Аксиомы Эвклидовой геометрии
Список литературы
1. Общие сведения о Эвклиде
Евклид или Эвклид (греч. «добрая слава», ок. 300 г. до н. э.) - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Эвклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э. [1]
Эвклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Эвклид - автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. [2]
эвклид геометрия аксиома постулат
2. Аксиоматика
Аксиомы эвклидовой геометрии, сформулированные в III-IV веке до н. э., составляли основу геометрии до второй половины XIX века, так как хорошо описывали физическое пространство и отождествлялись с ним. [1]
Пяти постулатов Эвклида было недостаточно для полного описания геометрии и в 1899 году Гильберт предложил свою систему аксиом. Гильберт разделил аксиомы на несколько групп: аксиомы принадлежности, конгруэнтности, непрерывности (в том числе аксиома Архимеда), полноты и параллельности. Позднее Шур заменил аксиомы конгруэнтности аксиомами движения, а вместо аксиомы полноты стали использовать аксиому Кантора. Система аксиом Эвклидовой геометрии позволяет доказать все известные школьные теоремы [3].
Существуют и другие системы аксиом, в основе которых, помимо точки, прямой и плоскости, лежит не движение, а конгруэнтность, как у Гильберта, или расстояние, как у Кагана. Другая система аксиом связана с понятием вектора. Все они выводятся одна из другой, то есть аксиомы в одной системе можно доказать как теоремы в другой [4].
3. Постулаты Эвклида
Постулаты Эвклида представляют собой правила построения с помощью идеального циркуля и идеальной линейки [6]:
.Всякие две точки можно соединить прямой линией;
2.Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;
.Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;
.Все прямые углы равны между собой;
.Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит [7]: Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
4. Аксиомы Эвклидовой геометрии
Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна;
На каждой прямой имеется, по крайней мере, две точки;
Существуют три точки, не лежащие на одной прямой;
Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна;
На каждой плоскости имеется, по крайней мере, одна точка;
Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости;
Если две плоскости имеют общую точку, они имеют, по крайней мере, ещё одну общую точку;
Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости.
Аксиомы порядка:
Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими;
Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей;
Аксиомы движения:
Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя;
Пусть f - произвольное движение. Тогда, если точки A, B, C расположены на одной прямой, причём C лежит между A и B, то точки f(A), f(B), f(C) также расположены на одной прямой, причём f(C) лежит между f(A) и f(B);
Два движения, произведённые один за другим, равносильны некоторому одному движению;
Для всяких двух реперов, взятых в определённом порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй;
Аксиомы непрерывности:
Аксиома Архимеда. Пусть A0, A1, B - три точки, лежащие на одной прямой, причём точка A1 находится между A0 и B. Пусть далее f - движение, переводящее точку A0 в A1 и луч A0B в A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3, …. Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An.
Аксиома Кантора. Пусть A1, A2, … и B1, B2, … - такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой l, что для любого n точки An и Bb различны между собой и лежат на отрезке An-1Bn-1. Тогда на прямой l существует такая точка C, которая находится на отрезке AnBn при всех значениях n.
Аксиома параллельности:
Через точку A, не лежащую на прямой l, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую 1.
Список литературы
1.Перейти к: 1 2 3 4 5 Геометрия // Математическая энциклопедия: в 5 т. - М.: Советская Энциклопедия, 1982. - Т. 1.
2.Перейти к: 1 2 3 4 5 6 7 8 БСЭ, 1971
.Перейти к: 1 2 3 4 Геометрия, 1963, с. 32-41
.Геометрия, 1963, с. 41-44
.Геометрия, 1963, с. 44-48
.Перейти к: 1 2 Геометрия, 1963, с. 12-17
.Геометрия, 1963, с. 18-21