Системы счисления и их практическое применение

КУРСОВАЯ РАБОТА

Системы Счисления

Оглавление

Введение

. Теоретические сведения по системам счисления

.1 История развития систем счисления

.2 Теоретические основы систем счисления

.3 Информационные системы счисления

Заключение

Библиография

Приложения

Введение

Тема данной курсовой работы - системы счисления (ССЧ) и их практическое применение. ССЧ представляют различные варианты записи чисел и устанавливают порядок действий над ними. Системы счисления используются повсеместно для ввода и вывода информации, для более эффективных действий над числами, для оптимизации используемых ресурсов. Также данная тема представляет и познавательный интерес, позволяя развить такие профессионально значимые качества как техническое мышление, аналитическое и логическое мышление; творческие способности.

Актуальность работы состоит в следующем: сегодня четко обозначена необходимость знаний по системам счисления как части фундаментальной информатики. Эти знания применяются в различных сферах. Прежде всего, это арифметические операции в цифровых электронных устройствах, которые предоставляют человеку быстрые числовые расчеты практически в любой сфере деятельности.

Объектом данного исследования выступает теория информатики, её математический аспект.

Предметом исследования являются ССЧ, в основном позиционные ССЧ.

Цель данной работы - изучение соответствующей научной области, анализ её развития, практического применения, а также разработка программного обеспечения (ПО) для проведения тестирования.

При написаний данной курсовой работы ставились следующие задачи:

)        Провести анализ тематической литературы, ресурсов сети Интернет.

)        Описать основные понятия и их историческое развитие.

)        Провести анализ практического использования теории систем счисления.

)        Разработать программу тестирования по изложенной теме.

В процессе написания работы использовались следующие методы исследования: был произведен анализ литературы, научных докладов, учебной литературы и ресурсов сети Интернет.

1. Теоретические сведения по системам счисления

 

.1 История развития систем счисления

В самом начале, на заре своего развития человеческое общество не умело считать. Первобытный человек не отличал понятия “двух” предметов от “много“ предметов. Это был не счет, а лишь его зародыш. Люди не понимали, чем отличаются совокупности двух или трех предметов.

Простейшим счетным инструментом для человека была его собственная рука, на которой он мог производить несложные математические действия. На руке было десять пальцев, поэтому можно сделать вывод, что понятие десятичной системы счисления взято не откуда-нибудь, а только из действительного мира.

С развитием человеческого мышления потребовалось расширить границы счета. Были придуманы названия для десятков и сотен чисел. Если сравнить те масштабы, в которых находятся современные числа, то можно увидеть, как сильно продвинулось развитие человека. Там, например, самое большое целое число на данный момент - гуглоплекc, представляет собой 10 в в степени 10 в 100 степени:

и является фактически количеством всех частиц в известной части вселенной. Если учесть, что понятие числа развивалось не в арифметической прогрессии, то сложно представить, о каких числах мы будем говорить через сто, через 200 лет. [5]

Возвратимся к истории. От пальцевого счета берет начало пятеричная, двадцатеричная и десятичная ССЧ. У многих народов мира пальцевой счет сохранился и поныне. В основном это неразвитые первобытные народы, имеющие свою культуру, но не способные усвоить представления современной математики. Так, из 307 систем счисления первобытных американских народов, исследованных Илсом (W. С. Eels), 146 были десятичными, 106 - пятичными и пятично-десятичными, остальные - двадцатичными и пятично-двадцатичными. [12]

Благодаря развитию ремесла и торговли, понятие числа все более развивалось. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки или обеих рук - обычный в торговле прием. Нередко пальцы возмещали недостаток слов: на пальцах показывались числа, для которых не были придуманы названия. Вполне естественно, что новые числа образовывались от слов “пять” и “десять” - по количеству пальцев на руке.

Так, например, хорошо был известен пальцевой счет в Риме. По свидетельству древне-римского историка Плиния Старшего, на главной римской площади Форуме была воздвигнута гигантская фигура двуликого бога Януса. Пальцами правой руки он изображал число 300, пальцами левой - 55. Вместе это составляло число дней в году в римском календаре. [1]

Любопытно, что расширение чисел происходило медленно, хотя люди очень часто увлекались большими числами в творчестве. Но они не пытались объяснить их. Они использовали их как лирический образ, как роль некоего божества.

Впоследствии, с развитием хозяйственной деятельности стали появляться новые счетные инструменты. Например, в Англии до XVII столетия для записи налогов использовались специальные палочки с зарубками, называемые бирками (рис. 1).

Рисунок 1. Бирки, используемые в Англии

Бирка разрезалась на две продольные части, одна оставалась у крестьянина, другая - у сборщика налогов. По зарубкам на обеих частях и велся счет уплаты налога, который проверяли складыванием частей бирки. Или, например, появился абак, представлявший собой доску с вертикальными желобками, в которых передвигались камешки. Это устройство было хорошо известно грекам и египтянам ёще в V веке до нашей эры (рис. 2). [2]

Рисунок 2. Абак, используемый в Древнем Египте

Как видно, новые счетные инструменты уже могли хранить данные о числах, что успешно использовалось человеком. И весьма значимо то, как представлялись числа с помощью таких инструментов. Порой, использовались черточки, которые позволяли упростить запись чисел, или использовались столбы камней, способные вмещать в себя большую информацию о числе.

Историками достаточно хорошо изучено развитие математики. Изобретение той нумераций и правил действия над числами, которые используется сейчас, приписывается вавилонянам. Такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у африканских народов. [1]

Таким образом, нашу современную ССЧ изобрела арабская математика.

Можно задаться вопросом, почему десятичная система счисления начала развиваться именно на Африканском континенте? Возможно, там математика была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов. Известно, что в древнем Египте четко фиксировать время приливов и отливов, обширно изучалась астрономия, было развито строительство. Греческие математики учились у египтян. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Египтянам приходилось чаще других применять в своей практике задачи, имеющие прикладной характер, связанные с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Весьма определенно, что именно из-за поставленных тяжелых жизненных условий египтянин впервые решился исследовать свойства десятичной системы счисления и использовать их во благо. Для того, чтобы превратить пески в плодородные земли, нужно было максимально полно использовать все положительные особенности реки Нила, просчитывать наперед её поведение.

Таким образом, можно сказать, что именно исследование числа позволило древним народам выжить в опасной пустыне и, в конце концов, покорить её.

Следует подчеркнуть, что понятие числа и ССЧ тесно связаны. Использование в записи ССЧ моделей новых чисел позволяет открыть новые свойства этой системы. В свою очередь использование необычных ССЧ для записи чисел позволяет открыть новые свойства этих чисел.

Так, например, в своем исследовании ученица 9-го класса (что показывает простоту и легкость данных исследований), нашла признаки делимости в системе счисления с основанием восемь для чисел “два”, “четыре”, “пять” и “семь”. Для аналогичного исследования в десятичной системе счисления потребовалось бы рассмотреть еще и делимость на “девять”. Ею были получены следующие свойства:

.        Делимость на 2: если последняя цифра числа делится на 2, то число делится на 2.

.        Делимость на 4: если запись числа оканчивается цифрой 0 или 4, то число делится на 2.

.        Делимость на 5: если сумма цифр числа, взятых справа налево с коэффициентами 1, 3, 4, 2 соответственно в первых четырёх разрядах, повторяемых в такой же последовательности для всех остальных разрядов, делится на 5, то и всё число делится на 5.

.        Делимость на 7: если сумма цифр числа делится на 7, то и всё число делится на 7.

Автор пишет, что признак делимости на 5 является довольно сложным. Аналогичными по степени сложности в десятичной системе счисления являются признаки делимости чисел на 7 и на 11. Следовательно, для исследования у числа делимости на 7 целесообразнее перевести его в восьмеричную ССЧ. Также, на основании данного заключения можно провести аналогию для других ССЧ. В ССЧ с основанием q: делимость на число (q-1) исследуется проще относительно десятичной ССЧ. [6]

Таким образом, различные ССЧ открывают огромный простор для исследований. А если учесть, что рассматриваемые нами до этого ССЧ были только позиционными, то эти просторы могут быть и правда безграничными.

Перейдем к тому, как развивались сами числа. Во многом их развитие обусловлено использованием десятичной ССЧ.

Сперва, появились дроби. Разработка индийского обозначения дробей и правил действий над ними осуществилась в IX веке в мусульманских странах благодаря узбекскому ученому Мухаммеду Хорземскому (аль-Хорезми). Распространены они были в Западную Европу итальянским купцом и ученым Леонардо Фибоначчи из Пизы (XIII век). В своей арифметике аль-Хорезми разъясняет индийскую систему записи чисел. Арабский оригинал этой работы потерян, но имеется латинский перевод двенадцатого столетия. Эта книга была одним из источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой.

Наряду с «обыкновенными» дробями до XVII века применялись (преимущественно в астрономии) шестидесятиричные дроби. Они были вытеснены десятичными дробями, введенными голландским купцом и выдающимся инженером-ученым Симоном Стевином (1548 - 1620).

В дальнейшем оказалось необходимым еще больше расширить понятие числа. В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667-1754) и Леонард Эйлер (1707-1783). Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Довольно поздно к семье чисел присоединился нуль. Первоначально слово «нуль» означало отсутствие числа (буквальный смысл латинского слова nullum - «ничто»). Для того чтобы это «ничто» считать числом, появились основания лишь в связи с рассмотрением отрицательных чисел. [4]

Интерес представляет то, что любое из этих чисел можно использовать в качестве основания для ССЧ.

Таким образом, ССЧ в своем развитии прошли сложный и долгий путь. А само исследование ССЧ представляет собой чудо критического мышления человека.

1.2 Теоретические основы систем счисления

Прежде всего, ознакомимся с основными понятиями.

Система счисления - это символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. ССЧ позволяет получить сведения о множестве чисел, даёт каждому числу уникальное представление и отражает их алгебраическую и арифметическую структуру. ССЧ называют также систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.

Что под этим подразумевается? Например, мы видим перед собой стопку книг. Чтобы их сосчитать, можно загибать пальцы, либо сопоставить нескольким книгам ручку, а всей стопке - карандаш. В первом случае мы получим композицию из пальцев ладони, во втором случае - композицию из карандашей и ручек.

Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

Основанием ССЧ называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его представления. Чем оно больше, тем меньше требуется цифр для записи числа.

Существуют позиционные и непозиционные ССЧ. В позиционной ССЧ значение цифры зависит от её положения в числе. В непозиционной ССЧ значение цифры определяется лишь самой цифрой.

В свою очередь позиционные ССЧ подразделяются на однородные и смешанные.

У однородной ССЧ - для всех позиций числа набор допустимых цифр одинаков.

Смешанные ССЧ - это такие системы, в которых числа, заданные в одной ССЧ отображаются с помощью цифр другой ССЧ. Проще говоря, для каждой позиции числа в смешанной ССЧ существует дополнительная ССЧ, в которой записывается цифра на данной позиции.

Одно из практических применений смешанных систем счисления состоит в том, что арифметические действия над числами, записанными в смешанной ССЧ, можно выполнить в другой смешанной системе, если последняя более удобна. [7]

Например, мы может сделать задачу более рациональной, если в другой системе счисления мы можем сократить запись числа. Мы можем сделать более рациональным решение задачи перевода чисел из одной системы в другую, например, при переводе чисел из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот удобно сначала переписать число в двоичном виде.

Кроме этого, дополним существующую классификацию дополнительными пунктами, которые понадобятся в данной работе.

Информационная ССЧ - система счисления, в которой запись числа состоит из единственной последовательности цифр. При этом каждая очередная цифра уточняет значение числа в заданном множестве всех значений.

Для наглядности изобразим числа в обоих ССЧ на числовой оси (рис. 2)

Рисунок 3. Представление чисел в различных ССЧ

Итерационная ССЧ - это интервальная ССЧ, в которой каждая последующая цифра является дополнительной итерацией функции от всего числа. В-частности, далее будет рассмотрена башенная ССЧ, в которой в качестве такой функции выступает знак степенной функции от абсолютной величины значения числа, полученного на предыдущем шаге. Уже из рисунка становится понятно, что информационные ССЧ могут оказывать неоценимую помощь в представлении иррациональных и вещественных чисел.

Наиболее полно представленная здесь классификация отображена в таблице.

Наиболее употребляемыми в настоящее время являются следующие ССЧ:

.        Позиционные:

.1.     Единичная (счет на пальцах)

.2.     Двоичная (дискретная математика, информатика)

.3.     Восьмеричная (программирование)

.4.     Десятичная

.5.     Шестнадцатеричная (программирование)

.        Смешанные

.1.     Фибоначчиева (теория информации)

.2.     Представление времени по календарю

.3.     Денежные

.        Непозиционные:

3.1.   Системы остаточных классов (вычисления)

Рассмотрим подробно каждую из них.

Единичная ССЧ, может рассматриваться как вырожденный случай позиционной СС. Используется лишь единственная цифра. Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну цифру, то число увеличивается лишь на эту единицу. Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины. Однако, несмотря на свою простоту для этой ССЧ находится действенное применение. Она, например, используется в кодах Голомба для представления натуральных чисел. Позволяет эффективно закодировать малые величины. [8]

Далее, На двоичной ССЧ, построена работа всех современных компьютеров. Она используется в цифровых устройствах поскольку является самой простой. Это значит то, что она позволяет наиболее экономно изготовить элементы оперирующие с числами. Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.

Проста двоичная СС и в плане вычислений. Она состоит из самой простой таблицы умножения и сложения - основных операций над числами. (табл. 1)

счисление информационный двоичный программный

Таблица 1. Основные операции над двоичными числами

0	1		0	1
0	0	0	0	0	1
1	0	1	1	1	10

Восьмеричная ССЧ тоже часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Её появление связано с тем, что хранить числа в двоичной ССЧ - слишком громоздко, а в десятичной - неудобно. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной. Десятичная ССЧ самая распространенная. О ней подробно рассказано выше. В двоичных компьютерах применяют двоично-десятичное кодирование десятичных цифр (Binary-Coded Decimal), при этом для одной двоично-десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда (двоичная тетрада). Стоит упомянуть также, что десятичная ССЧ используется в системе стандартов СИ. Шестнадцатеричная ССЧ широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. А в стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости - с ведущими нулями). Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему. [9] Интересно, что существует уравновешенная шестнадцатеричная ССЧ. Она использует по девять цифр в обе стороны от нуля. То есть, одна и та же цифра может быть записана с плюсом, либо с минусом. Так как запись знаков внутри цифр достаточно неудобна, то плюс при положительных цифрах не пишут вообще, а отрицательные цифры вместо минуса надчеркивают. При таком подходе таблицы сложения и умножения в этой системе счисления повторяют те же таблицы для обычной десятичной системы, но с учетом знаков цифр (в частности, сложение заменяется вычитанием, а при умножении знак произведения зависит от четности числа отрицательных множителей). Двух таких цифр из такой ССЧ достаточно для указания 360 направлений, измеряемых целым числом градусов.

Следует упомянуть о представлении чисел в электронных арифметических устройствах. Здесь используется так называемый формат с фиксированной запятой. Любое число представляется в виде мантиссы и порядка. Особенностью данной записи является то, что абсолютная величина числа при этом не превосходит максимальной величины своего разряда. Например, константа элементарного заряда записывается так:

Здесь, то, что перед символом “E” - мантисса, “Е” расшифровывается как “exponent” и обозначает “…умножить на 10 в степени…”, после “E” - порядок.

Итак, мы рассмотрели позиционные ССЧ. Рассмотрим теперь смешанные ССЧ.

Фибоначчиевская система счисления известна узкому кругу специалистов теории чисел. В ней вес разряда равен соответствующему числу из последовательности Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … в которой каждый очередной член равен сумме двух предыдущих. Это позволяет при кодировании не только использовать всего 2 цифры - 0 и 1 , но и дополнительно потребовать, чтобы нигде в записи числа две единицы не стояли рядом. Не трудно догадаться, что если единицы встречаются в записи числа сравнительно редко, то это существенно облегчает вычисления. Ниже в таблице для наглядности представлен код Фибонначи.

Таблица 2. Представление чисел в коде Фибоначчи

Число	Фибоначчиева СС	Код Фибоначчи
0	0…0	…
F2 = 1	1	11
F3 = 2	10	011
F4 = 3	100	0011
4	101	1011
F5 = 5	1000	00011

Далее, календарный традиционный способ представления моментов и больших промежутков времени сочетает использование нескольких разных единиц измерения. Это тоже пример смешанной ССЧ При переходе от тысячелетий к векам, от них к десятилетиям, а затем к годам, вес разряда в записи даты изменяется в 10 раз. Год состоит из 12 месяцев, месяц - из 4 недель, неделя - из 7 суток. Сутки состоят из 24 часов, час - из 60 минут, а минута - из 60 секунд. Более мелкие интервалы времени, чаще всего, измеряют десятыми, сотыми, тысячными долями секунды (хотя обычно употребляется шестидесятеричное деление дробей). Таким образом, мы имеем здесь дело с системой счисления, сочетающей в себе сразу шесть различных оснований: 4, 7, 10, 12, 24 и 60.

Денежные знаки - это тоже смешанная ССЧ.

Интересно, что современная валюта все прочнее закрепляется в электронном виде. Так она используется на открытых банковских счетах, при покупках через Интернет и т. д. Здесь же чаще используется позиционная десятичная ССЧ.

Наконец, рассмотрим и непозиционные ССЧ. Это в основном те ССЧ, которыми люди пользовались в древности. К сожалению, на данный момент все они представляют лишь исторический интерес. Именно поэтому их часто называют в соответствии с тем народом, который её использовал. Например: арабская, римская, шумерская ССЧ и т. п.

Существует так называемая система остаточных классов, которую лишь с натяжкой можно назвать непозиционной. Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. Система остаточных классов определяется набором взаимно простых модулей (m₁, m₂, …, m_n) с произведением M = m₁ m₂ … m_n так, что каждому целому числу x из отрезка [0,M− 1] ставится в соответствие набор вычетов (x₁, x₂, …, x_n), где:

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка [0,M−1].

В системе остаточных классов арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в [0,M − 1].

Поэтому, недостатком системы остаточных классов является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел.

Первое упоминание системы остаточных классов встречается в книге “Математическое руководство” китайского математика Сунь Цзы, о котором не известно ничего, кроме того, что он является автором этой книги; годы его жизни устанавливались историками на основе анализа текста.

Некоторые специалисты полагают, что алгоритм решения системы сравнений позволял китайским генералам пересчитывать армию без особых усилий последовательностью однотипных распоряжений.

Например:

“В колонну по 7 становись!”

По выполнении команды, подсчитывалось количество солдат, стоящих в последнем ряду. Затем производились аналогичные подсчеты по результатам выполнения команд:

“В колонну по 11 становись!”

“В колонну по 13 становись!”

“В колонну по 17 становись!”

В соответствии со свойствами системы остаточных классов, по четырем остаткам однозначно восстанавливается число солдат, если оно не превосходит 17017.[10] Рассмотрим теперь преобразование чисел из одной СС в другую. Это понадобится в дальнейшем, при разработке программы. В-сущности, преобразование чисел - это главная операция для различных ССЧ. С её помощью осуществляется взаимодействие одной системы с другой.

Итак, любое число в любой позиционной системе счисления можно представить по формуле:

,

где a₀,a₁,...,a_k - цифры, а q - основание системы счисления.

Например:

и т. д.

Чтобы перевести число из СС с большим основанием в СС с меньшим основанием M нужно:

1.      Разделить число нацело на M, остаток равен a₀.

.        Взять частное и проделать с то же самое, остаток будет равен a₁.

.        Повторно проделывать все операции, пока частное не будет равно 0.

.        Искомое число будет записано в новой системе счисления полученными цифрами.

Например:

₁₀ ->11001₂₀ = 1(25/2 = 12) ₁ = 0(12/2 = 6)₂ = 0(6/2 = 3)₃ = 1(3/2 = 1)

a₄ = 1(1/2 = 0)

Для перевода числа из меньшего основания в большее применяется формула:

,

где q - новое основание, a_q,k - цифры старой СС в новой СС, m - основание старой системы счисления.

Если основание одной системы - степень другого, например, 2 и 16, то перевод можно делать на основании таблицы. Для восьмеричной используются триады. Для шестнадцатеричной используются тетрады (табл. 3).

На основе таблицы можно построить правило для десятичной СС, где число представляется в виде суммы двух тетрад.

Перейдем теперь к отрицательным и дробным числам.

В отрицательных числах модуль числа не меняется при переходе к другой СС. Нужно запомнить знак, затем применить описанный выше метод, затем снова поставить знак.

Десятичные дроби нужно лишь умножить на такое число, которое перенесет запятую в конец.

Таблица 3. Представление чисел в виде триад и тетрад

q=2	q=8	q=10	q=16
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

Например, перенос в троичном числе запятой с 4-го места от конца - то же, что и умножить его на 34.

Затем нужно перевести число в новую СС с положительными числами и поделить на этот множитель получившуюся дробь. После данной процедуры может получиться периодическая дробь. Например, в 3-чной системе 1/3 = 0.1, а в десятичной - 0,(3).

Далее, для правильных дробей существует следующее правило.

Пусть X - правильная дробь, заданная в 10-чной системе счисления и требуется перевести ее в систему счисления с основанием Q, т.е. найти цифры b_i для записи X.

Для определения b_i умножим левую и правую части равенства на Q, причем в левой части умножение выполняется по правилам 10-чной арифметики. Имеем:

Представим левую часть равенства как сумму целой и дробной частей:

Приравняем их с целой и дробной частями правой части равенства:

Цифра b₁ является целой частью от умножения X на Q (умножение выполняется в 10-чной системе счисления). Далее положим X₁=X*Q и повторим аналогичные действия для определения цифры b₂.

В итоге получаем, что перевод правильной дроби X осуществляется по следующим рекуррентным формулам:

b_i+1=[X_i*Q]._i+1={X_i*Q}, i=0, 1, 2, …;

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено X_i+1=0 или не будет получена требуемая точность (требуемое количество цифр после запятой).

На основе вышесказанного, можно сделать вывод о том, что операция перевода чисел из одной ССЧ в другую довольно проста. Однако, существуют определенные сложности при нахождении дробной части числа, то есть, изначально просто неизвестно, получится ли точное число или же получится периодическая дробь. Это можно определить лишь после начала операции, определив закономерности в остатках от деления. Но и это не всегда возможно. Мы можем найти подтверждение этому, например, в программе Калькулятор Плюс компании Microsoft (рис. 4):

Рисунок 4. Невозможность перевода дробной части числа в различные ССЧ.

 

.3 Информационные системы счисления

Можно утверждать, что понятие ССЧ относится к числу базовых в математике и информатике. И, тем не менее, имеется достаточно большой разнобой в его истолковании.

В широком смысле под ССЧ понимаются способы представления числовой информации. Кроме записи чисел, к ним относятся способы кодирования, шифрования, а иногда даже технологии хранения и обработки информации. Кроме цифр в обычном понимании, в составе алфавита системы счисления, как правило, есть и другие знаки. Чаще всего, в него входят плюс и минус для указания знака числа или его порядка, запятая (или точка) для разделения целой и дробной частей числа. Другие специальные символы могут служить для обозначения начала или конца записи числа, либо для выделения фрагментов разного назначения в ее составе (например, мантиссы и порядка). Будем считать, что четкой границы между цифрами и остальными знаками нет. Поэтому, далее в работе будем придерживаться именно такого истолкования определения ССЧ, то есть в широком смысле.

Говоря о ССЧ, трудно говорить об их актуальности. Данная тема устарела и стала фундаментальной, а когда-либо печатавшиеся книги или учебные пособия по данной теме выпускались 15 лет назад. И тем не менее, можно говорить, что наибольшую актуальность представляют сейчас информационные СС, которые позволяют максимально эффективно передавать полученную информацию.

Напомним, что мы дополнили классификацию ССЧ интервальными и неинтервальными ССЧ. Интервальные в свою очередь делятся на итерационные и другие. Частный случай итерационных ССЧ - башенные.

Прежде всего хочется отметить то, что у позиционных систем счисления есть небольшой недостаток. Так, например, если передавать по каналу связи число “86” то, при обрыве связи число “8” окажется совершенно бесполезным.

Как выход из положения, можно предложить информационные системы счисления. Даже так: пусть в числе “86” цифра “8” уточняет то, что искомая величина находится в “шестом ящике”, а цифра “6” уточняет то, что искомая величина находится на “шестой полке”. Тогда, даже при потере половины информации, у нас остаются сведения, что искать нужно именно в 8 ящике. Преимущества информационной ССЧ на лицо (рис. 5).

Рисунок 5. Преимущество информационной ССЧ

Построим модель, для башенной системы счисления. Так как это частный случай интервальных систем счисления, то введем обозначения на их основе. Пусть на оси чисел находится наша искомая величина t. Она содержится в некотором интервале U, который разделен на два равнозначных интервала V и W. Так как интервалы равнозначны, то будем использовать лишь две цифры, для их обозначения. Поэтому, воспользуемся двоичной СС с буквами “M” и “P” вместо цифр. Стартовый интервал - вся числовая ось.

Принцип нахождения t будет заключаться в следующем: первая цифра определяет на U в каком множестве, положительных или отрицательных чисел, лежит t соответственно для “M” (минус) и “P” (плюс). Проще говоря, первая цифра это знак числа. Но ведь выше мы условились в равноправии знаков и чисел. Далее, следующая цифра выбирает из интервала U либо интервал V, либо интервал W (которые конечно задаются по своим правилам).

В математическом анализе существует теорема о вложенных отрезках. Суть её состоит в том, что если выбрать последовательность отрезков (в частности, интервалов), где каждый последующий отрезок находится внутри предыдущего, то предел такой последовательности стремиться к конечному числу.

Исходя из этого можно сделать вывод, что если брать постоянным основание q и подбирать цифры правильно, любое число (не только целое) можно записать в виде соответствующей комбинации. В кругу математиков за сложением, умножением и возведением в степень, каждое из которых является повторением предыдущего, следующий член такой последовательности получил название башни. Поэтому полученную комбинацию мы будем называть башней числа.

Тем самым, мы придумали совершенно новый тип ССЧ: параметр выбранной нами функции f(x) играет роль основания системы счисления, а роль направлений выбора - цифры.

Итак, остается лишь выбрать функцию f(x). Пусть, сама функция представления числа обозначается как F(Z). Пусть F(Z) заканчивается на “0”, если получено конкретное число и F(0)=0, F(M)=-∞, F(P)=+∞, F(M0)= -q, F(P0)=q. В качестве функции f(x) будем использовать степенную функцию:

Так будет выглядеть функция, если “читать” число слева направо. Для примера рассмотрим, чему будет равняться число “MMM0” и, следующие за ним по-порядку “MMP0” и “MPM0” при основании 2:

Как видно, последовательность не является монотонной, поэтому пусть каждая цифра “M” инвертирует знаки всех последующих цифр.

Примеры, подобного перевода чисел представлены в приложении 2.

Таким образом, получили математическое описание башенной ССЧ, что позволяет нам исследовать её свойства.

Очевидно, что башенные ССЧ никак не предназначены для представления целых чисел. Зато, в сравнении с основными позиционными системами счисления, башенные позволяют гораздо более эффективно сворачивать информацию о вещественном числе. Не нужно представлять число с помощью мантиссы и порядка. И, наконец, число можно передавать по каналам связи число практически любой длины.

Поэтому создание микропроцессоров, основанных на представлении вещественных чисел в башенных СС, может резко повысить производительность компьютеров в их наиболее слабом, сегодня, месте - операциях “с плавающей точкой”. Задачи программирования, связанные с этой темой, по праву считаются экзотическими. Разумеется, арифметические действия с башенным представлением чисел более трудоемки, чем традиционные. Однако это препятствие нужно будет преодолеть только один раз - на этапе проектирования и создания микропроцессоров, базирующихся на таких вычислениях. Сами же вычисления будут происходить очень быстро, чего пользователь просто не заметит. [11]

В заключении следует сказать, что в цифровой технике полученную ССЧ можно реализовать с использованием всего двух базовых элементов. При этом особое значение приобретает экономичность СС - возможность представления как можно большего диапазона чисел с использованием как можно меньшего конструкторского пространства. Пока что можно лишь говорить о том, что такие ЭВМ будут использоваться для пока что неизвестных нам, целей. Для них расчеты будут производиться на уровне степеней чисел, а операции сложения и умножения будут, скорее всего, передаваться обычным компьютерам. В башенной ССЧ можно с разумными затратами представлять числа, отличающиеся друг от друга в совершенно неимоверное число раз. Правда, практических задач с такими числами еще нет, но ведь современная наука развивается настолько быстро, что невозможно прогнозировать, что произойдет в ближайшем будущем.

Заключение

Самыми значимыми для человека ССЧ , безусловно, являются двоичная и десятичная ССЧ. Двоичная ССЧ используется во всех компьютерных системах.

Немаловажной является история развития представлений человека о ССЧ. Сложно представить, что на ранних стадиях развития общества люди не отличали совокупность двух и трех предметов.

ССЧ прошли сложный путь в своем развитии и сейчас они занимают большую нишу в области информатики. Они являются частью фундаментальной информатики. Существует огромное количество различных ССЧ и для каждой из них можно найти применение в самых различных областях человеческой деятельности. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах. Особое значение на данный момент имеют итерационные СС. В таких системах счисления наиболее важную информацию о числе содержат первые цифры. Это представляет огромный интерес в вопросах сжатия и кодирования информации.

Особая актуальность изучения систем счисления связана с тем, что в будущем вполне может произойти так называемый информационный переворот, связанный с разработкой компьютеров основанных на информационной ССЧ.

В последние годы все основные параметры компьютерной техники ежегодно вырастали в среднем в 4 раза (т.е. в 1000 раз за 5 лет). Ясно, что их экспоненциальный рост не может продолжаться бесконечно (в частности, этому препятствует атомное строение вещества). Как только он прекратится, производители компьютерной техники начнут искать новые пути ее усовершенствования. И тогда они вынуждены будут отказаться от двоичной системы счисления в пользу информационных. Таким образом, данное исследование позволило успешно провести анализ систем счисления, выявить их достоинства, разработать соответствующие алгоритмы. Удалось достичь поставленных целей с помощью намеченных методов. Были объединены данные из разных источников в один информационный ресурс. Было разработано программное обеспечение, позволяющее продемонстрировать практические аспекты материала, изложенного в данной работе.

Библиография

[1].    От абака до компьютера / Гутер Р. С. - М.: Знание,2010. - 130 с.

[2].    Простейшие счетные приборы. / Златопольский Д. М., Полунов Ю. Л.- Информатика, № 8/2012 - 240 c.

[3].    100 великих научных открытий / Самин Д. К. - «Вече », Москва, 2012 год- 473 с.

[4].    Справочник по элементарной математике. / Выгодский М.Я. - М.: АСТ Астрель, 2008. - 509с.

[5].    Гуглоплекс - Википедия - ru.wikipedia.org/wiki/Гуголплекс - 29.10.11

[6].    Вывод признаков делимости чисел в различных системах счисления - znv.ru/konkurs/1433/1/10424_1433_1_1303530885.doc - 9.11.11

[7].    Смешанные P-Q-ичные системы счисления - http://ido.tsu.ru/schools/physmat/data/res/informatika2/text/8_2.html - 5.11.11

[8].    Унарный код - www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/Унарный_код - 12.11.11

[9].    Шестнадцатиричная система счисления - ru.wikipedia.org/wiki/Шестнадцатеричная_система_счисления- 12.11.11

[10].  СОК - http://pmpu.ru/vf4/modular/crt - 9.11.11

[11].  Башенное представление - http://zhurnal.lib.ru/f/fedotow_w_p/x97.shtml - 27.10.11

[12].  Eels W. С. Number Systems of North American Indians // The American Mathematical Monthly, Vol. 20, No. 10, Dec., 1913 - с. 293

 

Приложения

 

Приложение 1

Классификация систем счисления

Позиционные
Универсальные						Неуниверсальные
Традиционные		Информационные				Форматы представления чисел в микрокаль-куляторах и компьютерах
Основные	Неосновные	Интервальные			Неинтервальные
Двоичная Троичная Восьмеричная Десятичная  Двенадцатеричная Шестнадцатер. Тысячная  и т. п.	Дата - время Двоично десятичная Факториальная Фибоначиевская СКО и т. п.	Итерационные			То же, что и основные СС
		Башенные

Приложение 2

Представление чисел в башенной ССЧ

F(x)	Двоичное	q = 2		q = e		q = 3		q = 4
NNNO	0001		-4		-ee		-27		-64
NNO	001		-2		-e		-3		-4
NNPO	0011		-Ö2/2		-e1/e		-1/31/3		-Ö2/2
NO	01		-1		-1		-1
NPNO	0101		-Ö2		-1/e1/e		-31/3		-Ö2
NPO	011		-1/2		-1/e		-1/3		-1/4
NPPO	0111		-1/4		-1/ee		-1/27		-1/64
O	1		0		0		0		0
PNNO	1001		1/4		1/ee		1/27		1/64
PNO	101		1/2		1/e		1/3		1/4
PNPO	1011		Ö2/2		1/e1/e		1/31/3		Ö2/2
PO	11		1		1		1		1
PPNO	1101		Ö2		e1/e		31/3		Ö2
PPO	111		2		e		3		4
PPPO	1111		4		ee		27		64