Основы реляционной алгебры

Основы реляционной алгебры

Оглавление

Введение

. Теоретико-множественные операторы

.1 Объединение

.2 Пересечение

.3 Вычитание

.4 Декартово произведение

. Специальные реляционные операторы

.1 Выборка (ограничение, селекция)

.2 Проекция

.3 Общая операция соединения

.4 Деление

Список использованной литературы

Введение

Третья часть реляционной модели, манипуляционная часть, утверждает, что доступ к реляционным данным осуществляется при помощи реляционной алгебры или эквивалентного ему реляционного исчисления.

В реализациях конкретных реляционных СУБД сейчас не используется в чистом виде ни реляционная алгебра, ни реляционное исчисление. Фактическим стандартом доступа к реляционным данным стал язык SQL (Structured Query Language). Язык SQL представляет собой смесь операторов реляционной алгебры и выражений реляционного исчисления, использующий синтаксис, близкий к фразам английского языка и расширенный дополнительными возможностями, отсутствующими в реляционной алгебре и реляционном исчислении. Вообще, язык доступа к данным называется реляционно полным, если он по выразительной силе не уступает реляционной алгебре (или, что то же самое, реляционному исчислению), т.е. любой оператор реляционной алгебры может быть выражен средствами этого языка. Именно таким и является язык SQL.

Рассмотрим основы реляционной алгебры.

Реляционная алгебра представляет собой набор операторов, использующих отношения в качестве аргументов, и возвращающие отношения в качестве результата. Таким образом, реляционный оператор выглядит как функция с отношениями в качестве аргументов:

Реляционная алгебра является замкнутой, т.к. в качестве аргументов в реляционные операторы можно подставлять другие реляционные операторы, подходящие по типу:

Таким образом, в реляционных выражениях можно использовать вложенные выражения сколь угодно сложной структуры.

Каждое отношение обязано иметь уникальное имя в пределах базы данных. Имя отношения, полученного в результате выполнения реляционной операции, определяется в левой части равенства. Однако можно не требовать наличия имен от отношений, полученных в результате реляционных выражений, если эти отношения подставляются в качестве аргументов в другие реляционные выражения. Такие отношения будем называть неименованными отношениями. Неименованные отношения реально не существуют в базе данных, а только вычисляются в момент вычисления значения реляционного оператора.

Традиционно определяют восемь реляционных операторов, объединенных в две группы.

Теоретико-множественные операторы:

·        Объединение

·              Пересечение

·              Вычитание

·              Декартово произведение

Специальные реляционные операторы:

1.   Выборка

2.      Проекция

.        Соединение

.        Деление

Не все они являются независимыми, т.е. некоторые из этих операторов могут быть выражены через другие реляционные операторы.

1. Теоретико-множественные операторы

.1 Объединение

Объединением двух совместимых по типу отношений  и  называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений  и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или , или , или обоим отношениям.

Синтаксис операции объединения:

Замечание. Объединение, как и любое отношение, не может содержать одинаковых кортежей. Поэтому, если некоторый кортеж входит и в отношение , и отношение , то в объединение он входит один раз.

Пример. Пусть даны два отношения  и  с информацией о сотрудниках:

Отношение A

Отношение B

Объединение отношений  и  будет иметь вид:

Как видно из приведенного примера, потенциальные ключи, которые были в отношениях и не наследуются объединением этих отношений. Поэтому, в объединении отношений и атрибут "Табельный номер" может содержать дубликаты значений. Если бы это было не так, и ключи наследовались бы, то это противоречило бы понятию объединения как "объединение множеств". Конечно, объединение отношений и имеет, как и любое отношение, потенциальный ключ, например, состоящий из всех атрибутов.

.2 Пересечение

Пересечением двух совместимых по типу отношений  и  называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений  и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям  и .

Синтаксис операции пересечения:

Пример. Для тех же отношений  и , что и в предыдущем примере пересечение имеет вид:

Отношение A INTERSECT B

Казалось бы, что в отличие от операции объединения, потенциальные ключи могли бы наследоваться пересечением отношений. Однако это не так. Вообще, никакие реляционные операторы не передают результатирующему отношению никаких данных о потенциальных ключах. В качестве причины этого можно было бы привести тривиальное соображение, что так получается более просто и симметрично - все операторы устроены одинаково. На самом деле причина более глубока, и заключается в том, что потенциальный ключ - семантическое понятие, отражающее различимость объектов предметной области. Наличие потенциальных ключей не выводится из структуры отношения, а явно задается для каждого отношения, исходя из его смысла. Реляционные же операторы являются формальными операциями над отношениями и выполняются одинаково, независимо от смысла данных, содержащихся в отношениях. Поэтому, реляционные операторы ничего не могут "знать" о смысле данных. Трактовка результата реляционных операций - дело пользователя.

.3 Вычитание

реляционный алгебра оператор синтаксис

Вычитанием двух совместимых по типу отношений  и  называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений  и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению  и не принадлежащих отношению .

Синтаксис операции вычитания:

Пример. Для тех же отношений  и , что и в предыдущем примере вычитание имеет вид:

Отношение A MINUS B

1.4 Декартово произведение

Декартовым произведением двух отношений  и  называется отношение, заголовок которого является сцеплением заголовков отношений  и :

,

а тело состоит из кортежей, являющихся сцеплением кортежей отношений  и :

,

таких, что

, .

Синтаксис операции декартового произведения:

Мощность произведения  равна произведению мощностей отношений  и , т.к. каждый кортеж отношения  соединяется с каждым кортежем отношения .

Если в отношения  и  имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением операции декартового произведения такие атрибуты необходимо переименовать.

Перемножать можно любые два отношения, совместимость по типу при этом не требуется.

Пример. Пусть даны два отношения  и  с информацией о поставщиках и деталях:

Отношение A (Поставщики)

Отношение B (Детали)

Декартово произведение отношений  и  будет иметь вид:

Отношение A TIMES B

Сама по себе операция декартового произведения не очень важна, т.к. она не дает никакой новой информации, по сравнению с исходными отношениями. Для реальных запросов эта операция почти никогда не используется. Однако операция декартового произведения важна для выполнения специальных реляционных операций, о которых речь пойдет ниже.

2. Специальные реляционные операторы

.1 Выборка (ограничение, селекция)

Выборкой (ограничением, селекцией) на отношении  с условием  называется отношение с тем же заголовком, что и у отношения , и телом, состоящем из кортежей, значения атрибутов которых при подстановке в условие  дают значение ИСТИНА.  представляет собой логическое выражение, в которое могут входить атрибуты отношения и (или) скалярные выражения.

В простейшем случае условие  имеет вид

,

где  - один из операторов сравнения ( и т.д.), а  и  - атрибуты отношения  или скалярные значения.

Такие выборки называются - выборки (тэта-выборки) или -ограничения, -селекции.

Синтаксис операции выборки:

, или

Пример. Пусть дано отношение с информацией о сотрудниках:

Отношение A

Результат выборки  будет иметь вид:

Отношение A WHERE Зарплата<3000

Смысл операции выборки очевиден - выбрать кортежи отношения, удовлетворяющие некоторому условию. Таким образом, операция выборки дает "горизонтальный срез" отношения по некоторому условию.

Проекцией отношения  по атрибутам , где каждый из атрибутов принадлежит отношению , называется отношение с заголовком  и телом, содержащим множество кортежей вида , таких, для которых в отношении  найдутся кортежи со значением атрибута равным , значением атрибута  равным , …, значением атрибута  равным .

Синтаксис операции проекции:

Операция проекции дает "вертикальный срез" отношения, в котором удалены все возникшие при таком срезе дубликаты кортежей.

Пример. Пусть дано отношение с информацией о поставщиках, включающих наименование и месторасположение:

Отношение A (Поставщики)

Проекция  будет иметь вид:

Отношение A[Город поставщика]

2.3 Общая операция соединения

Соединением отношений  и  по условию  называется отношение

 представляет собой логическое выражение, в которое могут входить атрибуты отношений  и  и (или) скалярные выражения.

Таким образом, операция соединения есть результат последовательного применения операций декартового произведения и выборки. Если в отношениях  и  имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением соединения такие атрибуты необходимо переименовать.

.4 Деление

Пусть даны отношения  и , причем атрибуты  - общие для двух отношений. Делением отношений  на  называется отношение с заголовком  и телом, содержащим множество кортежей , таких, что для всех кортежей  в отношении  найдется кортеж .

Отношение  выступает в роли делимого, отношение  выступает в роли делителя. Деление отношений аналогично делению чисел с остатком.

Синтаксис операции деления:

Типичные запросы, реализуемые с помощью операции деления, обычно в своей формулировке имеют слово "все" - "какие поставщики поставляют все детали?".

Пример. В примере с поставщиками, деталями и поставками ответим на вопрос, "какие поставщики поставляют все детали?".

В качестве делимого возьмем проекцию , содержащую номера поставщиков и номера поставляемых ими деталей:

Проекция X=PD[PNUM,DNUM]

В качестве делителя возьмем проекцию , содержащую список номеров всех деталей (не обязательно поставляемых кем-либо):

Таблица 22 Проекция Y=D[DNUM]

Деление  дает список номеров поставщиков, поставляющих все детали:

Отношение X DEVIDEBY Y

Оказалось, что только поставщик с номером 1 поставляет все детали.

Список использованной литературы

1.   Пушников А.Ю. Введение в системы управления базами данных. Часть 1. Реляционная модель данных: Учебное пособие/Изд-е Башкирского ун-та. - Уфа, 1999. - 108 с. - ISBN 5-7477-0350-1.

2.      Свободная энциклопедия "Википедия", ru.wikipedia.org/wiki/Реляционная_алгебра

.        Информационный портал "habrahabr", http://habrahabr.ru/post/145381/