Аналіз нелінійного перетворення стаціонарного гауссівського випадкового процесу

1.       Постановка задачі

математичний кореляційний одномірний відгук

Задана нелінійна безінерційна система, характеристики якої не залежать від часу. Математичною моделлю системи є оператор , який називається амплітудною характеристикою системи. На вхід системи подається стаціонарний випадковий процес  (вплив), що має гауссівський розподіл миттєвих значень з параметрами . Вихідним є процес , що називається відгуком системи (рис 1.1), який є стаціонарним випадковим процесом.

Рис 1.1.

 

Треба побудувати графіки можливих реалізацій вхідного та вихідного процесів, знайти одномірну функцію розподілу відгуку, його математичне сподівання, кореляційну функцію та проаналізувати отримані результати і зробити висновки.

2.       Побудова графіків реалізацій вхідного та вихідного процесів

 

Оскільки система безінерційна, то миттєве значення вихідного процесу  в довільний фіксований момент часу  визначається значенням вхідного процесу  в той же момент часу:

                                             (2.1)

Визначимо діапазон практично можливих миттєвих значень вхідного процесу , для яких виконується умова:

                                (2.2)

Якщо вхідним є гауссівський стаціонарний випадковий процес, то для нього використовується правило «трьох »:

                                   (2.3)

Згідно з (1.3) діапазон практично можливих значень:

                                   (2.4)

Знайдемо діапазон практично можливих значень для заданих трьох значень математичного сподівання:

1)       ;

2)       ;

3)       .

Вхідний процес отримаємо використовуючи таблицю чисел стандартної гауссівської випадкової величини. Для приведення стандартної гауссівської випадкової величини до випадкової гауссівської величини з необхідним математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням використаємо формулу:

 

                                                         (2.5)

Для заданих трьох значень математичного сподівання розрахуємо 30 значень випадкової величини і розташуємо їх на вісі часу з кроком 0,1 секунда. Таким чином отримаємо три варіанти реалізації вхідного випадкового процесу.

Використовуючи відомий оператор системи , побудуємо графіки реалізацій вхідного () і вихідного () процесів.

1)        

Діапазон можливих значень вихідного процесу:

2)      

 

3.       Розрахунок функції розподілу вхідного та вихідного процесів

За умовою вхідний процес є гауссівським випадковим процесом, тобто його функція розподілу визначається через функцію Лапласа за формулою:

 

                                           (3.1)

Для заданих значень математично сподівання і середньоквадратичного відхилення знайдемо функції розподілу і побудуємо графіки:

1)      

 

2)      

3)      

 

Знайдемо функцію розподілу вихідного процесу . Для заданої системи зворотною функцією є . Аналізуючи амплітудну характеристику системи (рис. 3.4) розглянемо два інтервали для :

)         При : .

)         При: ,

де

Тобто на цьому інтервалі функція розподілу має вигляд:

                           (3.2)

Остаточний вигляд для функції розподілу вихідного процесу:

                       (3.3)

Для заданих значень математичного сподівання і середньоквадратичного відхилення запишемо функції розподілу та побудуємо графіки:

1)      

2)      

3)      

4.       Розрахунок математичного сподівання вихідного процесу

 

Математичне сподівання вихідного процесу:

 

                        (4.1)

Для гауссівського вхідного процесу:

 

 

                                                 (4.2)

Підставивши (4.2) в (4.1) отримаємо:

. Введемо заміну:

. Тоді:

Для знаходження інтегралів скористаємося відомим співвідношенням:

                                      (4.3)

Обчислимо значення математичного сподівання вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

0,45	0	-0,7975
	1	0,2025
	2

5.       Розрахунок кореляційної функції вихідного процесу

Для знаходження кореляційної функції вихідного процесу використаємо формулу:

 

,                                                  (5.1)

де , а , за умовою.

Визначимо перші три коефіцієнта розкладу кореляційної функції в ряд. Для цього введемо заміну:

.

1)      

Відомо, що . Тоді:

 

Використовуючи (4.3) отримаємо:

2)      

Відомо, що . Тоді:

3)      

Відомо, що . Тоді:

Наближені вирази для кореляційної функції та її графіки для трьох значень математичного сподівання:

1)       :

:

2)       :

Висновки

Розраховані практично можливі значення для вхідного і вихідного процесів для трьох значень математичного сподівання:

[-1,35; 1,35][-0,35; 2,35][0,65; 3,35]
[-1; 0,8225][-1; 4,5225][-0,5775; 10,2225]

Отриманий загальний вираз для функції розподілу вихідного процесу:

Вираз для обчислення математичного сподівання вихідного процесу:

Визначені значення для математичного сподівання вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

0,45	0	-0,7975
	1	0,2025
	2	3,2025

Отримані вирази для перших трьох коефіцієнтів розкладу кореляційної функції вихідного процесу в ряд:

Наближені вирази для кореляційної функції вихідного процесу для трьох значень математичного сподівання вхідного процесу:

0
1
2

Література

1. Аналіз нелінійного перетворення стаціонарного гауссівського випадкового процесу. Методичні рекомендації до виконання курсової роботи з дисципліни «Теорія процесів та систем. Випадкові процеси» для студентів напрямку підготовки 050803 - Акустотехніка / Уклад.: О. В. Гармаш, Т. А. Горовецька, О. І. Красильніков. - К.: ВЦ «Принт-центр», 2008. - 44 с.

2.       Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов. Радио, 1982. - 624 с.

.         Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с.

.         Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. Радио, 1974. - 552 с.