Разработка модели и решение задачи линейного программирования на примере задачи об оптимизации размещения рекламы. Компания 'Медиа Оптимизатор'

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО Уральский государственный экономический университет

Кафедра бизнес-информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине "Компьютерное моделирование экономических процессов"

Тема: Разработка модели и решение задачи линейного программирования на примере задачи об оптимизации размещения рекламы. Компания "Медиа Оптимизатор"

Екатеринбург

Содержание

Введение

. Задачи оптимизации

1.1      Общая математическая формулировка решаемой экономико-математической задачи

.2        Методы решения задач линейного программирования

1.2.1   Задача планирования производства

.2.2     Задача о составлении рациона

.2.3     Задача о раскрое материалов

.2.4     Транспортная задача

2. Решение оптимизационной задачи

2.1      Постановка задачи

.2        Разработка экономико-математической модели и решение задачи с использованием компьютерного моделирования

Заключение

Список используемой литературы

Введение

В своей жизни мы ежедневно сталкиваемся с необходимостью принимать решения. Менеджерам, экономистам, коммерсантам для принятия правильного решения, приходится учитывать много факторов, и сделать это без помощи компьютера порой невозможно. В настоящее время множество задач планирования и управления в отраслях народного хозяйства, а также большой объём частных прикладных задач решаются методами математического программирования. Наиболее развитыми в области решения оптимизационных задач являются методы линейного программирования. Эти методы позволяют описать с достаточной точностью широкого круга задач коммерческой деятельности, таких как:

−       планирование товарооборота;

−       размещение розничной торговой сети города;

−       планирование товароснабжения города, района;

−       прикрепление торговых предприятий к поставщикам;

−       организация рациональных перевозок товаров;

−       распределение работников торговли должностям;

−       организация рациональных закупок продуктов питания;

−       распределение ресурсов;

−       планирование капиталовложений;

−       оптимизация межотраслевых связей;

−       замена торгового оборудования;

−       определение оптимального ассортимента товаров в условиях ограниченной площади;

−       установление рационального режима работы.

В задачах линейного программирования критерий эффективности и функции в системе ограничений линейны. Если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного программирования. Если в задаче математического программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности выражается через уравнения, описывающие течение операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Во многих экономических моделях зависимости между постоянными и переменными факторами можно считать линейными. Использование методов математического программирования в коммерческой деятельности связано со сбором необходимой информации коммерсантом, экономистом, финансистом, затем постановкой задачи вместе с математикой. Поскольку методы математического программирования уже реализованы на компьютере в виде пакета стандартных программ, то доступ к ним обычно прост, автоматизирован и не составляет особых трудностей.

Целью выполнения курсовой работы является закрепление и углубление знаний по дисциплине "Компьютерное моделирование экономических процессов". Основная задача курсовой работы - экономико-математическое моделирование изучаемого объекта (явления, процесса).

1. Задачи оптимизации

1.1    Общая математическая формулировка решаемой экономико-математической задачи

В общем виде задачу эффективного управления в любой сфере деятельности можно определить, как достижение наилучших с точки зрения целей данной организации результатов при использовании доступных ресурсов и в условиях тех или иных ограничений, которые налагает на ее деятельность внешняя среда.

Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции.

Экономико-математическая модель - это математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

Экономико-математические методы и модели применяют с целью отыскания наилучшего решения, т. е. решения, оптимального в том или ином смысле (максимума или минимума). Но задачи математического программирования применяют только тогда, когда имеется много допустимых решений (два и более).

Разработку любой модели оптимизации можно разбить на 5 стадий, частично перекрывающих друг друга и не имеющих четких границ:

а)      постановка (формулировка) задачи;

б)      разработка математической модели изучаемой системы;

в)      отыскание решения с помощью этой модели;

г)       проверка данной модели и решения;

д)      уточнение решения на практике.

В общем виде математическая постановка задачи линейного программирования состоит в определении значения целевой функции.

Целевой функцией называют величину, значение которой количественно характеризует цель, которую мы хотим достичь. Это может быть прибыль от производства, тогда наша цель сделать ее максимальной, или затраты, тогда цель - их минимизировать. Математически запись целевой функции представлена в формуле (1):

 (1)

где Е - мера общей эффективности;- функция, задающая соотношение между Е, х, y;

х - величины, которые мы можем изменять, и от которых зависит целевая функция, называются переменными решения. По-другому эти величины можно назвать неизвестными, поскольку мы стремимся найти такие их значения, при которых целевая функция достигает максимума (или минимума);- некоторые действительные числа, или параметры модели. В ходе решения они остаются неизменными, постоянными. Параметры модели определяют вид и значения целевой функции.

1.2    Методы решения задач линейного программирования

Задача планирования производства

Смысл задачи об использовании ресурсов заключается в составлении такого плана продаж, исходя из имеющихся запасов, при котором прибыль будет максимальной.

Пример. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья: S1, S2, S3. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а так же величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Норма расхода сырья

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Обозначим через х₁ количество единиц продукции Р₁, а через х₂ - количество единиц продукции Р₂. Тогда целевая функция (прибыль от реализации) будет записываться по формуле (2).

 (2)

Поскольку количество сырья, расходуемого на изготовление продукции, не может превышать имеющихся запасов, получим систему ограничений:

а)      2х₁ + 5х₂ ≤ 20;

б)      8х₁ + 5х₂ ≤ 40;

в)      5х₁ + 6х₂ ≤ 30;

г)       х₁ ≥ 0;

д)      х₂ ≥ 0.

Задача о составлении рациона

Цель задачи о смесях составить рацион, позволяющий обеспечить всеми необходимыми питательными элементами, с минимальными затратами.

Пример. При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 ед. питательного вещества S₁, не менее 8 ед. вещества S₂ и не менее 12 ед. вещества S₃. Для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2 - Содержание питательных веществ

Для составления математической модели обозначим через х₁ и х₂ соответственно количество килограммов корма 1 и 2 в дневном рационе. Цель данной задачи - добиться минимальных затрат на дневной рацион, поэтому общую стоимость рациона можно выразить в виде линейной функции - формула (3).

 (3)

Принимая во внимание значения, приведенные в таблице 1.2, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получаем систему ограничений:

а)      3х₁ + х₂ ≥ 9;

б)      х₁ + 2х₂ ≥ 8;

в)      х₁ + 6х₂ ≥ 12;

г)       х₁ ≥ 0;

д)      х₂ ≥ 0.

Задача о раскрое материалов

Задача оптимального раскроя материалов заключается в определении наиболее рационального способа раскроя имеющихся материалов (стальной лист, полоса, круг, швеллер, стекло, бревно и т.д.)

Пример. Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины - по 2 метра. Фирма имеет заказы на бумажные рулоны разной ширины: 150 шт. - шириной 0,5 м, 200 шт. - шириной 0,7 м, 300 шт. - шириной 0,9 м. Существует 6 вариантов, известно количество отходов в результате раскроя каждым из шести способов, данные приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3 - Варианты раскроя

Обозначим переменные:

а)      х₁ - количество рулонов, раскроенных первым способом;

б)      х₂ - количество рулонов, раскроенных вторым способом;

в)      х₃ - количество рулонов, раскроенных третьим способом;

г)       х₄ - количество рулонов, раскроенных четвертым способом;

д)      х₅ - количество рулонов, раскроенных пятым способом;

е)       х₆ - количество рулонов, раскроенных шестым способом.

Целью нашей задачи будет минимизация отходов. Целевая функция будет рассчитываться по формуле (4).

 (4)

Поскольку при раскрое рулона четвертым способом отходы не образуются, то значение величины х₄ не будет влиять на целевую функцию. Исходя из имеющихся заказов, пропишем ограничения:

а)      2х₂ + 2х₃ + 4х₄ + х₅ ≥ 150;

б)      х₁ + х₂ +2х₅ ≥ 200;

в)      х₁ + х₃ +2х₆ ≥ 300.

Транспортная задача

Транспортная задача заключается в отыскании оптимального плана перевозок с минимальными транспортными расходами, она бывает открытая и закрытая. В открытой задаче количество продукции, находящейся на складе, больше (либо меньше) количества, требующегося потребителям. В закрытой задаче количество продукции, находящейся на складе, равно количеству, требующемуся потребителям.

Пример. На товарных станциях А₁ и А₂ имеется по 30 комплектов мебели. Известно, что перевозка одного комплекта со станции A₁ в магазины М₁, М₂, М₃ стоит 1 руб., 3 руб., 5 руб., а стоимость перевозки со станции A₂ в те же магазины - 2 руб., 5 руб., 4 руб. Необходимо доставить в каждый магазин по 20 комплектов мебели. Составить план перевозок так, чтобы затраты на транспортировку мебели были наименьшими. Количество комплектов мебели, перевозимых со станции А₁ в магазины М₁, М₂, М₃ обозначим через х₁₁, х₁₂, х₁₃, а со станции А₂ - через х₂₁, х₂₂, х₂₃. Тогда схема перевозок буде выглядеть следующим образом (см. таблицу 1.4).

Таблица 1.4 - Схема перевозок

Целевая функция (стоимость перевозок) находится по формуле (5).

 (5)

Ограничения:

а)      х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 30;

б)      х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 30;

в)      х₁₁ + х₂₁ = 20;

г)       х₁₂ + х₂₂ = 20;

д)      х₁₃ + х₂₃ = 20.

2. Решение оптимизационной задачи

2.1 Постановка задачи

Компания "Медиа Оптимизатор" - это одна из ведущих мировых сетей рекламных агентств. В 50 странах, включая Россию, эта сеть осуществляет все медиа-планирование и покупку рекламы у рекламодателей для компании "Супер-крем" мирового лидера в производстве парфюмерии. Этот клиент чрезвычайно важен для агентства, поскольку вносит очень весомый вклад в оборот агентства и помогает производить впечатление на других потенциальных клиентов во время проведения тендеров.

В случае планирования и закупки рекламного времени на ТВ, русский офис "Медиа Оптимизатора" имеет дело с двумя субконтракторами, имеющими статус "торговых домов по продаже рекламы" и эксклюзивные права на всю рекламу на российском ТВ:

−       "Video international" - ОРТ, РТР, ТВ-6, REN-TV и СТС;

−       "НТВ Медиа" - НТВ и ТНТ .

При покупке рекламного времени "Медиа Оптимизатор" использует специальные единицы рекламного воздействия: GRP (Gross Rating Points) и TRP (Target Rating Points). 1 GRP - это время, необходимое для того, чтобы 1% от взрослой аудитории канала (мужчины и женщины старше 18 лет) хотя бы однажды увидели данное рекламное объявление. 1 TRP - это время, необходимое для того, чтобы 1% от целевой аудитории (в случае компании "Супер-Крем" - это женщины от 15 до 35 лет с высоким уровнем дохода) хотя бы однажды увидели данное рекламное объявление.

"Медиа Оптимизатор" покупает рекламное воздействие (измеряемое в единицах GRP) у торговых домов по продаже рекламы. Оба торговых дома жестоко боролись за долю бюджета любого клиента и, в конце концов, договорились давать клиенту (или его агентству) максимальные скидки, если бюджет клиента разбивается в соотношении 70% - "Видео Интернешнл", 30% - "НТВ Медиа".

В свою очередь своим клиентам (включая "Супер-Крем") "Медиа Оптимизатор" продает рекламное воздействие, измеряемое в единицах TRP - клиенты заинтересованы в том, чтобы рекламу увидел не абы кто, а именно целевая группа зрителей.

При выборе каналов компания руководствуется индексом привлекательности. Индексом привлекательности называется отношение целевой (для данного брэнда) аудитории канала ко всей взрослой аудитории. Индекс привлекательности вычисляется по формуле (6).

 (6)

Заказчики желают, чтобы в целом для всей рекламной кампании этот индекс был как можно больше, и, как минимум, не меньше 100. Полная стоимость 1GRP, максимальные скидки и типичное значение индекса привлекательности (оцененное агентством для рекламы "Супер-Крем") для каждого канала приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Данные по ТВ-каналам

"Супер-Крем" - один из наиболее продвинутых клиентов агентства, поэтому еще более чем индекс привлекательности они ценят долю показов TRP на 3-х ведущих каналах: ОРТ, РТР и НТВ. Для каждой рекламной кампании они требуют, чтобы эта доля была, по крайней мере, не меньше 70%. Вместе с тем, они требуют чтобы "Медиа Оптимизатор" использовал все 7 каналов, имея долю TRP для каждого из оставшихся 4 каналов не ниже 3% от суммарной для рекламной кампании.

В прошлую пятницу в 17:30 директор по маркетингу "Супер-Крем" позвонил заведующему отдела рекламы в "Медиа Оптимизатор" в России и сказал, что главный офис "Супер-Крема" готов вложить еще 500 000 $ для усиления рекламной кампании в России при условии, что через полчаса (т.е. до окончания рабочего дня) российский офис "Медиа Оптимизатора" представит план использования этого дополнительного бюджета. Разумеется, этот план должен удовлетворять всем обычным требования компании "Супер-Крем". Сколько GRP нужно было купить у каждого из 7 каналов, чтобы удовлетворить всем требованиям заказчика? Каково получится общее количество TRP?

.2 Разработка экономико-математической модели и решение задачи с использованием компьютерного моделирования

На рисунке 2.1 представлены первоначальные условия задачи, занесенные в MS Excel.

Рисунок 2.1 - Вводные условия задачи

К примеру, индекс привлекательности у канала ОРТ равен 75, следовательно, его TRP равен 0,75%. Далее находим индекс TRP для каждого из каналов (рисунок 2.2)

Рисунок 2.2 - Индекс TRP

Далее занесем требования, согласно требованиям заказчика: у каналов ОРТ, РТР, НТВ TRP был не ниже 70%, а у остальных четырех не ниже 3% (рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 - Требования заказчика

Зададим количество GRP на каждый канал (рисунок 2.4)

Рисунок 2.4 - Количество GRP

Далее выделяем целевую ячейку "ИТОГО" и вставляем формулу, которая посчитает сумму произведений столбцов "Кол-во GRP" и "Полная стоимость 1GRP" (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 - Целевая ячейка

С увеличением количества GRP, будет увеличиваться общая сумма, следовательно, ячейки в столбце "Кол-во GRP" будут изменяемыми.

Создадим столбец с долей показов TRP, чтобы при увеличении количества GRP изменялось количество TRP (рисунок 2.6)

Рисунок 2.6 - Доля TRP

Все входные данные заведены в таблице, можно приступать к поиску оптимального решения.

Заходим в "Данные - Поиск решения" и первым делом указываем целевую ячейку (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 - Выбор целевой ячейки

Изменяемыми ячейками будут значения в столбце "Кол-во GRP" (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 - Выбор изменяемых ячеек

Далее зададим ограничения в соответствии с требованиями задачи (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 - Ввод ограничений

Все необходимые данные заведены, запрашиваем оптимальное решение (рисунок 2.10)

Рисунок 2.10 - Результаты поиска решения

Ответы на вопросы:

1. Сколько GRP нужно было купить у каждого из 7 каналов, чтобы удовлетворить всем требованиям заказчика?

. Каково получится общее количество TRP?

Общее количество TRP (время, необходимое для того, чтобы 1% от целевой аудитории (в случае компании "Супер-Крем" - это женщины от 15 до 35 лет с высоким уровнем дохода) хотя бы однажды увидели данное рекламное объявление) составит 2,22.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы по дисциплине "Компьютерное моделирование экономических процессов" мною изучены задачи линейного программировании, методы оптимальных решений. Получены практические навыки составления и решения задач линейного программирования в программном продукте MS Excel (надстройка "Поиск решений"). Цели и задачи, поставленные передо мной в начале работы, были выполнены.

Актуальность задач линейного программирования в настоящее время сомнений, как правило, ни у кого не вызывает, так как проблема оптимального планирования и организации производства, является важнейшей составляющей поиска скрытых ресурсов предприятия, помогает снизить затраты, повысить производительность труда и прибыль предприятия.

Список используемой литературы

линейный программирование компьютерный моделирование

1.      Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике.

.        Дрогобницкого И.Н. Экономико-математическое моделирование.

.        Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и модели в планировании.

.        Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.; Под ред. проф. Кремера Н.Ж. Исследование операций в экономике - М: ЮНИТИ, 2002.

.        Орехов Н.А., Лёвин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике.

.        Попова И.Г. Математические методы в планировании отраслей и предприятий.

.        Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели.

.        Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе.