Первая, вторая, третья краевые задачи с граничными условиями и условиями сопряжения

Первая, вторая, третья краевые задачи с граничными условиями и условиями сопряжения

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Изучены математические модели, описывающие явления мостиковой и дуговой эрозии. Эти модели базируются на краевых задачах для уравнений в частных производных с движущимися границами, основной особенностью которых является вырождение в начальный момент времени. Построены теория и эффективные методы решения подобных задач. Для этой цели разработан аппарат специальных функций типа Хартри, с помощью которого найдены замкнутые решения некоторых задач с граничными условиями.

Область исследования. Из работ, посвященных уравнениям в частных производных, следует отметить работы А.Н.Тихонова [1] и Л.К.Мартинсона [2]. В этих работах описываются методы решения начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений. С.Н. Хариным [3] предложена и теоретически обоснована новая гипотеза о возможности термокапиллярного механизма дуговой эрозии, развита тепловая теория мостиковой эрозии электрических контактов и математический аппарат, позволяющий определить условия, при которых возможен оптимальный выбор композиции контактных пар с минимальной или самоограничивающейся эрозией.

Цель. Решение математической модели тепловых процессов с подвижными границами методом функции Хартри.

Методы исследования. Рассмотрены некоторые типы краевых задач, описывающих процессы теплопроводности. Для этих задач разработан метод решения. С помощью функции Хартри находится решение краевой задачи в замкнутом виде. Для определения коэффициентов решение подставляется в граничные условия и условия сопряжения. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , были получены системы уравнений и найдены неизвестные коэффициенты.

Новизна исследования. Решено уравнение для математической модели с движущейся границей при граничных условиях функцией Хартри.

Практическая ценность исследования. Полученные результаты будут применены в теории низкотемпературных электродуговых плазмах и коммутационных процессах в электрических аппаратах. Дальнейшее изучение функии Хартри поможет при вычислении задач, связанной с замкнутой математической моделью электрической дуги, учитывающей взаимодействие приэлектродных, внутриэлектродных и дуговых явлений и при решении задач.

Содержание и объем дипломной работы. Дипломная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованной литературы. Объем дипломной работы - 73 страницы.

1 РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИИ ХАРТРИ

.1 Об одном обобщении функции ошибок

Этот раздел посвящен введению специальных методов, с помощью которых решаются уравнения теплопроводности в областях с фиксированными и подвижными границами. Тепловые уравнения решаются c помощью функции ошибок и ее свойств, которые были введены Хартри в 1935 году и называемой функцией Хартри [4]. Как будет показано в дальнейшем, метод может быть использован для решения первой, второй [5] и третьей [6] краевых задач для уравнений теплопроводности с неподвижными и подвижными, конечными, полубесконечными и бесконечными границами.

Функция ошибок определяется рекуррентными формулами

 (1.1.1)

.

Для доказательства формулы (1.1.1) рассмотрим случай, когда n=1:

.

Отсюда, применяя формулу интегрирования по частям

,

будем иметь

.

Первое слагаемое при стремящемся к  стремится к нулю, то есть применяя правило Лопиталя, получим

.

Тогда

. (1.1.2)

Теперь рассмотрим случай при n=2:

. (1.1.3)

Аналогично применяя к правой части последнего выражения формулу интегрирования по частям

 ,

получим

,

Первое слагаемое при стремящемся к  стремится к нулю, то есть применяя правило Лопиталя, получим

.

Тогда

. (1.1.4)

Далее, обозначая второе слагаемое за I и применяя еще раз формулу интегрирования по частям

,

будем иметь

,

подставляя последнее выражение в (1.1.4), получим

 (1.1.5)

Аналогичным образом, проведя интегрирование по частям n-раз в выражении (1.1.1) и используя равенства (1.1.2), (1.1.5) можно доказать требуемую формулу

 .

Функции ошибок, определяемые формулой (1.1.1), удовлетворяют дифференциальному уравнению

. (1.1.6)

Чтобы показать равенство (1.1.6), найдем производные от функции ошибок, определяемые формулой (1.1.1):

, (1.1.7)

. (1.1.8)

Используя значения найденных производных, применим формулу интегрирования к правой части выражения (1.1.8)

,

. (1.1.9)

Подставляя выражения (1.1.7)-(1.1.9) в уравнение (1.1.6), будем иметь

 (1.1.10)

Таким образом, показали, что выражение (1.1.10) удовлетворят дифференциальному уравнению (1.1.6).

Функции ошибок, определяемые формулой (1.1.1), а также удовлетворяют рекуррентной формуле

. (1.1.11)

Функции Хартри (иногда их называют интегральными функциями ошибок) оказались весьма удобным аппаратом при исследовании процессов теплопроводности и диффузии, описываемых уравнением14

, (1.1.12)

в областях с подвижными границами.

Покажем, что функция , определяемая равенством:

удовлетворяет уравнению (1.1.12).

Найдем производные по  и по  два раза:

,

; .

Найденные производные по  два раза и по  один раз от функции  подставляем в уравнение (1.1.12), получим тождество

.

Тем самым, мы показали, что функция  удовлетворяет уравнению (1.1.12).

С помощью фундаментального решения уравнение (1.1.12) можно показать, что функция вида

 (1.1.13)

также удовлетворяет уравнению (1.1.12).

Для этого используя функцию Хартри, функцию вида (1.1.13) представим так:

, (1.1.14)

Отсюда найдем производные по  и по два раза:

,

,

,

запишем производные, используя функцию ошибок

, (1.1.15)

, , (1.1.16)

Подставляя полученные выражения (1.1.14) и (1.1.15) в уравнение (1.1.12), получаем

,

.

То есть на основании рекуррентной формулы (1.1.11), можно показать, что функция (1.1.14) удовлетворяет уравнению (1.1.12).

Представляя решение уравнения (1.1.11) в виде

,

можно постоянные  и  выбрать так, чтобы удовлетворить граничным функциям при  и : если только эти функции разлагаются в ряд Тейлора по степеням  или .

Позднее функции Хартри были обобщены на случай нецелого, а также отрицательного индекса, подробно изучена их асимптотика и решен ряд задач. Укажем некоторые свойства функций Хартри, не приведенные в цитированных выше работах.

1.      Для натурального n справедливо соотношение

,

где в правой части -мнимая единица,  - полином Эрмита. В самом деле, используя формулы (1.1.1), можно записать:

.

Пользуясь представлением для полиномов Эрмита, имеем:

 (1.1.17)

2.      Доказательство равенства

 (1.1.18)

Проводится методом индукции с использованием рекуррентной формулы (1.1.8). Производя дифференцирование в правой части (1.1.18), получим:

, (1.1.19)

где полиномы  и  определяются по формулам

.

От (1.1.18), (1.1.19) можем записать следующие явные выражения для функций Хартри целого индекса:

, (1.1.20)

. (1.1.21)

Используя правило Лопиталя и утверждение (1.1.1), нетрудно показать что

. (1.1.22)

Успешное использование функции Хартри для уравнений (1.1.12) приводит к естественному вопросу: нельзя ли ввести аналогичные функции для решения разных вопросов? Для ответа на вопрос рассмотрим уравнение

Если известно, что оно имеет следующие два линейно независимые решения

где  - вырожденная гиперболическая функция. Полагая , где , найдем, чтоудовлетворяет уравнению

.

Пользуясь эти уравнением, нетрудно проверить, что функция

 (1.1.23)

удовлетворяет уравнению

 (1.1.24)

Таким образом, функции

 (1.1.25)

удовлетворяет уравнению (1.1.24). Их последовательная линейная комбинация может быть записана через вырожденную гипергеометрическую функцию второго рода :

.

Функции  удобно использовать в ограниченных областях, а  - в неограниченных.

Пользуясь представлением

, (1.1.26)

можно показать, что

 (1.1.27)

Рассмотрим частные случаи,

). Плоский случай . Используя формулы (1.1.25), (1.1.1) и вычисляя интеграл в правой части, можно показать, что

 (1.1.28)

 (1.1.29)

т.е. в этом случае гипергеометрическая функция выражается через плоские функции Хартри (1.1.1), а функции

 (1.1.30)

 (1.1.31)

удовлетворяет уравнению (1.1.12).

). Цилиндрический случай . Здесь обе функции (1.1.25) совпадают:

.

Разложив гипергеометрическую фигуру в ряд

,

можем заключить, что при  этот ряд обрывается и превращается в полином Лагерра:

Таким образом, в этом случае для четного индекса кратные решения уравнения теплопроводности имеют вид:

3). Сферический случай  отличается от плоского  наличием множителя  в правых частях формул (1.1.30) и (1.1.31).

Их, функции (*) являются обобщением интегральной функции ошибок Хартри на случай произвольного . Соотношения, аналогичные (1.1.1)-(1.1.11), вытекают из следующих свойств гипергеометрической функции:

,

1.2 Решение задач при краевых условиях первого рда в ограниченной и полубесконечной областях

Постановка задачи. Найти решение дифференциальных уравнений

 (1.2.1)

, (1.2.2)

при краевых и начальных условиях

, (1.2.3)

, (1.2.4)

, (1.2.5)

где  - закон движения подвижной границы, удовлетворяющий условию .

В такой общей постановке задача (1.2.1) - (1.2.5) не имеет замкнутых решений. Но если предположить, что функции

 (1.2.6)

и закон движения имеет вид

, (1.2.7)

где  - положительное целое число или нуль;  и  - постоянные числа, , то задача (2.1) - (2.5) имеет замкнутые решения. Действительно, такие решения построить легко, если заметить, что выражения

, (1.2.8)

где, как обычно

являются независимыми частными решениями уравнений (1.2.1) и (1.2.2).

. (1.2.9)

Общее решение задачи (1.2.1) - (1.2.5) при сделанных предположениях относительно функций  и  будем искать в форме

, (1.2.10)

 (1.2.11)

При стремящемся к нулю, будем иметь

,

; (1.2.12)

При стремящемся к

,

, (1.2.13)

Тогда из уравнений (1.2.12)-(1.2.13) получаем систему уравнений

 (1.2.14)

Решаем систему уравнений относительно . Находим основной определитель:

,

и определители :

,

,

.

По формуле Крамера определяем постоянные .

, (1.2.15)

, (1.2.16)

, (1.2.17)

. (1.2.18)

Подставляя значения  из уравнений (1.2.15) -(1.2.17) в общие решения (1.2.9) - (1.2.10), получим окончательное решение задачи (1.2.1), (1.2.5) в замкнутом виде.

Этот прием решения легко обобщить для функций , заданных в виде полиномов в любой степени от  или .

В частном случае при  и  после элементарных преобразований получим

,

.

.3 Решение задач при втором краевом условии на движущейся границе в ограниченной области

Постановка задачи. Найти решение

 (1.3.1)

 (1.3.2)

. (1.3.3)

Допустим, что функции  и  имеют, соответственно, вид  и . В этом случае общее решение уравнения (1.3.1) ищем в виде

. (1.3.4)

Из краевого условия (1.3.2) и общего решения (1.3.4)

,

,

получим уравнение

 (1.3.5)

Дифференцируя (1.3.4) по  и подставляя результат при  в условие (1.3.4)

,

. (1.3.6)

Решаем уравнения (1.3.5) и (1.3.6) относительно

,

,

.

По формуле Крамера получим

, (1.3.7)

, (1.3.8)

. (1.3.9)

Подставляя значение  из уравнений (1.3.8) и (1.3.9) в уравнение (1.3.4), получим окончательное решение задачи (1.3.1)-(1.3.3).

Для движущейся теплоизоляционной границы надо в уравнениях (1.3.7) и (1.3.8) положить . Изложенным приемом можно найти решения тепловых задач при краевых условиях (1.3.2) и (1.3.3), заданных в виде полинома любой степени от  или .

.4 Аналитическое решение третьей краевой задачи уравнения теплопроводности методом функции ошибок

Решение тепловой задачи

 (1.4.1)

может быть представлено в следующем виде

, (1.4.2)

. (1.4.3)

Используя принцип суперпозиции решение (1.4.1) может быть записано в виде (1.4.2)

 (1.4.4)

где коэффициенты  необходимо найти.

Окончательное решение теплового уравнения (1.4.1) может быть представлено в следующем виде

 (1.4.5)

Постановка задачи.

Требуется найти решение уравнения теплопроводности

 (1.4.6)

при начальных условиях

 (1.4.7)

при граничных условиях

 (1.4.8)

 (1.4.9)

 (1.4.10)

где  - аналитические функции, которые могут быть представлены в виде

.

Найдя производную от (1.4.5)

, (1.4.11)

подставим выражение (1.4.11) в граничные условия (1.4.8) и (1.4.9):

для

, (1.4.12)

Для

, (1.4.13)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой частях уравнений (1.4.11) - (1.4.12), получим системы уравнений.

 (1.4.14)

 (1.4.15)

 (1.4.16)

……… …...... ……….. ………. ……… ………….

 (1.4.17)

Из системы уравнений (1.4.14) определим коэффициенты . Находим основной определитель

,

, ,

получим коэффициенты

. (1.4.18)

Из системы уравнений (1.4.15) определим коэффициенты . Подставляя значения , получим

Найдя основной определитель и воспользовавшись формулой Крамера

,

,

,

будем иметь

 (1.4.19)

Из системы уравнений (1.4.16) аналогично определим коэффициенты , подставляя найденные  и . Произведем замену:

 (1.4.20)

 (1.4.21)

Подставляя (1.4.20) и (1.4.21) в систему (1.4.16), получим

;

,

,

 (1.4.22)

Аналогично находим следующие коэффициенты. Методом математической индукции определим коэффициенты для -индекса

,

,

,

получим

 (1.4.23)

Подставим значения коэффициентов (1.4.18)-(1.4.23) в (1.4.5) и получим решение в замкнутом виде.

2 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТАКТАХ

.1 Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом

Постановка задачи. Найти решение системы

 (2.1.1)

 (2.1.2)

с граничными условиями

 (2.1.3)

 (2.1.4)

и условиями сопряжения

 (2.1.5)

 (2.1.6)

где  - неизвестные постоянные величины. Если , то решение задачи претерпевает разрыв в точке . Поэтому мы будем требовать только ограниченности решения в окрестности .

Решение поставленной задачи будем искать в виде

, (2.1.7)

где  и  - произвольные постоянные.

Очевидно, что первое слагаемое в (2.1.7) удовлетворяет неоднородным уравнениям (2.1.1) и (2.1.2) и пятое слагаемое в (2.1.7) удовлетворяет однородному уравнению

 (2.1.8)

Покажем, что второе, третье слагаемые удовлетворяют однородному уравнению (2.1.8). Для этого найдем производные от ,  по  и по  два раза

Подставляя найденные производные в однородное уравнение (2.1.8), будем иметь:

.

Тем самым доказано, что второе и третье слагаемые удовлетворяют дифференциальному уравнению (2.1.8).

Четвертое слагаемое как тепловой потенциал простого слоя также удовлетворяет однородному уравнению (2.1.8). В самом деле, находя производные от  по  и по  два раза:

,

и подставляя найденные значения производных в уравнение (2.1.8), доказывается, что функция  удовлетворяет уравнению (2.1.8).

Произвольные постоянные  и  определим так, чтобы функции  удовлетворяет условиям (2.1.3) - (2.1.6). Для этого предварительно преобразуем тепловой потенциал простого слоя. Пусть

. (2.1.9)

. (2.1.10)

Производя в левой части равенства (2.1.10) замену:

,

, ,

будем иметь

.

Теперь производя еще раз замену  перепишем (2.1.10) в следующем виде:

. (2.1.11)

Используя значение интеграла в правой части [7]:

,

запишем (2.1.11) так

Если  или , то . Следовательно,

,

а если , то .

Определение коэффициентов. Теперь остается подобрать произвольные коэффициенты , ,  и , так, чтобы выполнялись условия (2.1.3) - (2.1.6). Переходя к пределу при  стремящемся к  из условия (2.1.3), получим уравнение

Приравнивая коэффициенты при  в левой и правой части, имеем:

 (2.1.12)

Теперь, переходя к пределу при  стремящемся к  из условия (2.1.4), получим

 (2.1.13)

Используя условие (2.1.5), будем иметь

откуда

  (2.1.14)

Так как

,

и на основании условия сопряжения (2.1.6) имеем

,

т.е. должно быть

 (2.1.15)

Системы уравнений (2.1.12) - (2.1.15) распадаются на две независимые системы:

 (2.1.16)

 (2.1.17)

Из системы (2.1.16) находим коэффициенты , :

,

 (2.1.18)

и подставляя полученные значения  и  в систему уравнений (2.1.16), имеем

 (2.1.19)

Из системы (2.1.19) находим  и, подставляя в первое уравнение, получим

. (2.1.20)

Правую часть уравнения (2.1.20) можно преобразовать

, (2.1.21)

Учитывая значение , определим :

, (2.1.22)

Теперь находя коэффициент и подставляя в первое уравнение (2.1.17), получаем систему уравнений относительно  и :

 (2.1.23)

Из системы (2.1.17) определяем постоянную .

, (2.1.24)

найденное значение  подставляем в (2.1.23)

. (2.1.25)

Принимая во внимание значение  и , находим :

. (2.1.26)

Подставляя найденные коэффициенты из (2.1.18) - (2.1.26) в решения (2.1.7), получим решение краевой задачи в замкнутом виде:

,

.

.2 Расчет мостиковой эрозии при отключении тока

В качестве практического приложения полученных результатов мы рассмотрим мостиковую эрозию электрических контактов.

При размыкании электрических контактов между ними образуется мостик из расплавленного металла электродов. Если при этом дуговой разряд отсутствует, то указанный жидкий мостик является основным источником переноса материала с одного электрода на другой. Для слабо нагруженных реле постоянного тока перенос материала с помощью жидкого мостика является весьма вредным явлением, приводящим к преждевременному износу контактов и к ложному срабатыванию при малых контактных силах.

Известно, что температурные поля в жидком цилиндре и в сопряженных с ним твердых контактах-электродах являются одномерными. Поэтому выберем ось  так, чтобы она совпала с осью цилиндра, а начало координат возьмем в точке контакта двух электродов.

Задачу о продвижении жидкой фазы контакта внутри твердых электродов можно свести к аналогичной задаче о промерзании. Используя приближенный метод решения таких задач [8], продвижение жидкой фазы внутри твердой можно выразить следующим уравнениям:

 (2.2.1)

где  - коэффициенты, определяемые из уравнений

 (2.2.2)

где  - температуры кипения и плавления;  - удельный вес.

Длина жидкого мостика в любой момент времени может быть определена следующим образом:

, (2.2.3)

У большинства контактных материалов  имеет одинаковый порядок со значением скорости расхождения контактов . Следовательно, при малых значениях , поэтому мы впредь будем пренебрегать величиной .

Средний диаметр жидкого мостика определяется формулой

, (2.2.4)

где - отношение минимального диаметра в средней части мостика к максимальному диаметру на аноде ;  - коэффициент пропорциональности, - сила тока.

Если электрические контакты состоят из одного материала, тогда

,

где - удельное сопротивление, - удельная теплоемкость, - площадь среднего поперечного сечения мостика. Но вследствие туннельного эффекта температура катода, следовательно .

, (2.2.5)

.

В конечном счете нас интересует объем перенесенного металла за одно отключение ,  - координата точки, где температура раньше всего достигает значения температуры кипения . Нахождение  и соответствующего значения времени  сводится к экстремальной задаче для неявной функции, т.е. определению корня системы

 (2.2.6)

Для левой части мостика последние равенства принимают вид

 (2.2.9)

или на основании формул (4.9), (4.10) и (4.11) мы имеем:

 (2.2.10)

отсюда

 (2.2.11)

 (2.2.12)

Аналогично для правой и части мостика получим формулы:

 (2.2.13)

 (2.2.14)

Легко видеть, что  и  имеют разные знаки, поэтому уравнение (2.2.14) имеет единственный корень, а (2.2.12) корней не имеет. Физически это соответствует тому, что мостик может сгореть только в одном месте - слева или справа.

Подставляя найденное значение (или ) в (2.2.11) (или а (2.2.13)), определяем время сгорания мостика (или ), а затем находим координату точки горения по формуле

или соответственно формуле

.

Объем перенесенного материала за одно отключение определится по формуле

.

Пример расчета. Проведем расчет мостиковой эрозии для платиновых электродов при отключении тока, равного одному амперу. Теплофизические константы платины имеют следующие значения: , , , , , , ,

Диаметр жидкого мостика для платины найдем по формуле

Температура катода при радиусе контактной поверхности  определяется следующим образом:

Средняя температура и области плавления анода будет равна:

Из (2.2.2), подставляя значения , найдем : подставляя значения , определим :

.

При определении коэффициента мы выбрали значение удельного сопротивления , что для платины соответствует температуре кипения:

Значения  и  определяем так:

По формуле (2.1.13) находим:

Найдем из (2.2.5):

По формуле (2.2.5) находим:

Так как , то из (2.2.12) находим

Из (2.2.11) находим

Находим объем металла, перенесенного с анода на катод за одно отключение. Принимая , получим

 за отключение.

Расчет для золота, серебра и палладия показал, что  соответственно равен 4,49; 7,65; 6,31. Линии, проведенные через экспериментальные точки, представляют для платины, серебра, золота и палладия следующее уравнение:

 за отключение.

Таким образом, полученные нами аналитическим путем величины объемного переноса весьма точно совпадают с экспериментальными данными.

3 РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ХАРТРИ

Постановка задачи. Найти решение системы

, (3.1)

 (3.2)

с граничными условиями

 (3.3)

 (3.4)

и условиями сопряжения

, (3.5)

, (3.6)

где  - известные положительные постоянные величины, - заданные функции.

В общей постановке задачи (3.1) - (3.6) не имеет замкнутых решений. Но если предположить, что функции  имеет вид

, (3.7)

где  - постоянные числа, то задача (3.1) - (3.6) имеет замкнутые решения.

Действительно, такие решения можно построить, если заметить, что выражения

,

 и ,

являются независимыми частными решениями уравнений (3.1) и (3.2).

Решение поставленной задачи будем искать в виде

, (3.8)

, (3.9)

где  - неизвестные произвольные постоянные.

Непосредственной проверкой можно установить, что решения (3.8) и (3.9) на основании свойств функции ошибок и удовлетворяют уравнениям (3.1) и (3.2) [11]. Произвольные постоянные  определим так, чтобы функции  удовлетворяли условиям (3.3) - (3.6). Для этого, подставляя (3.8) и (3.9) соответственно в (3.3) и (3.4), получим.

, (3.10)

и также подставляя (3.8) и (3.9) в условия сопряжения (3.5) и (3.6), используя найденные производные в разделе 1 и подраздела 1.4 с.30, соответственно имеем:

хартри краевая задача

, (3.11)

, (3.12)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  и  в левой и в правой частях уравнений (3.10) - (3.12), получим систему уравнений

,

,

,

….. …… ….. …... …… …… …… …… ….

,

,

,

, (3.13)

….. ….. …… ….. …… ….. ….. ….. …. …. ….. ….. ….. …..

,

,

,

,

….. ….. …. …. …. …. ….. …. …. …. …. …. …. ….. ….. ….. ……

,

Вводя обозначения

 (3.13)

перепишем системы

 (3.14)

 (3.15)

….. …… ……. …….. ……..

 (3.16)

где

.

Из системы уравнений (3.14) найдем основной определитель

.

Предполагая, что основной определитель не равен нулю, используем формулу Крамера

,

находим неизвестные  с помощью :

,

,

,

.

Найдя значения , определим неизвестные коэффициенты системы уравнений (3.14):

, (3.17)

, (3.18)

, (3.19)

, (3.20)

где

,

Аналогично методом Крамера определяем неизвестные систем уравнений (3.15) и (3.16), предварительно найдя основные определители:

,

,

,

,

,

, (3.21)

, (3.22)

, (3.23)

, (3.24)

,

…......... ……… ……… ……….. …………. …………... …………..

,

,

,

,

,

................... ……………… ………………. ………………………….

, (3.25)

, (3.26)

, (3.27)

, (3.28)

.

Отсюда, подставляя найденные значения коэффициентов , , …. …. ….,  из формул (3.18) - (3.28) в (3.8) и (3.9) определим решение полученной задачи в явном виде.

 ;

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой работе рассматривались первая, вторая, третья краевые задачи с граничными условиями и условиями сопряжения.

Общий метод решения линейных тепловых задач с движущейся границей при произвольном законе ее движения приводит к необходимости решения интегральных уравнений типа Вольтерра. Большие затруднения, связанные с решением уравнений этого типа, препятствуют их применению к частным задачам. Поэтому представляет интерес выделить такие типы задач, которые имели бы замкнутые решения при определенных законах движения границы.

На этом пути уже достигнуты некоторые результаты. Так, в полубесконечной области найдены решения для ряда частных задач. При равномерном движении границы оказалось возможным дать замкнутые решения в общем виде. В ограниченной области известно только решение при движении границы по закону . Тип задач выделяется по виду заданных функций на подвижной и неподвижной границе.

Небольшое изменение в задании функции  позволяет решить тепловую задачу при краевом условии второго рода на движущейся границе, а в частном случае и тогда, когда движущаяся граница будет изолятором.

Аналитическое решение третьей краевой задачи найдено интегральной функцией ошибок и ее свойствами, которое включает решение широкого спектра тепловых уравнений с подвижными границами, когда аналитически разлагается в начальный момент времени.

В замкнутом виде дается решение неоднородного уравнения теплопроводности с подвижными границами, когда коэффициент температуропроводности претерпевает разрыв. С помощью этого решения производится расчет материала, перенесенного с одного электрода на другой при размыкании электрической цепи постоянного тока.

В данной работе рассматривается первая граничная задача с подвижными границами, когда коэффициент температуропроводности претерпевает разрыв. Решение ищется для каждой области в виде многочлена относительно  и функции ошибок с неизвестными коэффициентами. Для определения этих коэффициентов, воспользовавшись граничными условиями и условиями сопряжения, получены системы алгебраических уравнений. Используя найденные коэффициенты из систем алгебраических уравнений, решение поставленной задачи находится в замкнутом виде.

На основании приближенного решения первой и третьей краевой задачи с помощью функции ошибок, были получены графики граничных функций и функций, полученных на замену выражения в граничных условиях.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -Физматгиз, 1951. - С.200-205.

[2] Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики/Под ред. В.С. Зарубина и А.П. Крищенко. - М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. - С.250-253.

[3] Ким Е.И., Омельченко В.Т., Харин С.Н. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом и его приложение к вопросу электрических цепей// Инж.-физ. журнал. - Т.8. - №6. - 1965. - С.761-767.

[4] Харин С.Н. Об одном обобщении функции ошибок и ее приложение в задачах теплопроводности// Дифференциальные уравнения и их приложения. 1981. - С.51-59.

[5] Редозубов Д.В. Решение некоторых типов линейных тепловых задач в ограниченной и полубесконечной областях при движении границы по закону // Журнал технической физики. - Т.22. - №5. - 1962. - С.632-635.

[6] S.N.Kharin, M.Sarsengeldin, A. Temirkul. Analytical solution of the third boundary-value problem for the heat equation by IEF method // Ізденіс, Поиск. - 2012. - №4. - С.78-81.

[7] Гранштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1965. - С.352-354.

[9] Койлышев У.К. Уравнение теплопроводности с разрывным коэффициентом, когда линия разрыва подвижная. - Алма-Ата: Наука, 1985. -

С. 65-70.

[10] Харин С.Н. О тепловых задачах с подвижной границей// Известия академии наук КазССР. Сер.3. Математики и механика. 1965. - № 18. - С.52-60.

[11] Хайруллин Е.М., Жаканова А. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом с подвижными границами// Труды международной научной конференции. - Алматы: Институт математики и математического моделирования. - 2014. - С. 312-317.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Приближенное решение первой, третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности методом функции ошибок

Постановка задачи.

Приближенное решение теплового уравнения

 (А.1)

при начальных условиях

при граничных условиях

(А.2)

представлено в следующем виде, где четные и нечетные коэффициенты  должны быть определены.

Решение теплового уравнения (А.1) может быть представлено в следующем виде

 (А.3)

Используя формулу для полиномов Эрмита, можно получить

 (А.4)

Если , то

,

Если , то

.

Выражение (А.3) перепишем в следующем виде

,

 (А.5)

Для подстановки функции (А.5) в граничные условия (А.2), найдем производную от функции (А.5)

и производные с граничными значениями  и :

,

, (А.6)

 (А.7)

Подставляя выражение (А.6) в граничные условия (А.2) на основании (А.6) и (А.7) для определенных значений , соответственно получаем для

.

Используя программу Mathlab, были получаем графики функций.

Рисунок А.1 - График функций  и  при

Рисунок А.2 - График от постоянной 1 и функции  при

и

.

На основании приближенного решения первой и третьей краевой задачи с помощью функции ошибок, были получены граничные функции и функции, полученные на замену выражения в граничных условиях. Для более точного решения требуется, чтобы было несколько значений времени.