Изменение сопротивления медной проволоки по длине
ВВЕДИНИЕ
Моделирование - процесс замещения объекта исследования некоторой его
моделью и проведение исследований на этой модели с целью получения необходимой
информации об исследуемом объекте.
Различают два типа моделирования: предметное и абстрактное.
При первом способе моделирования строят физическую модель,
соответствующим образом отражающую основные физический свойства и
характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь другую
физическую природу, по сравнению с реальным объектом.
При абстрактном моделировании используют множество видов математических
моделей, представляющие собой совокупность математических объектов и отношений
между ними, адекватно отражающих физические свойства создаваемого технического
объекта. В общем случае уравнение математической модели связывает физические
величины, характеризующие состояние объекта.
Модель - физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный
для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие
физические свойства и характеристики моделируемого объекта.
Процесс моделирования включает в себя несколько этапов:
· постановка задачи и определение свойств реального объекта,
подлежащего исследованию;
· констатация затруднительности или невозможности реального
объекта;
· выбор модели, хорошо описывающей основные свойства объекта, с
одной стороны, и легко поддающаяся исследованию, с другой;
· исследование модели в соответствии с поставленной целью;
· проверка адекватности объекта и модели; если соответствий
нет, то необходимо повторить п. а - г.
1. ИСХОДНЫЕ
ДАННЫЕ
Рассчитать изменение сопротивления медного проводника ТСМ50.
Идентифицировать тип дифференциального уравнения. По заданному
дифференциальному уравнению получить выражение для передаточной функции в
распределенных параметрах, выражение для выходной величины. Построить
статическую характеристику выходной величины, а также логарифмические
характеристики.
Исходные данные:
.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СРП
Первый
этап в развитии ТАУ связан с управляемыми системами состояния, которые
характеризуется поведением во времени t некоторого набора функций одной
переменой t конечного числа n:
(1)
Подобные
системы обычно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или
системами дифференциальных уравнений относительно g(t) и
называются системами с сосредоточенными параметрами. Модели большого числа объектов
управления могут быть с достаточной для практической точности точностью ССП. По
практике любой технический объект имеет вполне определенные геометрические
размеры, поэтому функция характеризующая ее состояние изменяется в пределах
пространственной области и следовательно зависит не только от времени, но и от
пространственных координат.
Такие
системы называются системы с распределенными параметрами. Состояние СРП
описывается дифференциальным уравнением с частыми производными, интегральными
уравнениями, а также гибридными. Функция состояния Q(x,t)
определенная на пространственной области Д удовлетворяет уравнению:
[Q(x,t)]=f(x,t) , t>0 (2)
где
Д- открытая часть области Д не содержащая границы;
L- некоторый
заданный оператор(функция в частных производных);
f(x,t)-
известная функция характеризующая внешнее воздействие на процесс.
Если
, то (2) - однородное уравнение,
, то (2)-
неоднородное уравнение.
Если
g(x,t)- векторная функция состояния , то (2)-представляет собой систему уравнений.
Для
получения единственного решения уравнения (2) необходимо дополнить начальными
условиями, которые описываются некоторым линейным оператором
N[Q(x,t)]=Q(x,t) , t=0 (3)
Полная
система уравнений должна содержать граничные условия от Q(x,t)
которые характеризуют взаимодействие Q(x,t) с
внешней средой должно выполнятся условие t>0 на
границе области Д.
(4)
где
Г- линейный оператор;
- внешние
воздействие, которое можно рассматривать как второй вход объекта наряду с .
Если
, то граничное условие однородное и наоборот.
Уравнения
математической физики являются основой для построения математической модели
элементов систем уравнений с распределенными параметрами. Для их практического
применения основной сложностью является выбор уравнения, который могло бы с
заданной точностью и степенью достоверности описать интересующий элемент
системой управления.
Самостоятельно
составлять и получать в частных производных является сложной задачей, поэтому
используют следующий алгоритм:
)
Выбирается система координат исходя из конструкции элемента СУ.
2) Выбирается размерностьr
пространственной области D
определения функции Q данной задачи.
3) Наивысший порядок производных m функции Q по
независимой временной производной t ограничивается двойной.
) Наивысший порядок производных n функции Q по
пространственным переменным ограничивается двойной.
) Выбирается дифференциальное уравнение группы ( r, m, n) в нужной
системе координат.
) Уравнение «офизичивается», то есть производится конструирование
размерностей. Это означает, что задается первичная размерность, либо входному
возмущению f (x, y, z, t ), либо выходному сигналу Q (x, y, z, t ). В зависимости
оттого, что интересует. Далее рассчитываются вторичные размерности исходя из
конкретного вида уравнения и зависящая от первичных размерностей.
) Находится выходной сигнал и производится его сопоставление с
ожидаемыми результатами.
) Если результат не устраивает, выбираем другое уравнение и
повторяем все процедуры заново.
Во многих случаях для описания физических процессов используют уравнений
с частыми производными до второго порядка включительно.
Так, например, процессы распространения тепловой энергии описывается
уравнением теплопроводности
,
где
и С - плотность и теплоемкость вещества,
Т-
температура,
k- коэффициент
теплопроводности,
Q - плотность
источника тепла.
Анализ
стационарных состояний, например, статических тепловых, электрических,
магнитных полях проводят, используя уравнение Пуассона
где
u(x, y, z) - функция, описывающая статическое поле,
f( x, y, z)-
распределенные источники.
Несмотря
на различие процессов, все они могут быть представлены как частные случаи
обобщенной формы дифференциального уравнения второго порядка.
Рассмотрим
уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными x и y:
(1)
где
A,B,C,D- некоторые функции, зависящие в общем случае от x, y,u.
На
основании того, что уравнение 1 можно поставить в квадратичную форму
по
природе различают следующие типы квазилинейных уравнений:
1) гиперболический, если В2-4АС>0- его аналогом является волновое
уравнение;
2) параболический, В2-4АС=0-его аналог уравнение теплопроводности;
. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАДАНИЕ ВХОДНОГО И
ВЫХОДНОГО ПАРАМЕТРОВ, НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Так как данное дифференциальное уравнение содержит первую производную по
времени, то оно относится к параболическому типу. Также это уравнение является
неоднородным.
Выходным параметром Q(x,y,t) в данной
системе является сопротивление медной проволоки.
Входным воздействием f(x,y,t) является поток
тепла от корпуса термопреобразователя сопротивления ТСМ50.
Рисунок 1- Вид входного воздействия
Граничные условия:
Зададим
размерность входного возмущения.
,
где
F- количество теплоты (теплой поток)
V-объем.
-
удельная теплоемкость меди.
-
плотность меди.
-коэффициент
теплопроводности,
где
-коэффициент теплопроводности меди.
Тогда
а2 =0.884 м2/с.
Пусть
l1 = 18 - длина проволоки.
Начальные
условия:
, что
соответствует сопротивлению ТСМ50 до начала действия теплового потока.
Граничные
условия:
, что
соответствует изменению сопротивления в начале проволоки.
- что
соответствует изменению сопротивления на конце проволоки.
С
учетом выше описанных условий стандартизирующая функция примет следующий вид:
.
РАСЧЕТ ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
тепловой энергия входной возмущение
Для
определения вида статической характеристики воспользуемся функцией Грина:
Для
этого первоначально произведем расчет выходной вылечены по формуле:
Ввиду
явной неразрешимости интеграла, в котором присутствует сумма ряда до
бесконечного члена, введем ограничение на количество рядов 1, т.е. возьмем
первый член ряда. Эта мера является вынужденной и ведет к большой погрешности.
Таким
образом, учитывая принятые меры, получим уравнение:
Используя
свойства d - функции для упрощения уравнения, построим
статическую характеристику выходной величины при фиксированных значениях
координаты и времени.
б
Рисунок
- 2 Статическая
характеристика выходного сигнала: а - при фиксированном значении
координаты; : б - при фиксированном значении
времени.
. РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Найдем изображение по Лапласу стандартизирующей функции.
Выделим
в явном виде компоненту входной координаты.
Выражение
для имеет следующий вид:
Интегральная
передаточная функция определяется выражением
Проведя
интегрирование и все преобразования, получим следующее выражение для
интегральной передаточной функции:
Для построения ЛАЧХ в полученной интегральной передаточной функции
заменим р на jω и затем воспользуемся формулой:
Выполним расчет и построение ЛАЧХ с помощью программы Matchcad 2000, задав произвольно необходимые
параметры:
Рисунок 3- ЛАЧХ.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работе был произведен расчет системы с распределенными
параметрами: изменение сопротивления медной проволоки по длине. В ходе расчетов
было выявлено ниже следующее.
Система устойчива, имеет высокие качественные характеристики и
достаточный коэффициент усиления. Данная система не требует дальнейшей
доработки. Это означает, что были правильно подобраны начальные, граничные
условия и дифференциальное уравнение для описания данной системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
. Бутковский
А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979.
-224с.
. Арсенин В.
Я. Математическая физика. - М. Наука, 1966.