Анализ сигналов на основе элементарных многоэкстремальных функций
Анализ сигналов на основе элементарных многоэкстремальных функций
Большинство реально протекающих
процессов, носящих периодический характер, по природе своей не являются
полигармоническими. Поэтому применяемое в таких случаях разложение в тригонометрические
ряды является, в известной степени, искусственным, плохо отражающим физическую
суть описываемого явления. Здесь предлагается проводить разложение сигнала на
составляющие, в некотором смысле более адекватные изучаемым объектам.
Элементарные многоэкстремальные
функции
В основе предлагаемого
аппарата лежат базовые функции 
[1], являющиеся как
функции четными, бесконечно дифференцируемыми, неотрицательными, принадлежащими
пространству 
и
такими, что: 
,
при
для
логарифмической производной 
базовой функции
уравнение 
разрешимо
в элементарных функциях, причем имеется лишь два корня 
где
g(x)
- функция, обратная функции 
. Примерами функций из 
могут
служить 
и
.
К классу элементарных
многоэкстремальных функций (ЭМЭФ) [2] отнесём функции следующих двух типов:
(1)
(2)
где 
,
а 
-
константа, определяемая параметром 
, которую предлагается
задавать как
. (3)
В частности, для 
,
,
где 
-
одна из известных [3] эллиптических тэта-функций.
Путём некоторых
преобразований можно для ЭМЭФ получить иные выражения:
, 
,
, 
.
На рисунках 1 и 2
представлены графики функций обоих типов 
и 
для
,
на интервале 
при
и
соответственно.
Рассмотрим некоторые
свойства этих функций. Прежде всего, очевидно, что для любой функции 
соответствующие
ряды (1) - (3) - равномерно сходящиеся, т.е. действительно определяют некоторые
функции. Далее ясно, что они имеют период 2π,
и 
.
Очевидно, что 
и
имеют
те же экстремумы и нули, что и соответственно функции 
и
.
Для ЭМЭФ нетрудно
получить ряды Фурье:
(4)
(5)
где 
-
преобразование Фурье функции 
. В частности, для 
это
,
а для 
-
.
Из (4) получим
Рассмотрим асимптотику
отношения 
,
при
.
Известно [4], что для функций 
монотонно стремящихся к
нулю при 
имеет
место 
Если же 
,
то будет: 
.
Следовательно, для любой
,
для 
Поэтому будем иметь: 
Аналогично: 
Таким образом, оба вида
ЭМЭФ, индуцированных классом , имеют по единственной
предельной (относительно предела ) точке - соответственно
и
.
Этот факт можно рассматривать как еще одно экстремальное свойство
тригонометрических функций.
Интегральное
преобразование на основе ЭМЭФ
Рассмотрим комплекснозначную функцию
. (6)
Рядом Фурье для нее,
согласно (4) и (5), будет
.
Так как функции 
и
являются
предельными по параметру (при
)
соответственно для функций и ,
то очевидно
(7)
Пусть теперь 
-
некоторая функция, разлагаемая в сходящийся ряд Фурье. Введем интегральное
преобразование с ядром 
:
(8)
Нетрудно установить
связь этого преобразования функции с ее преобразованием
Фурье 
:
(9)
Преобразование (9) не
является взаимообратным.
Действительно,
рассмотрим преобразование
Положим в (10) 
,
где 
.
Тогда
,
т.е. 
.
Для четных функций
рассматриваемое преобразование (прямое и обратное) будет иметь вид
В дальнейшем введённое
выше преобразование будем называть ЭМЭФ-преобразованием.
Сравнительный анализ
ЭМЭФ-преобразования и преобразования Фурье
Рассмотрим возможности
ЭМЭФ-преобразования и преобразования Фурье при выделении слабого
периодического, но негармонического сигнала на фоне сильной помехи при малом
числе отсчётов на исследуемом интервале времени.
Во-первых, приведём
результаты обоих преобразований для чётных функций 
и
,
где 
-
одна из базовых функций. Для имеем: преобразование
Фурье
, (11)
и ЭМЭФ-преобразование с
ядром 
. (12)
Для ЭМЭФ соответствующие
преобразования дают:
,(13)
(14)
Проиллюстрировать
качественно содержательный смысл соотношений (11) - (14) можно с помощью ниже
следующих рисунков. На рис 3 (а) и (б) представлены соответственно результаты
преобразования Фурье и ЭМЭФ-преобразования для суммы двух косинусов.
Наконец, перейдём к
сравнению результатов числового анализа амплитудного спектра. Такими
результатами будем полагать периодограммы, полученные на основе дискретного
преобразования Фурье (ДПФ) и дискретного варианта ЭМЭФ-преобразования (ЭФДП)
вида
, (15)
где 
,
если сигнал изучают на
интервале 
.
Здесь полагаем 
.
Пример 1.
Сигнал имеет вид:
(16)
при 
.
Анализ проводим по 
отсчётам
с помощью ДПФ и ЭФДП с базовой функцией 
или 
.
Здесь и далее по оси ординат
отложены значения периодограмма в децибелах.
Пример 2. Теперь проанализируем сигнал
при 
и
.
В полной аналогии с примером 1 получим для ДПФ
Здесь, как и в
предыдущем примере, ЭФДП оказывается значительно более эффективным, по
сравнению с ДПФ.
Наблюдаемые различия в
характере спектральной картины, получаемой на основе двух базовых функций,
говорит о чувствительности метода к типу используемой функции. В частности,
скорости убывания фурье-образов 
и 
существенно
различаются, и поэтому спектральная картина, наблюдаемая при использовании 
,
получается более «размытой», по сравнению с той же картиной, но полученной при 
.
Кроме того, каждая из
базовых функций позволяет более резко выделять составляющие, характер изменения
которых имеет тот же тип, что и у этой функции. А именно, в обоих примерах, на
рисунках 7 (б) и 9 (б) наблюдается значительный «выброс» в области низких
частот, в то время как на рисунках 7 (а) и 9 (а) его нет. Дело в том, что
«временное окно» по типу схоже с . В то же время, в
примере 2 мощный сигнал построен на основе базовой функции однотипной ,
и поэтому на рисунке 9 (а), он представлен значительно «ярче», чем на рисунке 9
(б).
Выше сказанное позволяет
полагать, что, варьируя базовые функции при ЭМЭФ-преобразовании, можно
типизировать сигнал по характеру его поведения. А это, в свою очередь, даёт
возможность судить о происхождении процессов, описываемых анализируемым
сигналом.
Отсюда видно, что
эффективность выделения слабого сигнала в представленном диапазоне изменения
параметра существенно не меняется, в то время как характер представленной
картины оценки спектра претерпевает некоторые изменения. Это говорит об
устойчивости результатов анализа к небольшим изменениям значений α.
Однако, полагать, что выбор значения параметра α
не играет роли при ЭМЭФ-преобразовании неверно. Как показывает опыт, при
увеличении α, что, в соответствии с п. 1,
приближает ЭМЭФ к гармоническим, спектральная картина становится такой, какую
даёт преобразование Фурье.
На основе изложенных
результатов можно сделать следующие выводы.
1. Для обнаружения слабого
сигнала на фоне сильной низкочастотной помехи, при малом объёме исследуемых
данных, преобразования, ядром которых являются ЭМЭФ, более эффективны, чем ДПФ.
2. Вариации типа базовой
функции, положенной в основу ЭМЭФ, позволяют выявлять характер изменений,
описываемых исследуемым сигналом.
Список литературы и
интернет ресурсов
фурье сигнал многоэкстремальный низкочастотный
[2] Ерохин А.Т., Филюков С.И. О некоторых свойствах
многоэкстремальных функций. - В сборнике «Вопросы теории и методики
гравитационных измерений» ИФЗ АН СССР, Москва, 1976.
[3] Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. - М.:
«Наука», 1977.
[4] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.:
«Наука», 1965.
[5] Хэррис Ф.Дж. Использование окон при гармоническом анализе
методов дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР. - 1978, т. 66., №1, с.
60-96.