы. При выполнении условия амплитуды
А1 и А2 стремятся к бесконечности.
Определим
собственные частоты системы. Преобразуем условие
(19)
Корни
уравнения и будут являться собственными частотами. Решим уравнение с помощью программной
среды MATLAB (приложение Б). Результаты расчета:
k = -18.6279
.3900
.6279
.3900
3. Решение дифференциальноых уравнений математической модели системы с
гасителем
Преобразуем математичесскую модель (5). Сгрупируем значения при y и φ.
Разделим первое
уравнения на массу, второе на момент инерции, третье на массу гасителя.
(20)
Для удобства дальнейших преобразований введем обозначения:
(21)
С
учетом обозначений уравнения математической модели примут вид:
(22)
Решения
уравнений будем искать в виде:
(23)
где
А1, А2 - амплитуды колебаний.
Подставив
решение (23) в дифференциальные уравнения (22) получим следующую систему
алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний А1, А2, А3.
(24)
Отсюда
находим:
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
Определим
параметры динамического гасителя. 
- масса гасителя,
0,1 от массы системы. 
. 
-
расстояние от точки О до гасителя, выберем равной 
. 
-
жесткость пружины гасителя, определяется из уравнения амплитуды, при условии,
что 
. Приравняем 
к 0,
подставим обозначения 
(21), выразим 
:
(30)
-
частота гашения, выберем 
Построим
амплитудно-частотные характеристики и зависимости углового и линейного
перемещения от времени. Для этого разработана программа в программной среде MATLAB
(приложение B). В результате расчета, на рисунке 3.2 виден
антирезонанс на частоте гашения , на
рисунке 3.5 видны погашенные колебания.
Рисунок
3.1 - Амплитудно-частотная характеристика линейных колебаний
Рисунок 3.2 - Амплитудно-частотная характеристика угловых колебаний
Рисунок 3.3 - Амплитудно-частотная характеристика гасителя
Рисунок 3.4 - Зависимость линейного перемещения от времени
Рисунок 3.5 - Зависимость углового перемещения от времени
Рисунок 3.6 - Зависимость перемещения гасителя от времени
. Статический расчет системы виброизоляции
Статический расчет системы виброизоляции заключается в вычислении
статических реакций и статических деформаций виброизоляторов с целью их
правильной установки под оборудованием. В ходе статического расчета необходимо
выявить положение объекта, который установлен на упругом подвесе, образованном
совокупностью виброизоляторов.
Введем
неподвижную систему координат ОXY (рисунок 1.1), проходящую через центр тяжести объекта
в установочном положении. Под действием силы тяжести Р, виброизоляторы
жесткости с1 и с2 деформируются на величины 
и 
соответственно. При этом возникают реакции в опорах,
определяемые выражением:
(31)
Деформации
можно определить с учетом вертикального перемещения объекта на величину у и
возможного поворота на малый угол
:
(32)
Для
определения деформаций используем уравнения статического равновесия,
представляющие собой сумму проекций действующих сил на ось у и сумму моментов сил,
относительно точки О (рисунок 1.1):
(33)
Подставив
в выражения реакции опор с учетом деформации, после преобразований получим:
(34)
Решим
систему с помощью программной среде MATLAB (Приложение Г).
Результатом расчета является высота компенсирующих прокладок под
соответствующие виброизоляторы
h1 = 0.0122 мм; h2 =
0.0096 мм; h3 = 0.0027 мм.
Рисунок
4.1 - Выравнивание объекта:
а
- определение величины компенсирующей прокладки,
б
- результат выравнивания
Заключение
В
контрольной работе была рассмотрена система с двумя степенями свободы.
Исследована динамика системы, составлена математическая модель системы с
гасителем и без. На основе полученных математической модели системы без
гасителя построены амплитудно-частотные характеристики и зависимости
перемещения от времени, определены собственные частоты системы на которых виден
резонанс. Выбрана частота гашения колебаний . Выбраны
параметры гасителя 
, ,
рассчитана жесткость упругого элемента гасителя 
. По
полученным данным и математической модели с гасителем построены
амплитудно-частотные характеристики и зависимости перемещения от времени, на
рисунке 3.2 виден антирезонанс, на рисунке 3.5 видны потухшие колебания. Был
выполнен статический расчет системы, рассчитаны компенсирующие прокладки под
упругие элементы системы. Все расчеты были выполнены в программной среде MATLAB.
Список
литературы
1. Методические указания по выполнению курсовых проектов
(работ) по дисциплинам "Расчет и конструирование типовых узлов
машин", "Динамика узлов и механизмов машин" / сост. Н.М.
Бабкина, И.М. Беспалова, Н.А. Гренишина, Л.С. Мазин, В.К. Поляков. - СПб.:
СПГУТД, 2009. - 29 с.
. Вульфсон, И.И. Колебания в машинах / И.И. Вульфсон. - 2-е
изд. - СПб. : СПГУТД, 2008. - 260 с.
. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики / А.А.
Яблонский, В.М. Никифорова. - 16-е изд. - М.: КноРус, 2011. - 603 с.
Приложение А
Программа для построения амплитудно-частотных характеристик и зависимости
углового и линейного перемещения от времени, для модели без гасителя.
m = 900;= 50000;= 20000;= 30000;= 40000;= 6;= P0/m;= 1.2;=
0.7;= 0.6;= 1.1;= 0.4;
I = 1/12*m*((l1+l4)^2+h^2);=1;w
= 0:0.1:30= (c1+c2+c3+c4)/m; a12 = (-c1*l1-c2*l2+c3*l3+c4*l4)/m;=
(-c1*l1-c2*l2+c3*l3+c4*l4)/I; a22 = (c1*l1^2+c2*l2^2+c3*l3^2+c4*l4^2)/I;= [
(a11-w^2) a12;(a22-w^2) ];= [ P1 a12;
(a22-w^2) ];= [
(a11-w^2) P1;0 ];(i) = abs(det(d1)/det(d));(i) = abs(det(d2)/det(d));=i+1;=
0:0.1:30;(1)(w,A1),grid, xlabel('w, 1/c'), ylabel('A1, м')(2)(w,A2),grid,
xlabel('w, 1/c'), ylabel('А2, рад')= 12.39;= 0:0.1:10;= [ (a11-w^2)
a12;(a22-w^2) ];= [ P1 a12;
(a22-w^2) ];
d2 = [ (a11-w^2)
P1;
a21 0 ];
A1 = abs(det(d1)/det(d));=
abs(det(d2)/det(d));= A1.*sin(w.*t);= A2.*sin(w.*t);(4)(t,y), grid, xlabel('t,
c'), ylabel('y, м')(5)(t,fi), grid, xlabel('t, c'), ylabel('fi, рад')
Приложение Б
Нахождение собственных частот системы без гасителя
m = 900;= m*0.05;= 50000;= 20000;= 30000;= 40000;= 6;= P0/m;=
1.2;= 0.7;= 0.6;= 1.1;= 0.4;
I = 1/12*m*((l1+l4)^2+h^2);= (c1+c2+c3+c4)/m; a12 =
(-c1*l1-c2*l2+c3*l3+c4*l4)/m;= (-c1*l1-c2*l2+c3*l3+c4*l4)/I; a22 =
(c1*l1^2+c2*l2^2+c3*l3^2+c4*l4^2)/I;= 1;= -a11-a22;= a11*a22-a21*a12;= [x1 0 x2
0 x3];
Приложение В
Программа для построения амплитудно-частотных характеристик и зависимости
углового и линейного перемещения от времени, для модели с гасителем.
m = 900;= m*0.05;= 50000;= 20000;= 30000;= 40000;= 6;= P0/m;=
1.2;= 0.7;= 0.6;= 1.1;= 0.9;= 0.5;
I = 1/12*m*((l1+l4)^2+h^2);= 12.39;= - ( - c1*l1*(w^2)*mg -
c2*l2*(w^2)*mg + c3*l3*(w^2)*mg + c4*l4*(w^2)*mg ) /...
( c1*l1 + c2*l2 - c3*l3 - c4*l4 + lg*(w^2)*mg); %угловые
i=1;w = 0:0.1:30=
(c1+c2+c3+c4+cg)/m; a12 = (-c1*l1-c2*l2+c3*l3+c4*l4+cg*lg)/m; a13 = -cg/m;=
(-c1*l1-c2*l2+c3*l3+c4*l4+cg*lg)/I; a22 =
(c1*l1^2+c2*l2^2+c3*l3^2+c4*l4^2+cg*lg^2)/I; a23 = (-cg*lg)/I;= -cg/mg; a32 =
(-cg*lg)/mg; a33 = cg/mg;= [ (a11-w^2) a12 a13 ;(a22-w^2) a23;a32 (a33-w^2) ];=
[ P1 a12 a13;
(a22-w^2) a23;
a32 (a33-w^2) ];=
[ (a11-w^2) P1 a13;
a21 0 a23 ;
a31 0 (a33-w^2)];=
[ (a11-w^2) a12 P1;
a21 (a22-w^2) 0;
a31 a32 0 ];(i) =
abs(det(d1)/det(d));(i) = abs(det(d2)/det(d));(i) = abs(det(d3)/det(d));=i+1;=
0:0.1:30;(1)(w,A1),grid, xlabel('w, 1/c'), ylabel('A1, м')(2)(w,A2),grid,
xlabel('w, 1/c'), ylabel('А2, рад')(3)(w,A3),grid, xlabel('w, 1/c'),
ylabel('А3, рад')= 12.39;= 0:0.1:10;= [ (a11-w^2) a12 a13
;...(a22-w^2) a23;
a31 a32 (a33-w^2)
];= [ P1 a12 a13;
(a22-w^2) a23;
a32 (a33-w^2) ];=
[ (a11-w^2) P1 a13;
a21 0 a23;
a31 0 (a33-w^2)];=
[ (a11-w^2) a12 P1;
a21 (a22-w^2) 0;
a31 a32 0 ];=
abs(det(d1)/det(d));= abs(det(d2)/det(d));= abs(det(d3)/det(d));=
A1.*sin(w.*t);= A2.*sin(w.*t);= A3.*sin(w.*t);(4)(t,y), grid, xlabel('t, c'),
ylabel('y, м')(5)(t,fi), grid, xlabel('t, c'), ylabel('fi, рад')(6)(t,yg),
grid, xlabel('t, c'), ylabel('yg, м')
Приложение Г
Определение высоты
компенсирующих прокладок
m = 900;= 50000;=
20000;= 30000;= 40000;= 1.2;= 0.7;= 0.6;= 1.1;= 9.8;
= [ c1 + c2 + c3 +
c4 c4*l4 + c3*l3 - c2*l2 - c1*l1;...*l1 + c2*l2 - c3*l3 - c4*l4 c1*l1^2 +
c2*l2^2 + c3*l3^2 + c4*l4^2];= [ m*g c4*l4 + c3*l3 - c2*l2 - c1*l1;
c1*l1^2 + c2*l2^2
+ c3*l3^2 + c4*l4^2];= [ c1 + c2 + c3 + c4 m*g;
c1*l1 + c2*l2 -
c3*l3 - c4*l4 0];= (det(d1)/det(d));= (det(d2)/det(d));= y-l1*fi;= y-l2*fi;=
y+l3*fi;= y+l4*fi;= delta1-delta4= delta2-delta4
h3 = delta3-delta4