Расчёт статически определимой стержневой системы при растяжении (сжатии). Плоский изгиб балки. Кручение вала

Расчёт статически определимой стержневой системы при растяжении (сжатии). Плоский изгиб балки. Кручение вала

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Департамент научно-технологической политики и образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт энергетики и управления энергетическими ресурсами АПК

Кафедра «Сопротивление материалов и теоретическая механика»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Выполнил ст. гр. ЭТ139-1 А.В. Винников

КРАСНОЯРСК, 2015

Оглавление

Задача №1. «Расчёт статически определимой стержневой системы при растяжении (сжатии)»

Задача №2. «Расчёт статически определимого ступенчатого бруса при растяжении (сжатии)»

Задача № 3. «Плоский изгиб балки»

Задача №4 .«Кручение вала»

Список литературы

Задача №1. «Расчёт статически определимой стержневой системы при растяжении (сжатии)»

Для статически определимой стержневой системы (см. Рисунок 1), загруженной силой Р необходимо:

. Определить продольную силу в каждом из стержней, поддерживающих жёсткий брус.

. Подобрать размеры поперечного сечения стержней.

Стержень 1 стальной, круглого поперечного сечения. Допускаемое напряжение [у₁]=160МПа.

Стержень 2 деревянный, квадратного поперечного сечения. Допускаемое напряжение [у_2ф]=8МПа.

Стержень 3 дюралюминиевый, трубчатого поперечного сечения. Допускаемое напряжение [у₃]=80МПа. Отношение наружного и внутреннего диаметра составляет D/d=1,2. Высоту жёсткого бруса считать малой по сравнению с размерами конструкции и в расчётах её не учитывать.

Расчетные данные: P=20 кН, a=1,3 м, b=1,6 м, с=0,7 м, б=45°.

Рисунок 1 - расчетная схема к задаче №1.

Решение:

Определим угол наклона в бруса 3 к плоскости, для этого используем теорему Пифагора.

Пусть х - длина гипотенузы прямоугольного треугольника, тогда имеем

х = ;

x = 2.642 м;

Составляем уравнения проекций всех действующих сил на оси x, y, а также уравнение моментов относительно точки O, получим следующие выражения:

решив данные уравнения, найдем значения продольные силы в стержнях, имеем:

Выполним проверку, для этого посчитаем сумму моментов относительно точки O, получим:

- т.к. сумма моментов практически равна нулю, значит силы вычислены, верно; отрицательное значение сил N₃ и N₂, говорит о том что направление векторов этих направлено в противоположную сторону.

Далее определяем размеры поперечных сечений из условий прочности при растяжении (сжатии):

,

где  - максимальное значение внутреннего продольного усилия в стержне;

- площадь поперечного сечения стержня;

- допускаемое нормальное напряжение.

Рассчитаем поперечное сечение первого стержня,  МПа, получим

мм²,

мм.

Рассчитаем поперечное сечение второго стержня,  МПа, получим

мм²,

мм.

Рассчитаем поперечное сечение третьего стержня,  МПа, получим

мм²,

мм;

мм.

Задача №2. «Расчёт статически определимого ступенчатого бруса при растяжении (сжатии)»

Для ступенчатого бруса с жёстко защемлённым концом (см. Рисунок 2) необходимо:

. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений .

. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса из условия прочности по нормальным напряжениям, используя следующие числовые значения:

Р₁ = 50 кН; q₁ = 30 кН/м; а = 1м; [у_р] = 160 МПа; [у_с] = 80 МПа; Е =1,8×10⁵ МПа; F₁ = F; F₂ = 3F; F₃ = 2F.

Рисунок 2 - расчетная схема к задаче №2.

Решение:

. В соответствии с расчётной схемой (рис. 2) аналитические зависимости для внутреннего продольного усилия N будут иметь следующий вид:

;

.

2. Эпюру нормальных напряжений s получим, разделив значения продольной силы N на соответствующие площади поперечных сечений бруса. Знак продольной силы N определяет и знак соответствующего нормального напряжения s.

,

подставляя 2 крайних значения х₂ получим:

.

Из условия прочности по нормальным наибольшим напряжениям растяжения и сжатия определим параметр F, а затем площади поперечных сечений каждого участка бруса.

Из условия прочности по растягивающим нормальным напряжениям находим:

, отсюда .

, отсюда

Из двух полученных значений выбираем наибольшее значение параметра F=250мм².

Определим площади поперечных сечений каждого участка:

F₁=F=250 мм²,

F₂=3F=750 мм²,

F₃=2F=500 мм².

. Зная площади поперечных сечений можно построить эпюру перемещений . Проще расчёт перемещений вести от заделки, т.е. за точку отсчёта брать сечение, перемещение которого равно 0.

По найденным значениям строим эпюру продольных усилий, нормальных напряжений у, перемещений .

Рисунок 3 - схема нагружения и эпюры продольных усилий N, нормальных напряжений у, перемещений Дl.

Задача №3. «Плоский изгиб балки»

Для балки (см. Рисунок 4) нагруженной изгибающими моментами и поперечными нагрузками необходимо:

. Определить опорные реакции.

. Составить аналитические выражения для внутренних силовых факторов (поперечных сил и изгибающих моментов) на всех участков балки.

. По полученным зависимостям построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры поперечных сечений балки для трёх вариантов:

  а) двутавр;

  б) круг;

  в) прямоугольник, с соотношением сторон h/в=2.

Расчеты произведем, используя следующие значения, и согласно расчетной схемы:

P₂=40 кН, q₂=50 кН/м, a=1 м, [у]=160 МПа.

Рисунок 4 - расчетная схема к задаче №4.

Решение:

. Определим опорные реакции R_A и R_B, реакции направим вверх. Т.к. на балку не действуют горизонтальные силы, на опорах A и B будут только вертикальные реакции. Составим уравнения

 т.е.

т.е.

Для проверки используем следующее уравнение:  т.е.  Реакции опор найдены верно, реакция R_A направлена вертикально вниз, а не вверх, как предполагалось в начале решения.

2.   Определим изгибающие моменты M и поперечные силы Q действующие на балку.

I силовой участок: при  имеем  при  получим, , при  получим,

II силовой участок: при  имеем  при , получим при получим

при  получим, , при  получим,

III силовой участок: при  имеем  так как реакция опоры в точке направлена вертикально вниз, получим

при  получим, ,  при  получим, 

Так как на участке II эпюра изгибающего момента имеет вид параболы, уточним ее вид; вершина параболы находится в точке, в которой на эпюре Q меняется знак, пусть это точка тогда  отсюда  м, 

3.   Построим эпюру поперечных сил и изгибающих моментов.

Рисунок 5 - эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Определим размеры поперечных сечений балки для трех вариантов: а) двутавр; б) круг; в) прямоугольник, с соотношением сторон h/в=2.

Опасным является сечение балки в точке A, т.к. в ней изгибающий момент имеет наибольшее значение по модулю из условий прочности имеем:

где  - момент сопротивления, см³.

согласно ГОСТ 8239-89 (действует взамен ГОСТ 8239-72) выбираем двутавр №24.

Для прямоугольного сечения:

при отношении  получим что  откуда

Для круглого поперечного сечения:

откуда

брус напряжение крутящий эпюра

Задача №4. «Кручение вала»

К стальному валу круглого поперечного сечения (см. Рисунок 6) приложены сосредоточенный момент М и распределённый момент m необходимо:

. Составить аналитические выражения для определения внутреннего крутящего;

. По полученным выражениям построить эпюру крутящего момента;

. Из условия прочности по касательным напряжениям определить диаметр поперечного сечения;

. Построить эпюру углов закручивания.

Рисунок 6 - схема к задаче №5.

Расчетные значения к задаче:  кНм/м,  м,  .

Решение:

1.   Определим внутренние усилия в стержне используя метод сечений.

I силовой участок: при  имеем

при  

при 

II силовой участок: при  имеем

при  

при 

III силовой участок: при  имеем

при  

при 

2.   По полученным значениям строим эпюру крутящих моментов.

Рисунок 7 - эпюра крутящих моментов M_k.

3.   Определяем сечение вала из условий прочности по касательным напряжениям:

,

- полярный момент сопротивления круглого сечения,

4.   Определяем углы закручивания ц:

,

.

.

,

мм.

,

мм.

,

мм.

Список литературы

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для студ-ов высш.техн.учеб.зав./ В.И.Феодосьев. - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 588 с.

2. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов /Г.С. Писаренко, В.А. Агарев, А.Л. Квитка, В.Г. Попков, Э. С. Уманский.- Киев: Высш. шк., 1986. - 776 с.

.   Александров А.В. и др. Сопротивление материалов: Учебник для ст-тов вузов/ А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; под ред. А.В. Александрова. - 2-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2000. - 559 с.

.   Чеканов И.А. Сопротивление материалов: учеб. пособие / Чеканов И.А. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2005,

.   Миролюбов И.Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. М., Высшая школа, 1974, - 392 с.

.   Беляев Н.М. Сопротивление материалов. - 15-е издание. - М, 1976. - 607с.