Расчет статически неопределимых стержневых систем. Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный Минерально-Сырьевой Университет "Горный"

Кафедра механики

Пояснительная записка к курсовой работе

Расчет статически неопределимых стержневых систем.

Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе

Вариант 2

Автор: студент гр. ЭХТ-11-1

Валиахметов В.У.

Проверил:

руководитель работы

профессор Гореликов В.Г.

Санкт-Петербург, 2013 г.

Содержание

сечение стержень кинематический балка

Часть 1. Расчет статически неопределимых стержневых систем

Часть 2. Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе

Задача 1. Балка круглого поперечного сечения

Задача 2. Балка прямоугольного поперечного сечения

Задача 3. Двутавровая балка

Задача 4. Швеллер двойной

Библиографический список

Часть 1. Расчет статически неопределимых стержневых систем

Задание

Рассчитать площади поперечного сечения стержней конструкции (F1 и F2), изображенной на рис. 1. Данные варианта приведены в табл. 1. Исходные данные по материалу стержней приведены в табл. 2.

Рис. 1. Расчетная схема

Таблица 1

Исходные данные

Таблица 2

Исходные данные по материалу стержней

Решение

1) Кинематический анализ конструкции

Неизвестные величины:

Определим статическую неопределимость системы: число неизвестных: N=4, число уравнений равновесия - 3.

=N-3=4-3=1,

значит система один раз статически неопределима.

) Расчет усилий от внешней нагрузки P ()

Рис. 2. Схема перемещений под нагрузкой

Составим уравнение моментов относительно точки A:

 (1)

В уравнении (1) 2 неизвестных величины, значит, задача один раз статически неопределима. Найдем дополнительное уравнение из схемы перемещений. Составим уравнение совместимости деформаций. Условия совместности деформаций: ~, значит можно составить пропорцию:

СС2 перпендикулярен О1С1; С1С2=О1С1-О1С=∆l1;перпендикулярен О2B2; B1B2=О2B-О2B1=∆l2;

; ; ;

;

; Dl1=k*D l2 - условие совместности деформаций

Так как деформации стержней 1 и 2 малы, то воспользуемся законом Гука для раскрытия условия совместимости:

;  (2)

Решив совместно уравнения (1) и (2), найдем усилия в стержнях от действия внешней нагрузки P:

Решим систему:

Усилия в стержнях: .

3) Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления

Первый стержень изготовлен с неточностью по длине δ1=0,001м. Тогда при сборке в стержнях появятся внутренние усилия  и . Расчетная схема при этом будет выглядеть так:

Рис. 3. Схема перемещений под неточностью изготовления

Уравнение равновесия имеет следующий вид:

Из схемы перемещений получим:

Рассматривая подобие треугольников аналогично предыдущему пункту получим:

,

значит условие совместимости деформации примет вид:

Выразим через закон Гука удлинения стержней, преобразовав условие совместимости деформации:

Решив совместно уравнения (3) и (4), найдем усилия в стержнях от действия внешней нагрузки P:

Так как значения напряжений получились положительными, значит направления действия сил выбраны правильно. Но поскольку первый и второй стержень сжимаются, окончательные значения напряжений будут выглядеть так:

4) Расчет температурных напряжений ( )

Схема перемещений под воздействием температуры:

Рис. 4. Схема перемещений под действием температуры

Аналогично предыдущему пункту получим:

Решим совместно систему уравнений (5) и (6):

5) Подбор сечений элементов систем

Условие прочности:

С данными таблицы рассчитаем:

 м² (7)

 м² (8)

База

 - не удовлетворяет неравенству (7)

База

- удовлетворяет неравенству (8)

Ответ:

м²

м²

Часть 2. Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и подбор сечений балок при изгибе

Задание

Построить эпюры перерезывающих сил, изгибающих моментов и подобрать сечения балок.

Задача 1. Балка круглого поперечного сечения

Исходные данные

Для данной задачи вычислять реакции не нужно. Если рассечь балку в любом сечении и рассматривать часть балки между сечением и свободным концом, то в выражения для Q и M войдут только приложенные к балке известные нагрузки.

На первом участке x1 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке изменяется линейно: , где и  Изгибающий момент на этом участке изменяется по параболе

,

где и .

Эпюра  пересекает ось Х, меняя знак с "-" на "+" слева на право, значит в этой точке будет минимум значения на эпюре М . Найдем значение координаты , при котором .

Найдем минимальное значение изгибающего момента

На втором участке x2 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке изменяется линейно:

,

где и

Изгибающий момент на этом участке изменяется по параболе

;

где и .

Подбор поперечного сечения по нормальным напряжениям

Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 240 кНм. Тогда необходимый момент сопротивления

Момент сопротивления круглого поперечного сечения относительно центральной оси равен

=

Задача 2. Балка прямоугольного поперечного сечения

Исходные данные

кН/м

кН

кНм

МПа

10

5

30

160

Для определения Q и M в любом сечении балки необходимо знать все внешние силы, действующие на балку, т.е. приложенные нагрузки и опорные реакции.

Определим неизвестные реакции опор, используя уравнения равновесия статики.

Для проверки составим уравнение статики, не использованное при расчете реакций, например, сумму проекций всех сил на ось Y:

На первом участке x1 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке изменяется линейно:

;

где и .

Изгибающий момент на этом участке изменяется по параболе:

;

где  и .

На втором участке x2 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке изменяется линейно:

,

где и .

Изгибающий момент на этом участке изменяется по параболе:

;

где и .

Эпюра  пересекает ось Х, меняя знак с "-" на "+" слева на право, значит в этой точке будет минимум значения на эпюре М . Найдем значение координаты , при котором .

Найдем минимальное значение изгибающего момента

На третьем участке x3 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке постоянна: . Изгибающий момент на этом участке изменяется линейно:

;

где и .

Подбор поперечного сечения по нормальным напряжениям

Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 65 кНм. Тогда необходимый момент сопротивления

Момент сопротивления прямоугольника относительно нейтральной оси равен

Задача 3. Двутавровая балка

Исходные данные

Для определения Q и M в любом сечении балки необходимо знать все внешние силы, действующие на балку, т.е. приложенные нагрузки и опорные реакции.

Определим неизвестные реакции опор, используя уравнения равновесия статики.

Для проверки составим уравнение статики, не использованное при расчете реакций, например, сумму проекций всех сил на ось Y:

На первом участке x1 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке изменяется линейно:

,

где и .

Изгибающий момент на этом участке изменяется по параболе:

Эпюра  пересекает ось Х, меняя знак с "+" на "-" слева на право, значит в этой точке будет максимум значения на эпюре М. Найдем значение координаты , при котором .

Найдем максимальное значение изгибающего момента

На втором участке x2 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке постоянна: . Изгибающий момент на этом участке изменяется линейно:

;

где и .

На третьем участке x3 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на третьем участке изменяется линейно:

;

где и. Изгибающий момент на этом участке изменяется по параболе:

;

где и .

Подбор поперечного сечения по нормальным напряжениям

Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 31,25 кНм. Тогда необходимый момент сопротивления

Исходя из таблицы стандартов ГОСТ 8239-89, выбираем двутавр № 20а ().

Задача 4. Швеллер двойной

Исходные данные

Для определения Q и M в любом сечении балки необходимо знать все внешние силы, действующие на балку, т.е. приложенные нагрузки и опорные реакции. Статика позволяет написать только 3 уравнения равновесия. Четвертое уравнение составим из условия, что шарнир С по свойству конструкции не может передать момента, так как не препятствует повороту одной части балки АС относительно другой СВ. Следовательно, сумма моментов относительно точки С сил, приложенных слева или справа от шарнира, равняется нулю.

;

Для проверки составим уравнение статики, не использованное при расчете реакций, например, сумму проекций всех сил на ось Y:

На первом участке x1 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке изменяется линейно:

;

где и .

Изгибающий момент на этом участке изменяется по параболе

;

где  и .

Эпюра  пересекает ось Х, меняя знак с "+" на "-" слева на право, значит в этой точке будет максимум значения на эпюре М. Найдем значение координаты , при котором .

Найдем максимальное значение изгибающего момента

На втором участке x2 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке постоянна:

.

Изгибающий момент на этом участке изменяется линейно:

;

где и .

На третьем участке x3 изменяется в пределах . Перерезывающая сила на этом участке постоянна:

.

Изгибающий момент на этом участке изменяется линейно:

;

где и .

Подбор поперечного сечения по нормальным напряжениям

Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 75 кНм. Тогда необходимый момент сопротивления

Исходя из таблицы стандартов ГОСТ 8240-89, выбираем швеллер №24 ().

Библиографический список

1. Яковлев А.А. Сопротивление материалов: методические указания к расчетно-графической работе / Национальный минерально-сырьевой университет "Горный". Сост.: А.А. Яковлев, В.Г. Гореликов. СПб, 2012. 51 с.