Практико-ориентированные задачи как средство реализации прикладной направленности курса математики при изучении квадратичной функции в курсе математики 9 класса

Практико-ориентированные задачи как средство реализации прикладной направленности курса математики при изучении квадратичной функции в курсе математики 9 класса

Содержание

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические и методические особенности изучения темы «Квадратичная функция»

.1 Сущность прикладной направленности школьного курса математики в современной системе обучения

.2 Использование практико-ориентированных задач как средства реализации прикладной направленности школьного курса математики

.3 Различные подходы к изучению квадратичной функции в школьном курсе математики

Глава 2. Использование свойств, квадратичной функции при решении практико-ориентированных задач в курсе математики 9 класса

.1 Задачи практической направленности, решаемые с помощью применения свойств, квадратичной функции

.2 Методические рекомендации по применению составленных задач на уроках математики 9 класса

Заключение

Список литературы

Введение

Функциональная линия школьного курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курса алгебры. Изучение функций в средней школе позволяет раскрыть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями школьного курса математики, осуществить меж предметные связи.

В школе учащиеся овладевают понятиями функции, ее графика и способов задания; изучают элементарные функции, знакомятся с такими свойствами функций, как область определения, область значения, монотонность, четность и нечетность и другие; учатся применять знания о функциях к изучению разнообразных процессов и явлений.

Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.

Объект исследования: процесс обучения математике учащихся 9 класса.

Предмет исследования: практико-ориентированные задачи при изучении квадратичной функции в курсе математики 9 класса, способствующие реализации прикладной направленности курса математики.

Гипотеза исследования: Обучение решению практико-ориентированных задач при изучении квадратичной функции в целях реализации прикладной направленности будет способствовать формированию:

-       умения решать практико-ориентированные задачи,

-       умения самостоятельно формулировать задачи профессионального и жизненного плана.

Целью курсовой работы является обзор приложений квадратичной функции к решению практико-ориентированных задач в процессе реализации прикладной направленности обучения математике и составление соответствующих методических рекомендаций.

Для достижения данной цели, были поставлены следующие задачи:

-    изучение психолого-педагогической, методической и учебной литературы;

-       определение функций и этапов решения практико-ориентированных задач как основного средства реализации прикладной направленности школьного курса математики

-       подбор и составление практико-ориентированных задач, решаемых с помощью использования свойств квадратичной функции;

-       разработка методических рекомендаций по использованию составленных задач;

-       составление плана экспериментальной работы.

Методы исследования:

изучение и анализ литературы по проблемам реализации прикладной направленности школьного курса математики;

беседа, анкетирование школьников, наблюдение за учебной деятельностью учащихся;

педагогический эксперимент;

качественный анализ результатов исследования.

Глава 1. Психолого-педагогические и методические особенности изучения темы «Квадратичная функция»

.1 Сущность прикладной направленности школьного курса математики в современной системе обучения

В настоящее время нет единого подхода к трактовке понятия “прикладной задачи”. Из известных определений понятия “прикладная задача”: задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами. (Н.А. Терешин и другие) На основе существующих в настоящее время разделов прикладной математики выделяются задачи на математическое моделирование, алгоритмизацию и программирование. Практика показывает, что школьники с интересом решают и воспринимают задачи практического содержания. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто теоретической задаче можно придать практическую форму. К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:

·              в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;

·              задачи должны соответствовать программе курса, вводится в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;

·              вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач должны “сближаться” с реальной действительностью;

·              способы и методы решения задач должны быть приближены к практическим приемам и методам;

·              прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность.

Прикладные задачи дают широкие возможности для реализации обще дидактических принципов в обучении математике в школе. Практика показывает, что прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.

Прикладная направленность школьного курса математики осуществляется с целью повышения качества математического образования учащихся, применения их математических знаний к решению задач повседневной практики и в дальнейшей профессиональной деятельности.

Нельзя обучить приложениям математики, не научив самой математике. Хорошее качество математической подготовки положительно влияет на развитие у учащихся способностей применять математику, на характер этих применений. С другой стороны усиление прикладной направленности обучения математике имеет положительное влияние на качество обучения самой математике.

Одним из моментов в модернизации современного математического образования является усиление прикладной направленности школьного курса математики, то есть осуществление связи его содержания и методики обучения с практикой.

Прикладная направленность обучения математике предполагает ориентацию его содержания и методов на тесную связь с жизнью, основами других наук, на подготовку школьников к использованию математических знаний в предстоящей профессиональной деятельности, на широкое применение в процессе обучения современной электронно-вычислительной техники. В трактовке Н.А. Терешина под прикладной направленностью к обучению математике понимается ориентация содержания и методов обучения на применение математики для решения задач, возникающих вне математики.

Прикладная направленность обучения математике включает в себя его политехническую направленность, в том числе реализацию связей с курсами физики, химии, географии, черчения, трудового обучения и т.д.; широкое использование электронно-вычислительной техники и обеспечение компьютерной грамотности; формирование математического стиля мышления и деятельности. Все приемы и средства обучения, которые учитель использует в ходе урока, должны быть сориентированы на реализацию прикладной направленности обучения во всех возможных проявлениях. Так, учителю следует как можно чаще акцентировать внимание учащихся на универсальность математических методов, на конкретных примерах показывать их прикладной характер. На уроках необходимо обеспечивать органическую связь изучаемого теоретического материала и задачного материала, так, чтобы школьники понимали его значимость, ближнюю и дальнюю перспективу его использования. По возможности, можно очертить область, в которой данный материал имеет фактическое применение. Хорошо известно, что одним из главных условий осуществления деятельности, достижения определенных целей в любой области является мотивация. В основе мотивации, как говорят психологи, лежат потребности и интересы личности. Чтобы добиться хороших успехов в учебе школьников, необходимо сделать обучение желанным процессом. Поэтому каждое новое понятие или положение должно, по возможности, первоначально появляться в задаче практического характера. Такая задача призвана, во-первых, убедить школьников в необходимости и практической полезности изучения нового материала; во-вторых, показать учащимся, что математические абстракции возникают из практики, из задач, поставленных реальной действительностью. Это один из путей усиления мировоззренческой направленности обучения математике.

Использование мета предметных связей является одним из условий реализации прикладной направленности обучения. Объект математики - весь мир, и его изучают все остальные науки. Мета предметные связи в школе - важная дидактическая проблема. Привлечение мета предметных связей повышает научность обучения, доступность (теория насыщается практическим содержанием), естественным образом проникают на урок элементы занимательности. Однако появляется и немало трудностей: учителю требуется освоить другие предметы, практическая задача обычно требует больше времени, чем теоретическая. И, конечно же, важную роль в реализации прикладной направленности обучения математике играют задачи. Практика показывает, что школьники с интересом решают и воспринимают задачи практического содержания. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто теоретической задаче можно придать практическую форму.

К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:

в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;

задачи должны соответствовать программе курса, вводится в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;

вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач должны “сближаться” с реальной действительностью;

способы и методы решения задач должны быть приближены к практическим приемам и методам;

прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность.

Прикладные задачи дают широкие возможности для реализации обще дидактических принципов в обучении математике в школе. Практика показывает, что прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.

Для нашего времени характерна интеграция наук, стремление получить как можно более точное представление об общей картине мира. Эти идеи находят отражение в концепции современного школьного образования. Но решить такую задачу в рамках одного учебного предмета невозможно. Поэтому я провожу интегрированные уроки. Интегрированные уроки математики с другими предметами обладают ярко выраженной прикладной направленностью и вызывают несомненный познавательный интерес учащихся. Опыт показывает, что при проведении таких уроков, как, например: «Действия с натуральными числами и системы счета» - 5 класс (математика и история); “Симметрия относительно прямой и «Класс насекомых» - 8 класс (математика и биология); «Логарифмы. Логарифмическая функция и ее приложения» - 11 класс и другие, развивается познавательная и исследовательская деятельность учащихся. Ведь работа учителя и ученика в этом случае доставляет радость, является продуктивной, а не приводит к обоюдной деградации личности. На своих уроках я стараюсь организовать учебный процесс в соответствии с естественной потребностью личности свободно мыслить, творить, само утверждаться. «Образование не дает ростков в душе, если оно не проникает до значительной глубины», - говорил древнегреческий философ Протагор из Абдеры (481 - 411г. до н.э.)

Традиционно проводится неделя математики, в течение которой на занятиях приобретаются практические умения и навыки, развивается фантазия.

Реализация прикладной направленности обучения математике тесно связана с реализацией современных подходов к обучению: личностно-ориентированного, деятельностного, исследовательского, компетентностного и др. В конечном счёте она направлена на развитие личности - главную цель школьного математического образования. Поэтому полноценное обеспечение прикладной направленности обучения математике является одним из главных средств решения проблем отечественного математического образования.

Мы считаю, что школьникам нужно больше решать прикладные задачи. Практика показывает, что школьники с большим интересом решают и воспринимают задачи практического содержания. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто теоретической задаче можно придать практическую форму. К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:

способы и методы решения задачи должны быть приближены к практическим приемам и методам;

задачи должны соответствовать программе курса, вводиться в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;

в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;

вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задачи должны «сближаться с реальной действительностью»;

прикладная часть задачи не должна покрывать ее математическую сущность.

1.2 Использование практико-ориентированных задач как средства реализации прикладной направленности школьного курса математики

прикладной математика квадратичный функция

В настоящее время существует необходимость создания системы профессионального обучения, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся с учетом реальных потребностей рынка. При создании такой системы математике, как фундаментальной общеобразовательной дисциплине, отводится особая роль в формировании профессиональной направленности обучения.

В отдельных случаях преподавание математики может рассматриваться как связующая дисциплина общеобразовательных и профессиональных знаний. Особенно это верно при формировании с помощью математики профессионального мышления. Такое профессиональное мышление можно условно обозначить как техническое мышление или социально-экономическое мышление в зависимости профессиональной направленности студентов.

Само формирование мышления может происходить как непосредственно через прикладной характер курса математики, так и опосредованно через обучение процессам математического моделирования и математизации произвольных ситуаций.

Практико-ориентированная технология обучения позволяет ученика из пассивного объекта педагогического воздействия превратить в активного субъекта учебно-познавательной деятельности. Основным средством реализации практико-ориентированной (прикладной) направленности курса математики специально подобранная система задач.

Дидактические цели практико-ориентированных заданий:

·        Закрепление и углубление теоретических знаний.

·        Овладение умениями и навыками по учебной дисциплине.

·        Формирование новых умений и навыков.

·        Изучение новых методов научных исследований.

·        Овладение общеучебными умениями и навыками.

·        Развитие инициативы и самостоятельности.

·        Виды практико-ориентированных заданий:

·        Аналитические (определение и анализ цели, выбор и анализ условий и способов решения, средств достижения цели);

·        Организационно-подготовительные (планирование и организация практико-ориентированной работы индивидуальной, групповой или коллективной по созданию объектов, анализ и исследование свойств объектов труда, формирование понятий и установление связей между ними);

Оценочно-коррекционные (формирование действий оценки и коррекции процесса и результатов деятельности, поиск способов совершенствования, анализ деятельности).

Исторически сложились две стороны назначения математического образования: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его деятельности, и духовная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразования мира математическим методом.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения - от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

В этом контексте становится актуальной организация практико-ориентированной деятельности учащихся на уроках математики.

Практико-ориентированная деятельность - это деятельность, направленная на осуществление связи школьного курса с практикой, что предполагает формирование у учащихся умений, необходимых для решения средствами математики практических задач. А так как в основе их решения лежит математическое моделирование, то для реализации прикладной направленности математики необходимо организовать обучение школьников элементам моделирования, так как до настоящего времени ни в программах, ни в учебниках практически не говорится о математических моделях, а учитель математики и учащиеся на каждом уроке оперируют с ними. Известно, что процесс математического моделирования состоит из трех этапов:

·        формализации, перевода предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, т.е. построение математической модели;

·        решение задачи внутри модели;

·        интерпретации полученного решения, т.е. перевода полученного результата (математического решения) на язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Следует отметить, что в школе в основном уделяется внимание работе над вторым этапом моделирования, в то время как формализация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми. Важным средством обучения всем указанным элементам моделирования являются сюжетные задачи. Сюжетной задачей называют задачу, описывающую реальную или приближенную к реальной ситуацию на неформально-математическом языке. С этой точки зрения любая задача, возникающая на практике, является сюжетной, однако часто она может не содержать достаточных для решения числовых данных. Такие задачи называют задачами-проблемами. Для построения их математической модели нужно найти достаточное количество числовых данных. Отметим, что школьные учебники почти не содержат задач-проблем. Учащимся, как правило, сразу предъявляется словесная модель задачи, поэтому представления о характере отражения математикой явлений, описываемых в сюжетных задачах, часто оказываются весьма примитивными. Это происходит вследствие того, что этап формализации при решении школьных сюжетных задач оказывается представлен слишком узко. Задача-проблема должна удовлетворять следующим требованиям:

·        вопрос должен быть поставлен в таком виде, в каком он обычно ставится на практике (решение должно иметь практическую значимость);

·        искомые и данные величины (если они заданы) должны быть реальными, взятыми из практики. Необходимо выделить три основные умения, которые необходимы для решения прикладной задачи:

·        выделение системы основных характеристик задачи;

·        нахождение системы существенных связей между характеристиками;

·        нахождение системы необходимых ограничений, накладываемых на характеристики. Методике решения прикладных задач уделено большое внимание в работах Ю.М.Колягина, В.В.Фирсова, Л.М.Фридмана др.

Задача учителя математики - показать, как используются математические понятия для понимания явлений и процессов, изучаемых науками в природе и обществе. Для этого необходимо:

а) определить темы курса математики, в которых наиболее характерно выступают мировоззренческие основы;

б) вычленить темы из курсов химии, физики и других дисциплин, наиболее пригодные для использования в них математического аппарата;

в) отобрать и выработать методы обучения, соответствующие поставленной цели;

г) наметить формы применения математических методов и понятий в других дисциплинах.

Для развития прикладных математических навыков при подборе упражнений необходимо формировать следующие умения и навыки:

·   целеустремленное составление и анализ математических моделей реальных задач и развитие соответствующей интуиции на доступном учащимся уровне;

·   отбор данных, нужных для решения задачи, прикидка их необходимой точности;

·   выбор заранее не заданного метода исследования;

·   составление задач, решение с помощью предварительного вывода аналитических зависимостей;

·   составление задач, требующих для своего решения знаний из различных разделов курса;

·   доведение решения задач до практически приемлемого результата;

·   применение справочников и таблиц;

·   прикидки, оценки порядков величин;

·   действия с различными величинами;

·   методы контроля правильности решения.

Однако следует иметь в виду, что задачи с практическим содержанием не могут составить единой самостоятельной дидактической системы задач, которая обеспечила бы закрепление всего теоретического материала, изучаемого на уроках математики.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенале приемов и методов человеческого мышления естественным образом включается индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач - основной учебной деятельности на уроках математики - развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в ее современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение математики способствует этическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. История развития математического знания дает возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.

Поэтому роль математической подготовки в социальной адаптации личности нельзя переоценить.

Социальной адаптации наших выпускников во многом способствует качественная базовая математическая подготовка. Без нее невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. В после школьной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И, наконец, все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

1.3 Различные подходы к изучению квадратичной функции в школьном курсе математики

Различают две основные математические трактовки понятия функции:

)        Генетическую

Основные понятия, используемые при генетической трактовке: переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Достоинство подхода: подчеркивая динамический характер понятия функциональной зависимости, выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы.

Недостатки : переменная всегда неявно предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается с числовыми функциями числового аргумента.

)        Логическую

Обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция - отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения - понятие отношения.

Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала(теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия.

Усвоение знаний, способствующее развитию мышления учащихся, предполагает целенаправленное управление процессом формирования понятий.

Л.С. Выготский, изучая закономерности умственного развития ребенка, пришел к заключению, что именно образование понятий является ключом к пониманию процессов психологического (в том числе интеллектуального) развития подростков.

Для современной практики обучения особый интерес представляет поиск ответа на вопрос о том, почему именно с образованием понятий Выготский Л.С. связывал коренную перестройку всей интеллектуальной деятельности подростка, а также существенные изменения содержания его сознания в целом.

Во-первых, благодаря понятиям ученик начинает понимать связи, отношения, взаимозависимости, скрытые за поверхностью видимых явлений, и, следовательно, постигать закономерности, управляющие действительностью.

Во-вторых, с помощью понятий происходит расширение среды сознания подростка. Иными словами, средой для мышления ученика становится весь мир в его многообразии и целостности.

В-третьих, происходит перестройка элементарных познавательных функций на основе их синтеза с функцией образования понятий: восприятие фактически превращается в наглядное мышление, запоминание начинает опираться на смысловые связи, внимание приобретает произвольный характер.

В-четвертых, понятия выступают в качестве средства адекватного и полного усвоения исторически сложившегося опыта человечества. Фактически, только через понятия индивидуум открыт культуре и, таким образом, только через понятия осуществляется наиболее эффективная социализация (очеловечивание) индивидуального интеллекта, что создает предпосылки для понимания других людей.

В-пятых, благодаря формированию понятийного мышления (владению понятиями) содержание мышления становится внутренним убеждением подростка, его интересом, желанием и намерением. Переплетаясь со сложными внутренними моментами личности, содержание мышления становится “достоянием личности, начинает участвовать в общей системе движения этой личности”.

В-шестых, понятийный опыт - это основа самопознания, ибо, по словам Выготского, “… только с образованием понятий наступает интенсивное развитие самовосприятия, самонаблюдения, интенсивное познание внутренней действительности, мира собственных переживаний”.

Таким образом, мышление в понятиях обеспечивает возможность нового типа понимания объективного мира, возможность понимания других людей и, наконец, возможность понимания самого себя.

Традиционно понятийное мышление определяется как особый вид познавательной активности, обеспечивающей обобщенное отражение существенных характеристик действительности в ходе ее анализа, синтеза, обобщения.

Генетический анализ процесса формирования понятий (П.Я.Гальперин) показывает, что отличительной чертой понятийной познавательной деятельности является непрерывное взаимодействие словесно-символических форм выражения содержания понятий и соответствующих им образных структур.

Словесно-речевые процессы выступают в качестве органического компонента понятийного отражения действительности. Мышление в понятиях невозможно вне речевого мышления. Слово при этом принимает самое непосредственное участие в вычленении различных компонентов отражаемых объектов, их дифференцировке и фиксации в сознании. Словесные знания упорядочивают и систематизируют образные представления учащихся.

Отмечая решающую роль слова в становлении мыслительной деятельности, нельзя забывать о том, что формирование мышления не сводится лишь к овладению языком. Превращение слова в регулятор процесса усвоения информации предполагает определенный уровень организации чувственно-практического опыта учащегося, при котором предметные действия и зрительные впечатления должны быть представлены в наглядно-обобщенной форме, обеспечивающей фиксацию существенных черт объекта.

Для понятийного мышления характерно появление особого рода представлений, а именно образных моделей и схем, требующих более высоких уровней обобщения.

К такому выводу приходит М.А. Холодная. Она показывает, что в работу понятийной мысли непосредственно включены образные системы разной степени обобщенности, позволяющие воспроизводить в наглядной форме различные стороны объекта.

Образы обеспечивают такую характеристику понятия, как его предметная отнесенность. Они предлагают отличать любой предмет данного класса от всех предметов, не принадлежащих к этому классу. Образ выступает как одна из форм упорядочивания и систематизации информации. Образы делают мыслительный процесс более ярким, гибким, повышают его эмоциональную насыщенность.

Таким образом, в структуре мышления переработка информации идет в системе двух “языков”: словесно-речевого и образного. Следовательно, процессы взаимодействия словесно-речевых и образных компонентов составляют неотъемлемую черту работы понятийного мышления как частного вида мыслительной активности. Специфика образного “языка” понятийного мышления заключается в высокой степени его динамичности (активное преобразование образа, связанное с вычленением отдельных его элементов, перестройкой исходного образа в соответствии с требованиями задачи), системности (соотнесенность данного образа с рядом других образов), обобщенности (передача в образных формах общих, существенных характеристик объекта).

Дальнейший анализ психологических особенностей понятийного мышления показывает, что знания на понятийном уровне - это всегда знание некоторой совокупности признаков объекта.

В этом плане понятийный уровень осмысления фактов отличается от уровня представлений тем, что в последнем признаки представлены в органическом объеме, слитно и недифференцированно, отсутствует осознание связи между ними. Причем эти процессы невозможны без соответствующей словесной интерпретации признаков и образного их представления, так как признаки дифференцируются средствами языка и закрепляются за счет активизации образов разной степени обобщенности.

Далее, понятийное мышление характеризует такой уровень понимания действительности, при котором тот или иной факт описывается в органическом единстве его частных и общих характеристик.

Соотнесенность в понятии частных и общих признаков позволяет оценить степень их существенности применительно к содержанию решаемой задачи. Именно умение вычленить существенные характеристики отображаемых объектов является критерием сформированности понятийного мышления (С.Л. Рубинштейн).

Понятийное обобщение имеет в своей основе целый ряд мыслительных процедур: дифференцировку некоторого множества признаков объекта, оценку каждого из них по степени обобщенности, определение места того или иного признака в системе других признаков, выявление степени существенности признаков в соответствии с характером поставленной задачи.

Важно заметить, что, по мнению Л.С. Выготского, центральным вопросом для всей проблемы является вопрос о психологической основе такого важного свойства понятийного мышления, как системность.

Особенности усвоения каждого отдельного понятия определяются характером его взаимосвязей с другими понятиями, и только в системе понятийных взаимодействий отдельное понятие приобретает качество осознанности и произвольности.

В свою очередь, возможность включения понятия в систему отношений общности с другими понятиями зависит от того, насколько организованы признаки в содержании отдельного понятия. В исследованиях М.А. Холодной проведен анализ процесса установления родо-видовых связей в системе понятий. По полученным данным, этот процесс включает целый ряд этапов, которые должна пройти мысль, прежде чем она сумеет осуществить переход от данного конкретного видового понятия к его родовому обобщению. В частности, чем более разнообразно, ярко развернут в сознании “видовой пример”, тем вероятнее и успешнее произойдет установление искомой родовидовой связи. Родовые понятия, в свою очередь, воздействует на формирование и применение видовых понятий: направляют процесс словесно-образного перевода, определяют особенности анализа соответствующего объекта или явления, задают направление поиска понятий, связанных с исходным понятием.

Таким образом, необходимо одновременно вести работу как по упорядочению в сознании учащихся признаков отдельного понятия, так и по установлению связей последнего с системой понятий.

Последующий анализ особенностей организации понятийного мышления показывает, что оно представляет собой сложную форму умственной деятельности, связанную с необходимостью выполнения различных преобразований объектов, явлений, подводимых под понятие. В этом плане владение понятием предполагает выполнение ряда мыслительных операций.

Действительно, владение понятием о данном объекте предполагает умение мысленно воспроизводить, строить этот объект, вычленять его отдельные свойства, детали, стороны, качества, знать его происхождение.

Л.С. Рубинштейн подчеркивает, что операции на уровне понятийного мышления приобретают свои специфические черты. Так, анализ приобретает форму абстракции, предполагающей вычленение существенных свойств объекта и их преобразование. Синтез выступает как мыслительная процедура, связанная с восстановлением конкретного как проанализированного целого, в соотношении его многообразных проявлений. Понятийное обобщение характеризуется процессами обобщения по существенным признакам. По мере того, как в процессе мышления складываются определенные операции - анализа, синтеза, обобщения, - по мере того, как они генерализируются и закрепляются, у учащихся формируется мышление как способность, складывается интеллект.

Кроме того, при формировании понятий большое значение имеет умение учащихся производить различные операции с признаками понятия при подведении предмета под данное понятие.

Безусловно, в образовании понятий участвуют все мыслительные операции. Поэтому можно сказать, что по мере того, как у учащегося складывается определенная система операций, у него происходит усвоение научных понятий.

Говоря о важнейших особенностях понятийного мышления, нельзя обойти вопрос о той роли, которую играет в функционировании этой формы познавательной активности предметно-практический опыт учащихся.

Активность, динамичность образного “языка” мышления учащихся в значительной степени зависит от особенностей организации опыта предметно - практического взаимодействия ребенка с действительностью.

Регуляция предметного опыта через систему словесного знания приводит к тому, что информация об отражаемом объекте предстает для учащегося в наглядно - обобщенной форме, которая структурно фиксирует наиболее существенные “родовые” характеристики отображаемых объектов или явлений. Другими словами, чем активнее и целенаправленнее преобразовывается учащимися содержание предметного опыта, тем эффективнее идет формирование процессов словесно-образного перевода и, следовательно, понятийного мышления в целом.

При введении новых понятий следует пользоваться действительными пространственными формами и количественными отношениями - вещами, их моделями, изображениями, надо использовать с этой целью и опыт учащихся, приобретенный в обыденной жизни.

Итак, общий обзор психологических и педагогических исследований показывает, что понятийное мышление выступает как сложная форма умственной деятельности, особенность организации которой необходимо связана с актуализацией целой системы тесно взаимосвязанных видов психического отражения действительности.

Так, понятийная познавательная деятельность предполагает:

·   подключение предметного (житейского) опыта детей;

·   наличие взаимно-обратимого перевода содержания понятий со словесно-символического языка на язык образов разной степени обобщенности;

·   осознание и дифференциацию признаков, характеризующих объект или явление; соотнесение всех выделенных признаков по степени их обобщенности и существенности в соответствии с требованиями задачи;

·   установление системы связей каждого отдельного понятия с рядом других понятий;

·   сформированность основных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, обобщения), характеризующихся свойством обратимости;

·   различные формы “участия” в процессах становления и функционирования понятий, опыта предметно-практического взаимодействия учащихся с окружающей средой.

Квадратичная функция относится к числу основных понятий школьного курса математики. Поэтому учебная программа школы предполагает достаточно полное и всестороннее изучение этого понятия. Данный учебный материал имеет широкие связи с другими разделами алгебры, а также с рядом учебных предметов. Такое место указанного раздела школьного курса математики требует, чтобы его основные понятия были усвоены полноценно.

Большое количество допускаемых учащимися ошибок и причин их возникновения дает основание предполагать, что имеются определенные пробелы в знаниях учащихся по данному учебному материалу.

Но, с другой стороны, в преподавании этого раздела накоплен большой опыт, который необходимо проанализировать с точки зрения отражения в нем современных требований к процессу преподавания. А также выяснить, насколько учитывается и какими средствами реализуются те условия, которые способствуют формированию и полноценному усвоению понятия данной темы.

Одной из задач методики преподавания математики является сохранение лучших традиций преподавания. В этой связи важно проследить, каким образом осуществляется преемственность опыта изложения темы "Квадратичная функция".

Основной целью данной главы является анализ и обобщение опыта преподавания темы “Квадратичная функция” с точки зрения современных требований к организации процесса обучения и задач формирования основных понятий.

Важно отметить, что формирование понятий связано с выработкой у учащихся ряда интеллектуальных и практических умений.

Так, реализация обратимого перевода словесно-символических форм выражения содержания понятий на язык образов предполагает выработку целого ряда умений: читать и анализировать графики, пространственно представлять словесно-символическую информацию, словесно описывать схематически представленные планы действий, оперировать пространственными образами, перестраивать образы в соответствии с приемами расчленяющей абстракции, составлять задачи на основе предъявленного графика.

Таким образом, эффективность процессов словесно-образного перевода предполагает наличие достаточно развитой речи и пространственного представления учащихся.

Активизации мыслительных операций способствует формирование умений: устанавливать аналогии между объектами, анализировать, формулировать задачу, обратную данной, критиковать, ставить вопросы, планировать и контролировать стратегию своей деятельности.

Включение данного понятия в систему других понятий возможно, если учащиеся умеют устанавливать родо-видовые связи между различными понятиями, продифферецировать понятия, классифицировать их, составлять схемы связей изучаемых понятий и объяснять их взаимосвязи, включать данное понятие в систему межпредметных связей.

Задача установления связи понятия с содержанием предметно-практического опыта решается в результате выработки у детей следующих умений: выполнять соответствующие содержанию усваиваемого понятия различные предметные действия, осознавать некоторую предметную область возникновения и применения понятия.

Одним из средств формирования каждого из перечисленных выше умений может служить специально подобранная система заданий. Логическая структура каждого из этих заданий должна непосредственно способствовать выработке того или иного умения, а в своей совокупности данные задания должны обеспечить возможность целостной организации понятийной познавательной деятельности учащихся по усвоению рассматриваемого понятия.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции.

Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики

В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

)        выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией;

)        установлении их взаимодействия при развёртывании учебного материала.

Выделена система компонентов и установлена связь между ними. В систему входят такие компоненты:

)        представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и математике;

)        представление о функции как о соответствии;

)        построение и использование графиков функций, использование графиков функций;

)        вычисление значений функций, определённых различными способами;

Введение понятия ведётся по трём основным направлениям:

·        упорядочение основных представлений о функции; развёртывание системы понятий, характерных для функциональных линий(способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значения, возрастания и т. д. на основе метода координат);

·        глубокое изучение отдельных функций и их классов;

·        расширения области приложения алгебры за счёт включения в нею идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.

Первое направление появляется в алгебре ранее остальных. Основной акцент - усвоение учащимися однозначности соответствия аргумента и определяемого по нему значения функции. Из разнообразных способов задания функции чаще всего используется способ задания функции формулой остальные способы задания - подчинённые. Сопоставление различных способов задания вызвано практической потребностью и важно для усвоения всего многообразия понятия функции.

Анализ учебного материала по теме «Квадратичная функция» в учебниках по алгебре 7-9 классов

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

В данном учебнике изучение темы «Квадратичная функция» начинается с 3 главы «Степень с натуральным показателем». Перед этим ученики знакомятся с понятиями функции и ее графика, рассматривается линейная функция и прямая пропорциональность.

Функция  рассматривается на основе зависимости площади квадрата от его стороны. Далее авторы предлагают построить график функции  по точкам. Для чего составляется таблица значений функции.

Далее описываются некоторые свойства рассматриваемой функции:

График функции проходит через начало координат; все точки графика функции, кроме (0; 0), расположенных выше оси х; точки графика, имеющие противоположные координаты, симметричны относительно оси у.

В заключении данного параграфа дается система упражнений на нахождение по графику функции значения х по заданному значению у и наоборот, на нахождение значения y по заданному значению х.

Также в 7 классе авторы учебника рассматривают абсолютную погрешность, взяв для рассмотрения график функции . По графику определяются приближенные значения функции при заданных значениях х. Затем значения х подставляются в формулу. Получается второй результат. После этого высчитывается погрешность.

В 8 классе работа с квадратичной функцией начинается во второй главе «Квадратные корни».

Учащимся даются понятия: квадратный корень, арифметический квадратный корень, вводится обозначение арифметического квадратного корня и понятие подкоренного выражения.

Авторы подводят учащихся к решению уравнения , где a - произвольное число. Говорится, что если , то уравнение  не имеет корней, а вот если , то уравнение  имеет два корня. Проверяется наличие корней графическим методом, используя квадратичную функцию.

Далее изучается функция  и ее график. Сначала рассматривается задача: зависимость площади квадрата от его стороны. Выводится формула

Построение осуществляется по точкам (точно также как и функция ). Говорится, что графики функций  (при ) и  симметричны относительно прямой y = x.

В 9 классе данный коллектив авторов рассматривает квадратичную функцию в общем виде. Сначала изучается частный случай квадратичной функции - функция . При  получаем функцию , при  - . Составляется таблица значений функции  и строится ее график. Затем делается вывод, что при любом  значение функции  больше соответствующего значения функции  в 2 раза. График функции  можно получить из параболы  растяжением от оси х в 2 раза.

Аналогично рассматривается функция . И отсюда следует вывод, что график функции  можно получить из параболы  сжатием к оси х в 2 раза.

Затем авторы акцентируют свое внимание на то, что график функции  можно получить из параболы  растяжением от оси х в а раз, если , и сжатием к оси х в  раз, если .

Далее аналогично строится график функции  и сравнивается с графиком функции . График функции  может быть получен из графика функции  с помощью симметрии относительно оси х.

Далее авторы, подводя итог, говорят, что графики функций  и  (при ) симметричны относительно оси х.

В конце этого параграфа говорится, что построение графика, симметричного данному относительно оси х, растяжение графика от оси х или сжатие к оси х - различные виды преобразования графиков функций. Преобразования графиков, рассмотренные для функции , применимы к любой функции.

Затем авторы рассматривают графики функций вида  и . В качестве примеров берутся другие частные случаи квадратичной функции.

Далее делается вывод: график функции  является параболой, которую можно получить из графика функции  с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если , или на -n единиц вниз, если ; график функции  является параболой, которую можно получить из графика функции  с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если , или на -m единиц влево, если .

Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции . Рассматривается очередной пример () и после этого делается вывод, что график функции  является параболой, которую можно получить из графика функции  с помощью двух параллельных переносов. Замечается, что производить параллельные переносы можно в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси х, а затем вдоль оси y или наоборот.

Далее в учебнике рассматривается построение графика квадратичной функции в общем виде. Вводится квадратичная функция  и из трехчлена  выделяют квадрат двучлена. После некоторых преобразований авторы получают . Получается формула вида, где , . Авторы акцентируют внимание на том, что график функции  есть парабола, которую можно получить из графика функции  с помощью двух параллельных переносов - сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин

В 7 классе рассматривается прямоугольная система координат, понятие функции, линейная функция и ее график.

В данном учебнике изучение квадратичной функции начинается в 5 главе после изучения квадратных корней и квадратных уравнений.

Сначала рассматриваются примеры из разных областей науки и техники, где встречаются квадратичные функции.

После этого вводится определение квадратичной функции, и рассматриваются примеры квадратичных функций и задачи.

Найти значение функции  при

При каких значениях х квадратичная функция  принимает значение, равное 7;

Найти нули функции .

Авторы предлагают решать такие задачи аналитически: подстановкой заданного значения в формулу.

Только после этого начинается рассмотрение непосредственно квадратичной функции, ее некоторых свойств и графика.

Функция  вводится как частный случай функции  при а=1, b=c=0. Для построения графика этой функции составляется таблица ее значений, строятся указанные в таблице точки, соединяют плавной линией. Кривая, являющаяся графиком функции , называется параболой.

После этого рассматривается функция .

Приводится пример построения графика функции , зная график функции . Для построения составляется таблица значений функции . Говорят, что график функции получается растяжением графика функции  от оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Аналогичным образом, на примере, авторы демонстрируют сжатие графика. График функции  получается сжатием графика функции  к оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Затем рассматриваются функции  и . График функции  можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции .

Далее авторами рассматривается функция . В начале параграфа рассматривается задача: построить график функции  и сравнить его с графиком функции .

Как и для функции  сначала составляется таблица значений функции . Найденные точки отмечаются на координатной прямой и соединяются плавной линией. Первая часть задачи решена. Далее сравниваются функции  и . Сначала преобразуется формула , используя метод выделения полного квадрата. Затем сравниваются графики частями. Сначала - функции  и . Отсюда делается вывод, что графиком функции  является парабола, полученная из параболы  сдвигом (параллельным переносом) вправо на единицу.

После этого сравниваются функции  и . Получается, что графиком функции  является парабола, полученная сдвигом параболы  вверх на две единицы.

Из всего этого следует, что графиком функции  является парабола, получаемая сдвигом параболы  на единицу вправо и на две единицы вверх.

Далее авторы обобщают ранее объясненное.

Задачи, предлагаемые для закрепления данного материала выглядят так:

·        . С помощью шаблона параболы  построить график функции .

·        . Записать уравнение параболы, полученной из параболы  сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо.

Также в 8 классе решаются квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции. Их решение сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. В конце дается подробный алгоритм решения неравенств графическим методом.

В качестве дополнительного более сложного материала производится исследование квадратичной функции на основе теорем:

·        . Если , то при всех действительных значениях х знак квадратичной функции  совпадает со знаком числа .

·        . Если , то при всех действительных значения х, кроме , знак квадратичной функции  совпадает со знаком числа а; при  значение квадратичной функции равно нулю.

·        . Если , то знак квадратичной функции  совпадает со знаком числа для всех х, лежащих вне отрезка , т. е. при  и при , где - нули функции, знак квадратичной функции противоположен знаку числа а при .

Квадратичная функция не рассматривается в 9 классе.

С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

В 7 классе данный коллектив авторов функцию не рассматривает.

В 8 классе авторы вводят понятие функции, графика функции. После этого рассматриваются линейная, квадратичная функции и обратная пропорциональность.

При изучении квадратичной функции сначала рассматриваются ее свойства.

После формулировки каждого свойства даются пояснения.

Затем рассматривается график функции  и определяются ранее обозначенные свойства функции . Также дается определение параболы.

Далее рассматривается понятие квадратного корня, опираясь на график функции .

После этого вводится понятие арифметического квадратного корня из данного неотрицательного числа. Его определение производится по графику функции .

Далее авторы рассматривают функцию . Сравниваются две функции  и  и делается вывод, что график функции  получается из графика функции  растяжением последнего в 2 раза вдоль оси Оу. Рассуждая аналогично, можно показать, что график функции , если , получается из графика функции  растяжением последнего в а раз вдоль оси у; если же , то сжатием последнего в  раз.

Далее рассматривается функция . При этом изучаются 2 функции: сначала , а затем .

Затем авторы рассматривают график функции . Приведена теорема: Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке , полученная параллельным переносом параболы , где . Эта теорема приводится с доказательством. На закрепление данного материала учащимся предлагаются задания на построение графика квадратичной функции.

В 9 классе квадратичная функция данным коллективом авторов не рассматривается.

А.Г. Мордкович и др.

В 7 классе квадратичная функция изучается после линейной функции. Поэтому перед ее изучением автор приводит веские аргументы для чего «она нужна». Затем учащимся предлагается подставить в формулу  целые числа (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3). Из полученных значений составляется таблица. На координатной плоскости располагают получившиеся точки и соединяют их линией, которая называется параболой.

После этого описываются геометрические свойства параболы (ось симметрии, ветви параболы, вершина параболы) и свойства функции .

Затем рассматриваются примеры применения свойств функции (найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [1, 3]).

В качестве совета, автор предлагает учащимся вырезать из бумаги шаблон параболы.

Система упражнений направлена на построение графика квадратичной функции и определению по нему ее свойств.

В 8 классе продолжается рассмотрение квадратичной функции. В 7 классе изучалась функция . Теперь же учащимся предлагается сначала изучить функцию . Для этого рассматриваются 2 функции  и . Составляется таблица значений функций, и строятся графики. Затем делается вывод: от величины коэффициента k зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как еще говорят, «степень крутизны» параболы.

После этого рассматривается функция  и сравнивается с функцией . После этого рассмотрения делается общий вывод: График функции  симметричен графику функции  относительно оси абсцисс.

Затем рассматривается графики функции ,  и  и алгоритмы их построения.

Далее говорится, что график любой квадратичной функции  можно получить из параболы  параллельным переносом.

Для доказательства этого факта используется метод выделения полного квадрата.

В следующей главе рассматривается функция . Говорится, что ранее было получено, что график функции  получается из графика функции  с помощью преобразования симметрии относительно оси х. Воспользовавшись этим, строится график функции  и отражается симметрично оси х. Это и будет график функции .

Система упражнений состоит из заданий на определение свойств квадратичной функции по ее графику. Также большое внимание уделено преобразованиям графика функций. Имеется достаточно много систем уравнений для графического их решения. Делается акцент на решение задач с параметрами.

В данном учебнике квадратичная функция в 9 классе не рассматривается.

К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев

Изучение квадратичной функции в данном учебнике начинается только в 8 классе и ведется на двух языках - алгебраическом и геометрическом.

На геометрическом языке строится график функции . Говорится также, что построить график «целиком» невозможно, и поэтому строят только такую его часть, которая отражает важнейшие его свойства.

Строится таблица значений функции. Отмечаются полученные точки и соединяются плавной линией. Получившийся график представляет собой бесконечную непрерывную кривую, которая называется параболой.

Затем авторы приводят сравнительную таблицу свойств квадратичной функции на алгебраическом и геометрическом языках.

Далее на основе графика функции  рассматривается уравнение .

Также вводится понятие арифметического квадратного корня из числа а и его обозначение.

Система упражнений дана на построение графика функции  и отыскание с помощью него точек, которые принадлежат и не принадлежат графику.

В 9 классе данный коллектив авторов функциям выделяет 2 главы.

Вначале рассказывается про квадратичную функцию . Напоминаются основные ранее изученные свойства функции , говорится про ось симметрии, и на этой основе рассматриваются различные квадратичные функции такие, как ,  и . После каждого из этих примеров делаются выводы о преобразованиях, применимых для графика функции , которые приводят к получению графика заданной функции.

Упражнения, данные после этого параграфа включают в себя:

)  2)  3)  4)

Изготовьте из картона или плотной бумаги шаблоны парабол:

, , ,

Также имеются контрольные вопросы:

Как получить график функции из графика функции ?

Далее рассматривается функция . Выделяют полный квадрат из выражения  и получают функцию , где p и q - некоторые числа.

Приводятся примеры, рассматривается как изменяется график в зависимости от чисел p и q и затем делается вывод, что график функции  получается из графика функции  сдвигом параллельно оси ординат на q единиц вверх при и на |q| единиц вниз при . Далее говорится, что тем же приемом - сдвигом вдоль осей координат графика произвольной функции  можно получить графики функций  и . Именно,

График функции  получается из графика функции  сдвигом параллельно оси абсцисс на p единиц влево при и на -p единиц вправо при .

График функции  получается из графика функции  сдвигом параллельно оси абсцисс на q единиц вверх при  и на -q единиц вниз при .

Изучение квадратичной функции в проанализированных учебниках начинается в 7 (Ю.Н. Макарычев и др., А.Г. Мордкович и др.) и 8 (С.М. Никольский и др., Ш.А. Алимов и др., Г.В. Дорофеев и др.) классах. В учебниках А.Г. Мордковича и др., Ю.Н. Макарычева и др., Ш.А. Алимова и др. изложение материала ведется доступным языком. Прослеживается нить «от простого к сложному». В остальных же учебниках теоретический материал изложен на более научном уровне. Во всех учебниках рассматриваются приложения квадратичной функции (решение уравнений, неравенств, систем уравнений, построение графиков функций, задачи с параметрами). Отличие лишь в том, какое внимание уделяется тому или иному разделу. Задачи с параметрами наиболее ярко отражены только в учебнике А.Г. Мордковича и др.

В учебнике Г.В. Дорофеева и др. изучение квадратичной функции ведется в 8 и 9 классах на двух языках - алгебраическом и геометрическом. Уделяется большое внимание преобразованиям графиков функций. Вся теория изложена «строго по делу», без отступлений.

В учебниках А.Г. Мордковича и др. функциональная линия является ведущей. Автор выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций, которое состоит из шести направлений:

·        графическое решение уравнений;

·        отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;

·        преобразование графиков;

·        функциональная символика;

·        кусочная функция;

·        чтение графика.

Это шесть элементов, с помощью которых, функция становится привлекательной, понятной и привычной [22].

В учебнике Ш.А. Алимова и др. квадратичной функции и ее приложениям посвящен практически весь учебник 8 класса. Блоком рассматривается квадратичная функция и ее свойства, и затем квадратные неравенства и задачи с параметрами, решаемые с помощью построения графика квадратичной функции.

В учебнике Ю.Н. Макарычева определение квадратичной функции дается в 9 классе предлагается учащимся сразу, затем рассматриваются частные случаи квадратичной функции и после непосредственно общий вид квадратичной функции. Только после этого авторы обращают внимание на решение квадратных уравнений и систем уравнений (в частности, графический метод), опираясь на свойства квадратичной функции. Задачам с параметрами уделяется крайне мало внимания.

Рассмотрим, сколько практико-ориентированных задач имеются в следующих учебниках 9 класса:

Из рассмотренных учебников мы можем убедиться, что задач практико-ориентированных очень мало и в основном они рассматриваются как примеры.

Глава 2. Использование свойств, квадратичной функции при решении практико-ориентированных задач в курсе математики 9 класса

2.1 Задачи практической направленности, решаемые с помощью применения свойств, квадратичной функции

. Задачи с использованием физических формул

.Задача по кинематике. Движение тела вертикально вверх под действием силы тяжести Высоту над землей подброшенного вертикально вверх мяча вычисляют по формуле h(t) = -4t² + 22t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 м?

Рекомендации: решение квадратного неравенства. Анализируя условие, вы заметили, что для ответа на вопрос необходимо найти промежуток времени, когда камень находился на высоте не менее 10 м, то есть те значения t, при которых h(t) ≥ 10.

Решая полученное неравенство -4t² + 22t ≥ 10, получаем t ∈ [0,5; 5].

Длина полученного промежутка равна 5 - 0,5 = 4,5 секунд.

Ответ: 4,5 с.

.Задача по гидростатике. На течение жидкости

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H₀ -  kt + k²t² где t время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 20 м - начальная высота столба воды, k =  отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Рекомендации : решение квадратного уравнения.

Задача сводится к решению уравнения H(t) = H₀ при заданных значениях начальной высоты H₀ = 20 м - , отношения площадей поперечных сечений крана и бака k =  и ускорения свободного падения g = 10 м/c² : t² - 1600t + 480000 = 0. Решив квадратное уравнение, имеем 400с и 1200с. 1200 с не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 400 с.

.Раздел «Термодинамика»

Зависимость температуры нагревательного элемента от времени имеет вид T(t) = T₀ + at + bt² , где

T₀ = 100K, a = 37,5 K/мин, b = - 0,25 K/мин² . Прибор может испортиться при температуре свыше 100 К. Определите момент времени (в минутах), когда прибор необходимо отключить, чтобы он не вышел из строя.

Рекомендации. Зависимость температуры нагревательного элемента от времени имеет вид квадратичной функции. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при t² отрицательный. График изменения температуры показан на рис. (см. рис. на слайде.) Таким образом, температура 1000K достигается дважды: первый раз на промежутке возрастания, - второй на промежутке убывания. Но реально до второго раза температура просто не дойдет, так как прибор уже при времени t₁ выйдет из строя. Значит, наша цель определить меньший корень уравнения. t₁ = 30, t₂ = 120.

Ответ. 30

. Давление на дно сосуда.

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна ,где m - масса воды в килограммах, v - скорость движения ведeрка в м/с, L - длина верeвки в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с

Рекомендации. Сила воды в верхней точке равна 0.

Ответ: 2 м/с

5. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h (м)

(t) =- h²+2h+8

Найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где v=0) и глубину с максимально сильным течением.

Решение: (Для решения задачи достаточно выяснить, какое значение -наибольшее или наименьшее - принимает функция. Это значение равно ординате вершины параболы).

План решения:

Найти вершину (m:n): m=-- ось симметрии.

·   Ветви направлены-

·        Нули функции

По графику ответить на вопросы.

Ответ: v=0, если h=-2 и h=4

т.е. максимальная глубина 4 м.

Наибольшая скорость 9 м/с при h=1м.

6. После начала торможения движение электропоезда описывается законом , а скорость меняется по закону V=16-0,2t, где t - время (с), v - скорость (м/с), S - пройденный путь (м). Через сколько секунд поезд остановится? Каков его тормозной путь? Постройте графики этих функций S=S(t), v=v(t).

 - парабола ветви вниз

x=m=-=-=80(c) y=S(t)=t(16-0,1t)=

=80(16-0,1·80)=80·8=640м.

нули функции 16t-0,1t²=0

t(16-0,1t)=0

t₁=0 16-0,1t=0

,1t=-16₂=160

=16-0,2t-линейная функция

16-0,2t=0

t=80

v=16м/с≈57,8км/ч

t        v

         16

         0

Поезд проедет 640м через 80с.

По графикам ответим на вопросы:

1)      Через сколько секунд поезд остановится?

[ (рис.2) через 80с v_поезда=0]

2)      Каков его тормозной путь?

[После торможения поезд проедет 640м.]

Для сравнения автомобиль со скоростью 60км/ч проходит 17м в секунду.

Его тормозной путь 3-6 метров!!!

. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h (м)

V(h) =- h²+2h+8

Найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где v=0) и глубину с максимально сильным течением.

8. После начала торможения движение электропоезда описывается законом , а скорость меняется по закону V=16-0,2t, где t - время (с), v - скорость (м/с), S - пройденный путь (м). Постройте графики этих функций S=S(t), v=v(t). Ответьте на вопросы:

Через сколько секунд поезд остановится? Каков его тормозной путь?

. Брошенная на землю кожура от банана в нашем климате разлагается около 2 лет. Брошенный окурок сигареты разлагается на два года дольше. Пластиковый пакет разлагается на восемь лет дольше, чем окурок. Сколько лет потребуется для того чтобы разложился пакет? На сколько лет раньше разложится кожура от банана? (12 лет, на 10лет).

. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ч, составляет (90+) рублей в час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км путь была наименьшей?

.С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t - время полёта стрелы (в секундах), то расстояние h (в метрах) стрелы от поверхности земли можно найти по формуле h=-5t²+50t+20 (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным с 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела? Постройте график движения стрелы по уравнению h= -5t² +50t+20. Значение t[1;8] c шагом 1. Отметьте точку, в которой стрела достигнет наибольшей высоты.

II. Геометрические задачи с использованием квадратичных функций

. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Решение:

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

Пусть ,  , тогда

 (1)

 (2)

Из (1),(2) следует, что

Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при

 , т.е.  ,  .

Ответ. Размеры окна  , .

Примерно ширина окна 0,8 м, а длина 1,7 м.

. Сейчас мы с вами рассмотрим ситуацию из рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли надо». Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал наконец требуемую сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Прочитать отрывок из собрания сочинений Л.Н. Толстого, том 10, стр. 368.

Обошел Пахом четырехугольник (на доске рисунок) периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом?

Решение: Обозначим одну сторону через х , тогда другая сторона будет равна (20 - х). Площадь прямоугольника: = x (20 - x) = - x² + 20x

Функция для нахождения площади будет иметь вид: y = - x² + 20x. Надо найти наибольшее значение этой функции. Для этого построим график функции. (На доске изображен график этой функции).

Мы видим, что наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, и оно равно 100 при х = 10.

Пахом, чтобы получить больше земли, должен был обойти квадрат со стороной 10 км.

. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией у =9+9х-1,5х² где х - площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у - валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в тыс. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход?

. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

. Периметр здания составляет 56 м. Каковы его стороны, если это здание имеет наибольшую площадь? (здание одноэтажное) (Ответ: 14; 14).

. На странице книги печатный текст должен занимать 150 см². Верхнее и нижнее поля страницы по 3 см, правое и левое - по 2 см. если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

. Для строительства склада заготовлен материал на наружные стены длиной 32 м и высотой 4 м. Какими должны быть размеры склада (в виде прямоугольного параллелепипеда), чтобы он имел наибольший объём?

Решение задачи сводится к исследованию функции:= х (16 - х)4 = - (2х - 16)² + 256 ≤ 256, где х - длина. Значит, 2х -16=0, х = 8.

Вывод. Итак, чтобы объем склада был наибольшим, его размеры должны быть 8× 8 ×4.

2.2 Методические рекомендации по применению составленных задач на уроках математики 9 класса

Основная задача состоит в том, что максимально преодоление недостатков познавательной деятельности, подготовка школьников к жизни и деятельности в новых социально - экономических условиях, получение более широкой, жизненно важной информации для дальнейшего выбора профессии, трудоустройства, свободной ориентировки в современном обществе и быту.

Реализация данной задачи невозможна без поиска и совершенствования новых методов, приёмов и средств обучения, в т. ч. и математике. Одним из способов решения проблемы социализации выпускников школ - VIII вида к условиям современной действительности является внедрение в содержание курса математики задач практической направленности - это экономические, профориентационные, социальные и другие типы задач. Использование задач с практическим содержанием способствует обеспечению более осознанного овладения математической теорией и практикой, создает условия для осуществления связи обучения математике с жизнью, развития межпредметных связей и способствует более успешной социализации выпускников в современном обществе.

Необходимость в новых подходах к обучению математике и, в частности решению задач, вызвана изменением содержания образования в современной школе с учетом обновления социально-экономических потребностей и условий развития общества. Сущность данного подхода состоит в создании системы работы, основанной на решении задач с практическим содержанием на уроках математики. Идея состоит в том, что использование данных задач способствует обеспечению более осознанного овладения математической теорией и практикой и в дальнейшем окажет влияние на более успешную социализацию выпускников в современном обществе.

Заключение

Во время исследования была изучены психолого-педагогические, методические и учебные научные литературы.

Определены функции и этапы решения практико-ориентированных задач как основного средства реализации прикладной направленности школьного курса математики.

Составлено и подобраны практико-ориентированные задачи, решаемые с помощью использования свойств квадратичной функции.

Разработаны методические рекомендации по использованию составленных задач, а так же составлен план экспериментальной работы.

Обучение решению практико-ориентированных задач при изучении квадратичной функции в целях реализации прикладной направленности будет способствовать формированию:

-       умения решать практико-ориентированные задачи,

-       умения самостоятельно формулировать задачи профессионального и жизненного плана.

Идея состоит в том, что использование данных задач способствует обеспечению более осознанного овладения математической теорией и практикой и в дальнейшем окажет влияние на более успешную социализацию выпускников в современном обществе.

Список литературы

1.      <http://festival.1september.ru/articles/625875/>

.        http://ru.convdocs.org/docs/index-2161.html#28238 <http://ru.convdocs.org/docs/index-2161.html>

.        Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. [Текст]: Итоговая аттестация / Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.О. Рослова.- М.: Просвещение, 2010.- 192 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 285 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 8-е изд.- М.: Просвещение, 2008.- 207 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 9-е изд.- М.: Просвещение, 2009.- 223 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- М.: Просвещение, 2007.- 287 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 44-е изд.- М.: Просвещение: Моск. учеб.», 2008.- 255 с.: ил.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2011.- 239 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др.- М.: Просвещение, 2008.- 255 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 10-е изд.- М.: Просвещение: Моск. учеб., 2010.- 255 с.

.        Алгебра [Текст]: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; под ред. С.А. Теляковского.- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2011.- 271 с.

.        Печёнкина Е.Н. Практико-ориентированные задачи на уроках математики в основной школе // Электронный ресурс [http://rudocs.exdat.com/docs/index-100680.html]

.        Колягин Ю.М. и Пикан В.В. О прикладной и практической направленности обучения математике : Математика в школе. 1985. © 6.

. <http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/prikladnaya-napravlennost-pri-obuchenii-matematike-0>

.        Тесты по математике 5-11 кл. - М.: ООО «Агентство «КРПА «Олимп»: «Издательство АСТ»,2009. 425с.

.        Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. - М.: Изд-вог Акад. наук СССР, 1958. - 147с.