Расчёт цифровой системы управления со стандартным П–регулятором
ЗАДАНИЕ
1. Для синтезируемой ЦСУ непрерывным
объектом определить требуемый период дискретизации Т работы
системы управления.
. Определить дискретную передаточную
функцию W(z) разомкнутой системы, состоящей из непрерывного объекта и
импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка (фиксатором).
. Рассчитать критический (граничный)
коэффициент усиления замкнутой ЦСУ со стандартным П-регулятором (максимальное
значение коэффициента П-регулятора, при котором система выходит на границу
области устойчивости).
. Рассчитать переходные процессы
замкнутой ЦСУ со стандартным П (ПС) - регулятором отработки входного
воздействия yзад (nT0) = 1(nT0) при нулевых начальных условиях объекта
управления. Параметры регулятора определить (или подобрать) из условия, чтобы
перерегулирование системы не превышало . Определить время переходного
процесса tnn и статическую точность ε системы.
. Определить импульсный модальный
регулятор для заданного импульсного объекта с передаточной функцией W(z).
Правильность синтеза модального управления проверить построением переходного
процесса синтезированной ЦСУ.
Исходные данные:
,
где =1,
Т=1.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ЦСУ
Требуется найти и рассчитать систему таким
образом, чтобы её выходная величина соответствовала заданию, причём выходила на
требуемый уровень за определённое время с заданными параметрами качества, т.е.
должно быть обеспечено соответствующее качество переходного процесса.
Выход на заданное значение при действии
возмущения, приводящего к появлению ошибки, невозможен без наличия обратной
связи, которая компенсирует возникающую ошибку, т.е. разницу между выходной
величиной и заданием.
Переходный процесс, т.е. процесс от начала
работы ЦСУ до её выхода на установившееся значение, также должен осуществляться
с заданными технологическими показателями - временем переходного процесса,
перерегулированием и статической ошибкой. Это обеспечивается введением
управляющих алгоритмов - П, ПИ или ПИД-регуляторов. Кроме того, улучшение качества
переходного процесса может быть достигнуто введением импульсного модального
регулятора.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ДИСКРЕТИЗАЦИИ
цифровой система управление бойчук
Допустимая величина периода дискретизации T
может быть определена 3 способами:
теорема Котельникова: для того,
чтобы непрерывный сигнал с частотным спектром, ограниченным максимальной
частотой , можно было
точно восстановить по последовательности его дискретных значений, необходимо,
чтобы частота квантования должна
удовлетворять неравенству
(2.1)
Т.к. , то
(2.2)
метод П.Т. Крутько
(2.3)
при (2.4)
Из формул (3.3) и (3.4) получаем
следующие рекомендации для выбора периода квантования
(2.5)
метод М.Н. Мазурова
, (2.6)
где - время достижения кривой разгона
(т.е. переходной функции объекта) 95 % - ого уровня по отношению к
установившемуся значению.
Для нашей системы цифрового
управления воспользуемся методом П.Т. Крутько (для определения ) и теоремой
Котельникова (для определения периода дискретизации Т).
Найдем амплитудно-фазовую
характеристику (АЧХ):
(2.7)
где .
Т.е. .
Строим АЧХ:
Рис. 1
Из АЧХ определяем частоту среза . Она
находится при условии при . Тогда
получаем: .
Теперь найдем максимальную частоту: (т.е проходит
через ноль).
Зная максимальную частоту , находим
период дискретизации по теореме Котельникова:
.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Так как дискретные объекты описываются
разностными уравнениями, а непрерывная часть - дифференциальным уравнением, то
возникает задача построения дискретного описания системы, которая состоит в
определении единого разностного уравнения, описывающего данную систему в целом.
Эта задача может решаться следующими способами:
непосредственная дискретизация дифференциальных
уравнений.
Этот метод можно применять, когда , где -
постоянная времени непрерывной части, причём он является весьма
приблизительным;
дискретное преобразование Лапласа
(3.1)
преобразование
Вводя обозначение , получаем
(3.2)
Рис. 2
Получившуюся ЦСУ можно описать двумя
способами:
С помощью дискретной передаточной
функции
(3.3)
причём (критерий
устойчивости)
С помощью разностных уравнений
Зная передаточную функцию (4.3)
легко записать разностное уравнение, которым описывается данная система.
Рассмотрим на примере передаточной функции II порядка
Применяя основное свойство пропорции
и подставляя замены:
, , , , , получаем
(3.4)
Для расчёта переходных процессов
уравнение (4.4) записывают в виде
(3.5)
Определим дискретную передаточную
функцию нашей разомкнутой системы (предполагается наличие экстраполятора
нулевого порядка):
(3.6)
Используя подстановку , получим
Тогда
Найдём .
(3.8)
По методу Остроградского находим коэффициенты А,
В и С:
Возвращаясь к выражению (4.8),
получаем:
.
Воспользовавшись таблицей
Z-преобразований, получим
(3.9)
Возвращаясь к выражению (4.7) и
учитывая, что период дискретизации Т=0.17 с, получаем дискретную передаточную
функцию нашей разомкнутой системы:
(3.10)
4. КРИТИЧЕСКИЙ (ГРАНИЧНЫЙ)
КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ ЗАМКНУТОЙ ЦСУ СО СТАНДАРТНЫМ П-РЕГУЛЯТОРОМ
Выполним этот пункт с помощью
критерия Гурвица: корни полинома , где аi > 0 лежат в левой
полуплоскости тогда и только тогда, когда положительны все главные миноры
матрицы размерности n*n:
. (4.1)
При составлении матрицы Гурвица
первая строка заполняется коэффициентами характеристического полинома с нечетными
индексами, вторая - с четными. Дальше пары строк получаются смещением вправо
первой пары на один, два и т.д. столбцов. Все коэффициенты с индексами,
большими степени полинома, заменяются нулями.
Из (4.1) получаются определители
Гурвица (главные миноры матрицы):
.
Указанные критерии непосредственно
можно использовать для исследования устойчивости непрерывных систем с
характеристическими полиномами . Для дискретных (цифровых) систем
эти критерии неприменимы, так как на отрицательность вещественных частей корней
необходимо исследовать многочлены вида
A*(esT)=a0
esnT+a1es(n-1)T+ ... +
an-1esT + аn. (4.2)
Многочлен (4.2) с использованием
известного обозначения z = е-sT можно записать в виде полинома
, (4.3)
но корни которого будут иметь
значения |z|=| е-snT| £ 1. Чтобы
корни |z|£1 перевести
в корни с отрицательными вещественными частями, как того требуют указанные
критерии, к характеристическому уравнению применяют билинейное преобразование
. (4.4)
Перейдем от разомкнутой функции
к замкнутой, которая находится по
формуле:
(4.5)
Чтобы получить выражение замкнутой
ЦСУ П-регулятора, надо домножить в выражении (4.5) на коэффициент усиления Кр
члены :
(4.6)
(4.7)
Из последнего выражения следует, что
коэффициент усиления числителя Кр=0, тогда найдем Кр знаменателя по критерию
Гурвица (из условия, что все определители матрицы больше нуля):
(4.8)
Заменив в формуле (4.8) z по формуле
(4.4), приходим к следующему выражению:
(4.9)
После преобразований уравнения
(4.9), получим:
. (4.10)
Следовательно, , , , где , , ; и матрица
Гурвица имеет вид
.
В соответствии с критерием Гурвица,
условия устойчивости будут:
) >0,
) , (4.11)
) >0.
Из (4.11) получаются, определяем А0,
А1, А2:
; ;
Тогда:
.
По условию критичный (граничный)
коэффициент усиления должен быть больше нуля, отсюда получаем область значений
Кр: .
5. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ЗАМКНУТОЙ ЦСУ С П-РЕГУЛЯТОРОМ
Один из способов улучшения качества
переходного процесса синтезируемой ЦСУ состоит в применении специальных
цифровых алгоритмов управления - П, ПИ или ПИД-регуляторов, непрерывные аналоги
которых широко использовались в системах автоматического управления.
Для синтеза нашей ЦСУ применим
дискретный П-регулятор, передаточная функция которого в Z-форме имеет вид:
, (5.1)
где Кр - коэффициент регулирования,
выбираемый из условия получения переходного процесса требуемого качества.
Структурная схема нашей замкнутой
цифровой системы управления с П-регулятором будет иметь вид:
Рис. 3
Тогда передаточная функция этой
системы с учётом выражения (3.11) запишется как:
(5.2)
Для расчёта переходного процесса
перейдём к описанию с помощью разностных уравнений. Домножая числитель и
знаменатель на и производя
замену
, , , , , получим:
(5.3)
Составим уравнения будущего значения
переменных, найденных через текущее и предыдущее значения, которые получаются
из уравнения (5.3) обозначением (новое время). Тогда получим:
(5.4)
(5.5)
Наилучшее качество переходного
процесса обеспечивается при Кр=1.
Найдем первые 5 значений разностного
уравнения при заданных начальных условиях - на входе единичное ступенчатое воздействие
и , а :
=0
;=1
=2
;=3
.
Построим график переходного
процесса.
Рис. 4
Учитывая, что переходный процесс считается
завершённым, когда величина входит в 5%-ую зону установившегося значения,
получаем из графика:
) Время переходного процесса определяем, проведя
прямые на уровнях 0.95 и 1.05:
(с).
) Перерегулирование:
,
что удовлетворяет требуемому
условию.
) Статическая ошибка: .
6. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО МОДАЛЬНОГО
ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ (по методу Л.М. БОЙЧУКА)
Структурный синтез автоматических
систем состоит в определении схемы (структуры) регулятора, необходимого для
обработки объектом некоторого задания. Он позволяет улучшить качество системы -
уменьшить время переходного процесса, уменьшить статическую ошибку системы.
В нашем случае будем использовать
метод структурного синтеза систем управления Л.М. Бойчука.
Основная идея метода Бойчука состоит
в определении структуры закона управления и его параметров исходя из требуемого
желаемого уравнения движения (ТУД) синтезируемой системы.
Задача управления формулируется
следующим образом - пусть объект управления описывается следующим нелинейным
разностным уравнением:
(6.1)
Предполагается, что задана ТУД в
виде замкнутой системы управления
(6.2)
Для решения этой задачи предложена
простая процедура синтеза, состоящая из следующих 3-х операций:
. Из уравнения объекта (6.1)
выражаем высшую разность:
(6.3)
. Из ТУД (6.2) тоже выражается
высшая разность:
(6.4)
. Приравниваем выражения (6.3) и
(6.4):
(6.5)
Далее выражаем
(6.6)
Выражение (3.11) полученное в пункте
3, умноженное на :
(6.7)
Используя метод Бойчука, можно легко
решить задачу модального управления линейным объектом:
(6.8)
Задача модального управления объекта
(6.8) ставится следующим образом: необходимо определить закон линейной обратной
связи (ЛОС):
(6.9),
таким образом, чтобы
характеристическое уравнение замкнутой системы управления имело заданные корни:
, , …, (устойчивость) (6.10)
Корни (6.10) выбираются таким
образом, чтобы система уравнения имела желаемые переходные процессы (желаемое
качество управления).
Для получения модального регулятора
воспользуемся методом Бойчука для нахождения модального управления.
Т.к. , то имеем, что и .
Применяя равенство и , получаем,
что (6.11)
Составим уравнения будущего значения
переменных, найденных через текущее и предыдущее значения, которые получаются
из уравнения (6.11) обозначением (новое время). Тогда получим:
(6.12)
Обозначая,
(6.13)
(6.14)
Исходя из того, что данное
управление должно быть модальным, то:
(6.15)
где коэффициенты и выбираются
так, чтобы обеспечить требуемое качество переходного процесса. Пусть .
Тогда ТУД примет вид:
(6.16)
Приравнивая и выражая
U(n), получаем:
(6.17)
Введём ошибку e(n) и, используя уравнения
(6.13), (6.14), (6.17), найдём закон модального управления:
(6.18)
Рис. 5
Для обеспечения апериодичности ПП
(без перерегулирования) и повышенного быстродействия системы рекомендуется
выбрать коэффициент таким
образом, чтобы при заданных начальных условиях и , время данного переходного процесса
было в 1.5-2 раза меньше времени переходного процесса в п.5, получим: .
Тогда система (6.18) примет вид:
(6.19)
График переходного процесса x(n+1).
Рис. 6
Учитывая, что переходный процесс считается
завершённым, когда величина входит в 5%-ую зону установившегося значения,
получаем:
1) Время переходного процесса .
) Перерегулирование: .
) Статическая ошибка: .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе этой работы была синтезирована цифровая
система управления, выдающая единичный сигнал, используя П-регулятор, а также
применяя модальный регулятор, рассчитанный по методу Л.М. Бойчука.
Синтезируя ЦСУ с П-регулятором, получили
переходный процесс со следующими параметрами:
Перерегулирование .
Статическая ошибка .
Синтезируя ЦСУ с использованием
модального регулятора, был получен переходный процесс со следующими
показателями:
Время переходного процесса с.
Перерегулирование .
Статическая ошибка .
Как видно, применение модального
управления позволило нам в 1,97 раза уменьшить время переходного процесса, а
статическую ошибку и перерегулирование и вовсе свести к нулю. Таким образом,
применение модального регулирования позволило повысить качество переходного
процесса и улучшить синтезированную нами цифровую систему управления.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бессекерский
В.А., Изранцев В.В. САУ с микроЭВМ. - М.: Наука, 1987.
2. Иванов
В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных САУ. - М.: Физматгиз, 1983.
. Изерман
Р. Цифровые системы управления. - М.: Мир, 1984.
. Б.
Куо Теория и проектирование ЦСУ. - М.: Машиностроение, 1986.