Абсолютная и относительная погрешность
Реферат
Абсолютная и относительная погрешность
Введение
Абсолютная
погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными
способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины.
Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения
случайной величины может
быть различной. Если -
измеренное значение, а -
истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если
случайная величина распределена
по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её
среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же
единицах измерения, что и сама величина.
Существует
несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.
· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в
беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью,
используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр
мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной
Больцмана равно 1,380 6488 (13)×10−23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10−23±0,000 0013×10−23 Дж/К.
Относительная
погрешность - погрешность
измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к
действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.
Относительная
погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
1. Что называется
приближённым значением?
С избыточным и недостаточным? В
процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами.
Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным
числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным
числам, называется число а, заменяющее точное значение величины А.
Если а < А, то а называется приближенным значением
числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например,
3,14 является приближенным значением числа π
по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени
точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.
Погрешностью Δа приближенного числа а называется разность вида
Δа
= А - а,
где А - соответствующее
точное число.
Из рисунка видно, что длина отрезка
АВ заключена между 6 см и 7 см.
Значит, 6 - приближенное значение
длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.
Обозначив длину отрезка буквой у,
получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным
значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком.
Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она
приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины
отрезка до целых.
. Что называется
погрешностью приближения?
А) Абсолютной?
А) Абсолютной погрешностью
приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её
приближённым значением. |x - x_n|, где x - истинное значение, x_n -
приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А
расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная
погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором -
одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа
измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм.
То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые
рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная
погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении
это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от
Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км,
что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой
величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна
листа формата А4.
Б) Относительной погрешностью
приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого
значения величины.
математический
погрешность дробь
где x - истинное значение, x_n -
приближённое.
Относительную погрешность обычно
вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до
единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна.
Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.
) Какое округление, называется
округлением?
А) С недостатком?
Б) С избытком?
А) Округление с недостатком
При округлении числа, выраженного
десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых
знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до
тысячных с недостатком, получим 12,458.
Б) Округление с избытком
При округлении числа, выраженного
десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков
после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до
тысячных с недостатком, получим 12,459.
Правило. Чтобы округлить десятичную
дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды
заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при
округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0,
1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
сотен: 100
Вывод
Несмотря на равенство абсолютных
погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер,
тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.